高三数学 第30课时 三角函数的图象和性质(1)教案

课题：三角函数的图象和性质（一）
教学目标：了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，理解,,A ωϕ的物理意义，掌握由函数
sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的变换原理; 掌握正弦、余弦、正切
函数图象的对称轴或对称中心.
教学重点：函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的变换方法． （一） 主要知识：
1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图.
2.函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的两种主要途径．
3.掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.
4.会由三角函数图象求出相应的解析式.
（二）主要方法：
1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点；
2.给出图象求sin()y A x B ωϕ=++的解析式的难点在于,ωϕ的确定，
本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期T ，进而确定ω．
3.对称性:()1函数sin()y A x ωϕ=+对称轴可由2
x k π
ωϕπ+=+
()k Z ∈解出；对称
中心的横坐标是方程x k ωϕπ+=()k Z ∈的解，对称中心的纵坐标为0.( 即整体代换法)
()2函数()cos y A x ωϕ=+对称轴可由x k ωϕπ+=()k Z ∈解出；对称中心的纵坐标
是方程2
x k π
ωϕπ+=+()k Z ∈的解，对称中心的横坐标为0.( 即整体代换法)
()3函数()tan y A x ωϕ=+对称中心的横坐标可由2
k x ωϕπ+=()k Z ∈解出，对称中心
的纵坐标为0，函数()tan y x ωϕ=+不具有轴对称性.
4.0A >时，()sin y A x ωϕ=+，当22
x k π
ωϕπ+=+
()k Z ∈时，有最大值A ，
当22
x k πωϕπ+=-()k Z ∈时,有最小值A -；0A >时，与上述情况相反.
（三）典例分析：
问题1． 已知函数cos 22
x x
y =+()x R ∈. ()1用“五点法”画出它的图象；()2求它的振幅、周期和初相；
()3说明该函数的图象可由sin y x =的图象经过怎样的变换而得到.
问题2．()1(07海南)函数
π
sin2
3 y x
⎛⎫=-
⎪
⎭
在区
π
π
⎡⎤
-⎢⎥
，的简图是()2(05天津文)函数sin()
y A x
ωϕ
=
+(
2
0,,x
π
ωϕ
><
的部分图象如图所示，则函数表达式为
.A)
4
8
sin(
4
π
π
+
-
=x
y.B)
4
8
sin(
4
π
π
-
=x
y
.C)
4
8
sin(
4
π
π
-
-
=x
y.D)
4
8
sin(
4
π
π
+
=x
y
x
.B
.C.D
()3已知函数sin()y A x ωϕ=+（0,||A ϕπ><）
的一段图象如下图所示，求该函数的解析式．
问题3．()1将函数5sin(3)y x =-的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移3
π，得到图象对应解析式是
.A 335sin(
)22x y π=-.B 735sin()102x y π=- .C 5sin(6)6y x π=- .D 35cos 2
x
y =
()2（07山东文）要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛
⎫=- ⎪3⎝
⎭
的图象 .A 向右平移
π6个单位；.B 向右平移π
3
个单位； .C 向左平移π3个单位；.D 向左平移π
6
个单位
()3（04山东）为了得到函数6sin(2)y x π=-的图象，可以将函数x y 2cos =的图象
.A 向右平移6π个单位长度 .B 向右平移3π
个单位长度 .C 向左平移
6π个单位长度 .D 向左平移3
π
个单位长度
问题4．()1(07福建)已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛
⎫
=+
> ⎪3⎝⎭
的最小正周期为π，则 该函数的图象 .A 关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭
，
对称 .B 关于直线x π
=4
对称 .C 关于点0π⎛⎫
⎪4⎝⎭
，
对称 .D .关于直线x π=3对称 ()2（05山东）已知函数)12
cos()12sin(π
-π-
=x x y ，则下列判断正确的是
.A 此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是,012π⎛⎫
⎪⎝⎭ .B 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
.C 此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
.D 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
问题5．（07陕西）设函数()f x a b =⋅r r ，其中向量(cos 2)a m x =r ，
，(1sin 21)b x =+r
，，x R ∈，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫
⎪⎝⎭
，．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小值及此时x 值的集合．
（四）课外作业：
1.要得到x x y 2cos 2sin +=的图象，只需将x x y 2cos 2sin -=的图象
.A 向左平移8π .B 向右平移8π .C 向左平移4π .D 向右平移4
π
2.如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8
x π
=-
对称，则a =
3.函数tan cos y x x = 的部分图象是
.A .B .C
.D
（五）走向高考：
4.（05天津）要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)4
2sin(2π
+=x y 的
图象上所有的点的
.A 横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π
个单位长度
.B 横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）
，再向右平行移动4
π
个单位长度 .C 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
，再向左平行移动4π
个单位长度 .D 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
，再向右平行移动8
π
个单位长度 5.（06江苏）为了得到函数R x x y ∈+=),6
3
sin(2π
的图像，只需把函数R
x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点
.A 向左平移
6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变） .B 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变）
.C 向左平移6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
.D 向右平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
6. (07安徽)函数()3sin 2f x x π⎛
⎫=- ⎪3⎝
⎭的图象为C ，
①图象C 关于直线1112x =
π对称；②函数()f x 在区间5ππ⎛⎫
- ⎪1212⎝⎭
，内是增函数； ③由3sin 2y x =的图象向右平移
π
3
个单位长度可以得到图象C ． 以上三个论断中，正确论断的个数是 .A 0 .B 1 .C 2 .D 3 7.（06安徽）将函数sin (0)y x ωω=>
,06a π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
r 平移，平移后的图象如图所示，
则平移后的图象所对应函数的解析式是
.A sin()6y x π=+ .B sin()6
y x π
=-
.C sin(2)3y x π=+ .D sin(2)3
y x π
=-
8.（05福建）函数sin()y x ωϕ=+(,
x R ∈02ϕπ≤<)的部分图象如图，则
.A 4,2πϕπω== .B 6
,3π
ϕπω==
.C 4,4πϕπω== .D 4
5,4π
ϕπω=
=
9.（07福建）已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛
⎫=+> ⎪3⎝
⎭的最小正周期为π，则该函数的
图象.A 关于点0π⎛⎫
⎪3⎝⎭
，对称 .B 关于直线x π=4对称
.C 关于点0π⎛⎫
⎪4⎝⎭
，对称 .D 关于直线x π=3对称
10.（07广东文）已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛
⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
的图象经过点(01)，
，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为
.A 6T =，π6ϕ=；.B 6T =，π3ϕ=；.C 6πT =，π6ϕ=；.D 6πT =，π
3
ϕ=
11.（06陕西）已知函数2())2sin ()().612
f x x x x R ππ
=-+-∈
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求使函数()f x 取得最大值的x 集合.
12.（05全国Ⅰ文）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对
称轴是直线8
π
=x .（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；
（Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像。

13. (03全国)已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ>≤≤是R 上的偶函数，其图
象关于点3(
,0)
4M π
对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上是单调函数。

求ωϕ和的值。