山东省牟平第一中学2016届高三下学期周末限时训练文数试题 含解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

）
1.设集合{},04
A y y x x ==≤≤，集合{}lg(1)
B x y x ==-，则A
B =（ )
A ．(1,2)
B ．[]1,2
C ．[)1,2
D ．(]1,2
【答案】D
考
点：集合的交集运算.
2.设1z i =+（i 是虚数单位，则3
2i z
+的实部是（ ）
A ．1
B ．—1
C ．i
D ．i - 【答案】A 【解析】
试题分析：因为()()()
3
2122
12,111i i
i i i z
i i i -+=
-=-=-++-所以其实部为1，故选A 。

考点：复数的相关概念与复数的运算。

3.函数()()sin x
x f x e
e x -=+的部分图象大致为（ )
【答案】A
【解析】
试题分析:因为()()()()sin ()sin x
x x x f x e
e x e e x
f x ---=+-=-+=-，所以()f x 为奇函
数，图象关于原点对称，排除B ，D ，又因为6611062f e e π
ππ⎛⎫
⎛⎫ ⎪=+> ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭
，所以排除C,故选A 。

考点：函数性质与函数图象的应用。

4。

已知函数9
41
y x x =-++（1x >-），当x a =时，y 取得最小值b ，则a b +=（
）
A ．—3
B ．2
C ．3
D ．8
【答案】C
考点:基本不等式在求函数最值中的应用. 5.已知直线0ax by c ++=与圆2
2:1O x y +=相交于,A B 两点，
且3AB =则OA OB •的值是（ ）
A ．12
- B ．12
C ．
3
4
-
D ．0
【答案】A 【解析】
试题分析：取AB 的中点C ，连接OC ,如图所示,
3AB =，
3
AC = 13sin sin 2AC AOB AOC OA ⎛⎫
∠=∠== ⎪⎝⎭
则120
AOB ∠=，所以1cos120
.
2
OA OB OA OB •=⨯=-
故选A.
考点:向量的数量积运算。

6.在圆221
x y
+=内任取一点，以该点为中点作弦，则所作弦的长度超过2的概率是( )
A．1
2B．1
3
C．1
4
D．1
5
【答案】A
考点：几何概型。

7。

如图，三棱锥V ABC
-底面为正三角形,侧面VAC与底面垂直且VA VC
=
已知其侧（左）视图的面积为3
2
，则其正（主）视图的面积为( ）
A ．
32
B ．1
C ．
34
D ．2
【答案】B
考点:
简单几何体的三视图。

8。

如图是函数()sin()f x A x ωϕ=+，（0,0,2
A π
ωϕ>><
）的图象的一段,O 是坐
标原点,P 是图象的最高点，M 点坐标为(5,0)，若10OP =
，15OP OM •=，
则(4)f 的值为（ ）
A ．2
2
-
B ．
22
C ．1
D ．-1
【答案】B
【解析】
试题分析：设()1
1
,P x y ，
10OP =，cos ,15OP OM OP OM OP OM •==，
3cos ,10
POM ∴∠=
考
点：平面向量的数量积运算及由正弦型函数的部分图象求解析式. 【方法点睛】本题主要考查了两个向量数量积的定义以及由正弦型函数的部分图象求解析式，属于中档题。

解答本题先从向量数量积的定义入手，求出点P 的坐标，这是解题的关键所在，再结合正弦函数的性质求出待定系数,A ω的值，再把已知点M 的坐标代入,根据给出的角ϕ的范围求出函数()sin y A x ωϕ=+的解析式，体现了待定系数法在求函数解析式中的应用。

9。

如图，1F ，2F 是双曲线22
22:1x y C a b
-=(0,0a b >>)的左、右焦点，过2F 的直
线与双曲线C 交于,A B 两点,若1
1::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心离为
（ ）
A 13
B ．2
C ．3
D 5【答案】A 【解析】
试题分析：因为1
1::3:4:5AB BF
AF =，不妨设113,4,5,AB BF AF ===所以
190
ABF ∠=，
根据双曲线的定义可得2
12BF
BF a -=，122AF AF a -=，所以
224,BF a =+252AF a =-，22413AB BF AF a ∴=-=-=，
1a ∴=，26BF =，在12Rt BF F 中，2
2
1212,F F BF BF =+
所以2
452,13,13,c
c
c e a
===
=故选A.
考点：双曲线的简单几何性质。

【方法点晴】本题借助双曲线的定义考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题，解题时要用好条件1
1::3:4:5AB BF
AF =，为方便运算直接
把三边的长设为3,4,5，既确定了直角三角形,又为后面的运算提供了了便利,对“过2
F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点”的应用是本题的关
键,说明,A B 两点满足双曲线的定义，通过12
Rt BF F ∆求出a 和c 的值,得到离
心率。

10。

定义域为[],a b 的函数()y f x =的图象的两个端点为,A B ，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中(1)x a b λλ=+-（R λ∈），向量(1)ON OA OB λλ=+-，若不等式MN
k ≤恒成立,则称函数()f x 在[],a b 上“k 阶线性近似”，若函数
1
y x x
=+
在[]1,2上“k 阶线性近似”,则实数k 的取值范围为( )
A ．[)0,+∞
B ．[)1,+∞
C ．3
2,2
⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
D ．3
2,2
⎡⎫
+
+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】C
考
点：平面向量与不等式的综合应用。

【方法点晴】本题以新定义的形式考查了平面向量和基本不等式的综合应用，属于难题.解答这类问题先读懂题意，把给出的新定义转化为所学知识，这是解题的前提.本题中条件(1)ON OA OB λλ=+-实际上是告诉了点N 在直线AB 上,结合题意得到,A B 两点坐标，求出方程,把不等式MN
k ≤恒成立转化为求MN
的最大值问题，再利用基本不等式即
可求出实数k 的取值范围.
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题（本大题共5小题,每题5分，满分25分．)
11。

定义一种运算符号“⊗”，两个实数,a b 的“a b ⊗”运算原理如图
所示,若输入112cos 3a π=，
92tan 4b π
=，则输出P =__________。

【答案】4
考
点：程序框图中的条件分支结构。

12.观察下列等式:
2
111
= 22125
123+=+ 2221237
1233
++=++
222212349
12343
+++=+++，…,
则第6个等式为__________。

【答案】
22222212345613
1234563
+++++=+++++
考
点：归纳推理.
13.设,x y 满足线性约束条件230
23400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩,若目标函数z ax by =+(其中
0,0a b >>）的最大值为
3,则11a
b
+的最小值为__________。

【答案】3 【解析】
试题分析：作出不等式组表示的平面区域,如图所示，由230
2340
x y x y -+=⎧⎨
-+=⎩得()1,2C ，由可行域可知，当且仅当目标函数z ax by =+经过点()1,2C 时，max 23,z a b =+=又因为0,0a b >>,所以
()1111112212225523333b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=++=++≥+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭，当且仅当22b a a b =即1a b ==时，等号成立，因此11a
b
+的最小值为3。

考点：线性规划与基本不等式.
14。

已知定义在R 上恒不为零的函数()f x 对任意,x y R ∈，都有
()()()f x y f x f y +=•，若11
3
a =
， ()n a f n =（*n N ∈),则数列{}n a 的前n 项和的取值范围是__________。

【答案】11,32⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
考
点：待定系数法求函数解析式及等比数列的前n 项和公式.
【方法点晴】本题借助指数函数考查了等比数列的前n 项和公式及待定系数法和数列的函数特性属于中档题，解答本题的关键是由题目条件才想出函数()f x 为指数函数，利用待定系数法求出解析式,对等比数列{}n
a 求和后，求范围是很多学生的难点,这里考查了数列的函数
特性,借助函数的单调性求出其最小值,根据极限知识求得最大值。

15.已知函数()f x 满足()()f x f x -=，1
(1)()
f x f x +=-
，且当[]1,0x ∈-时，()f x x =若
在区间[]1,3-内,函数()()g x f x kx k =--有4个零点,则实数k 的取值范围是__________.
【答案】10,4⎛⎤
⎥⎝⎦
考点:函数性质的综合应用。

【方法点晴】本题通过函数性质的递推关系给出了函数的奇偶性和周期性,借助数形结合来考查函数的零点个数问题，蕴含着转化的数学思想.在研究函数性质的基础上，准确作出函数()f x 的图象是解题的关键,把函数()g x 有4个零点转化为函数()f x 的图象与直线()1y k x =+有四个交点，结合图象找到斜率k 的取值范围.
三、解答题（本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.已知函数231
()2cos 22
f x x x =
--（x R ∈)。

(Ⅰ）当5,1212x ππ⎡⎤
∈-⎢
⎥⎣⎦
时，求函数()f x 取得最大值和最小值时x 的值； （Ⅱ）设锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是a 、b 、c ,且1a =,*
c N ∈，若
向量(1,sin )m A =与
向量(2,sin )n B =平行，求c 的值.
【答案】（I) 当12
x π=-时，()f x 值最小，当3
x π=时，()f x 值最大；（II)2c =。

考点:
正弦函数的性质及利用余弦定理解三角形.
17.从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间,将测量结量按如下方式分成八组:第一组[)155,160，第二组[)160,165，……,第八组[]190,195，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。

（Ⅰ）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm)的人数；
（Ⅱ)求第六组、第七组的频率并补充整频率分布直方图；（Ⅲ）若从身高性于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为,x y，求满足：
-≤的事件概率。

5
x y
【答案】（I)144；(II）第六组、第七组的频率分别为0.08，0.06，频率。

分布直方图见解析;（III）7
15
（III ）
由(II ）知身高在[)180,185内的人数为4,身高在[190,195]内的人数为2，设
1234,,,x x x x 表示身高在[)180,185的
4个人，1
2
,y y 表示身高在[190,195]的2个人，
若抽取的两个人在[)180,185中，有1
2
1
3
1
4
2
3
2
4
3
4
(,),(,),(,),(,),(,),(,)x x x x x x x x x x x x ，共6种情况，若抽取的两人中一个来自[)180,185，一个来自[190,195]，有
1121314112223242(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),x y x y x y x y x y x y x y x y 共
8种情况,若抽取的两个人
在[190,195],有1
2
(,)y y ，共1种情况，故基本事件总数为61815++=种,事件“5x y -≤"所包含的基本事件有7种，故所求概率为715。

考点：频率分布直方图及列举法求古典概型中某事件的概率。

18.如图,已知斜三棱柱111
ABC A B C -中,底面ABC 是等边三角形，侧面11
BB C C
是菱形，
0160B BC ∠=.
（Ⅰ）求证：1
BC AB ⊥；
（Ⅱ）AB a =，16
2
AB
a =
，求三棱锥1C ABB -的体积。

【答案】（I ）证明见解析；(II ）
3
8
a 。

∵1OA
OB O =，∴BC ⊥平面1AOB ，∵1AB ⊂平面1AOB ，∴1BC AB ⊥
考点：空间中垂直关系的证明和棱锥的体积。

19。

公差不为零的等差数列{}n
a 中，1
a ，2
a ,5
a 成等比数列，且该数列的
前10项和为100，数列{}n
b 的前n 项和为n
S ，且满足n n
b S
a =,*n N ∈。

（Ⅰ）求数列{}n
a ,{}n
b 的通项公式；
(Ⅱ）求数列14n
n
a b
⎧⎫
+⎨⎬⎩
⎭
的前n 项和n
T .
【答案】（I ）21n
a n =-，12n n
b -=;（II ）222n n
n
T +=-
. 【解析】
试题分析:（I ）根据等比中项和等差数列的通项公式及10
100S =即可求
得n
a ，在根据n n
b S
a =得到数列{}n
b 的前n 项和n S 与n b 的关系,消去n S 得到{}
n b 的递推公式，可发现{}n
b 为等比数列,从而求得其通项公式；（II)把（I ）
的结果代入整理14n
n
a b
⎧⎫+⎨⎬
⎩
⎭
得142n
n
n
a n
b +=
，采用乘公比错位相减法可求得其前
n 项和n T 。

试题解析： （I ）设{}n
a 的公差为(0)d d ≠，由1
2
5
,,a a a 成等比数列，得2
2
15a
a a =，
考点:等差、等比数列的通项公式及数列求和. 20.已知函数3
21()(sin )22f x ax
x x c θ=+-+的图象过点37
(1,)6
，且在[]2,1-上单调递减，在[)1,+∞上单调递增. （Ⅰ）求()f x 的解析式;
（Ⅱ）若对于任意的[]1
2
,,3x x m m ∈+（0m ≥）
，不等式1245
()()2
f x f x -≤
恒成立，试问这样的m 是
否存在?若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(I ）3
21122()23
23
f x x
x x =+
-+；（II ）存在[]0,1m ∈符合题意. 【解析】
试题分析：（I)由题意可知1x =是函数()f x 的极小值点，所以
''(1)0,(2)0f f =-≤,且满足37
(1)6
f =
，求出导函数()f x ',用待定系数法可求得,sin a c θ及的值即得()f x 的解析式；
（II ）不等式 1212454545
()()()()222
f x f x f x f x -≤
⇔-≤-≤，通过讨论求出()f x 的最大值和最小值,研究函数max
min ()
()f x f x -的值域即可。

综上所述，存在[]0,1
m∈符合题意.
考点：利用导数研究函数的单调性及函数在闭区间上的极值、最值。

【方法点睛】本题考查了导数在研究函数的单调性及其在闭区间上的极值和最值等问题和不等式的恒成立等问题，属于难题.本题第一问考查了待定系数法，关键是判断出'
'
(1)0,(2)0f f =-≤，从而求得,a c 的值；
第二问把不等式的恒成立问题转化为函数()f x 在闭区间上上的最值问题，通过分类讨论和比较法构造出关于参数m 的二次函数，利用配方法即可得到结论。

21.已知椭圆22
22:1y x E a b
+=（0a b >>)的上、下焦点分别为1F ，2F ，点D 在椭
圆上，2
12DF
F F ⊥,
12F F D ∆的面积为离心率2
e =。

抛物线2:2C x py =（0p >）的准线l 经过D 点。

(Ⅰ)求椭圆E 与抛物线C 的方程；
（Ⅱ）过直线l 上的动点P 作抛物线的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交椭圆于M ，N 两点，当坐
标原点O 落在以MN 为直径的圆外时，求点P 的横坐标t 的取值范围。

【答案】(I)椭圆E 的方程为22
184
y x +=,抛物线C 的方程为28x y =;（II)t -<<
由
2e =24b =， 再由222,1c b e e a a ==-得到228,4a c ==,
所以椭圆E 的方程为22
184
y x +=. 所以D 点纵坐标为-2,抛物线准线方程为2y =-，所以抛物线C 的方程为28x y =.
考点：椭圆与抛物线的方程及直线与椭圆、抛物线位置关系的应用.【方法点睛】本题重点考查了待定系数法求椭圆和抛物线方程及直线与椭圆的位置关系问题，考查考生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题.本题解答的难点在第二问，设出切点,A B的坐标，利用导数的几何意
义求得直线,PA PB的方程，从而得到AB的方程，技巧是对条件“坐标原点O落在以MN为直径的圆外”的应用，转化为两个向量的数量积大于零，最后利用方程思想根据韦达定理来建立P点横坐标t的不等式，得到问题的答案。