黄平县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

黄平县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．3πa 2 B ．6πa 2 C ．12πa 2D ．24πa 2
2． 函数2
1()ln 2
f x x x ax =+
+存在与直线03=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ),0(+∞ B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. ]1,(-∞
【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力． 3． 若函数f （x ）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f （﹣3）=0，则（x ﹣2）f （x ）＜0的解集是（ ） A ．（﹣3，0）∪（2，3） B ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） C ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D ．（﹣3，0）∪（2，+∞）
4． 如图是七位评委为甲，乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图（其中m ，n 为数字0～9中的一个），则甲歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为a 和b ，则一定有（ ）
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a=b
D ．a ，b 的大小与m ，n 的值有关
5． 已知f （x ）=4+a x ﹣1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．（1，5） B ．（1，4） C ．（0，4） D ．（4，0）
6． 随机变量x 1～N （2，1），x 2～N （4，1），若P （x 1＜3）=P （x 2≥a ），则a=（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
7． 若函数()()22f x x πϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭的图象关于直线12x π=对称，且当
12172123x x π
π⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭
，，，12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于（ ）
A
B D 8． 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
9． 10y -+=的倾斜角为（ ）
A ．150
B ．120
C ．60
D ．30
10．双曲线的渐近线方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取
20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分
层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ） A. 5 B.6 C.7
D.10
【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题. 12．已知集合{}|5A x N x =∈<，则下列关系式错误的是（ ）
A ．5A ∈
B ．1.5A ∉
C ．1A -∉
D ．0A ∈
二、填空题
13．已知函数f （x ）=
，若f （f （0））=4a ，则实数a= ．
14．在各项为正数的等比数列{a n }中，若a 6=a 5+2a 4，则公比q= ．
15．已知()212811f x x x -=-+,则函数()f x 的解析式为_________.
16．已知a 、b 、c 分别是ABC ∆三内角A B C 、、的对应的三边，若C a A c cos sin -=，
则
3s i n c o s (
)4
A B π
-+的取值范围是___________． 【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想．
17．设向量a ＝（1，－1），b ＝（0，t ），若（2a ＋b ）·a ＝2，则t ＝________． 18．满足关系式{2，3}⊆A ⊆{1，2，3，4}的集合A 的个数是 ．
三、解答题
19．已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==． （1）求()f x 的解析式；
（2）若()f x 在区间[]2,1a a +上不单调，求实数的取值范围； （3）在区间[]1,1-上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，试确定实数m 的取值范围．
20．（14分）已知函数1
()ln ,()e x x f x mx a x m g x -=--=，其中m ，a 均为实数．
（1）求()g x 的极值； 3分
（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111
()()()()
f x f x
g x g x -<-
恒成立，求a 的最小值； 5分
（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围． 6分
21．已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=10． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）求数列{}的前n 项和．
22．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知
1cos )sin 3(cos 2
cos 22
=-+C B B A
. （I ）求角C 的值；
（II ）若2b =，且ABC ∆的面积取值范围为，求c 的取值范围． 【命题意图】本题考查三角恒等变形、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，意在考查基本运算能力．
23．已知m ≥0，函数f （x ）=2|x ﹣1|﹣|2x+m|的最大值为3． （Ⅰ）求实数m 的值；
（Ⅱ）若实数a ，b ，c 满足a ﹣2b+c=m ，求a 2+b 2+c 2
的最小值．
24．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的焦距为2，且该椭圆经过点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点P（﹣2，0）分别作斜率为k1，k2的两条直线，两直线分别与椭圆E交于M，N两点，当直线MN与y轴垂直时，求k1k2的值．
黄平县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：根据题意球的半径R 满足
（2R ）2=6a 2
， 所以S 球=4πR 2=6πa 2
．
故选B
2． 【答案】D 【解析】因为1
()f x x a x
'=++，直线的03=-y x 的斜率为3，由题意知方程13x a x ++=（0x >）有解，
因为1
2x x
+
?，所以1a £，故选D ． 3． 【答案】A
【解析】解：∵f （x ）是R 上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数， ∴在（﹣∞，0）内f （x ）也是增函数， 又∵f （﹣3）=0， ∴f （3）=0
∴当x ∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f （x ）＜0；当x ∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f （x ）＞0； ∴（x ﹣2）•f （x ）＜0的解集是（﹣3，0）∪（2，3） 故选：A ．
4． 【答案】C
【解析】解：根据茎叶图中的数据，得； 甲得分的众数为a=85， 乙得分的中位数是b=85； 所以a=b ． 故选：C ．
5． 【答案】A
【解析】解：令x ﹣1=0，解得x=1，代入f （x ）=4+a x ﹣1
得，f （1）=5，
则函数f （x ）过定点（1，5）． 故选A ．
6． 【答案】C
【解析】解：随机变量x 1～N （2，1），图象关于x=2对称，x 2～N （4，1），图象关于x=4对称， 因为P （x 1＜3）=P （x 2≥a ）， 所以3﹣2=4﹣a ， 所以a=3， 故选：C ．
【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．
7． 【答案】C 【
解
析
】
考
点：函数的图象与性质.
【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型．首先利用数形结合思想和转化化归思想可得
()
2122k k π
π
ϕπ⨯
+=
+∈Z ，解得3π
ϕ=
，从而()23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再次利用数形结合思想和转化化归思想
可得()()()()1122x f x x f x ，，，关于直线11
12x π=-对称，可得12116
x x π
+=-，从而
()
121133f x x ππ⎛⎫
+=-+= ⎪⎝⎭
．
8． 【答案】 C
【解析】解：第一次循环 第二次循环得到的结果
第三次循环得到的结果
第四次循环得到的结果
…
所以S 是以4为周期的，而由框图知当k=2011时输出S
∵2011=502×4+3
所以输出的S 是 故选C
9． 【答案】C 【解析】
10y -+=，可得直线的斜率为k =tan 60αα=⇒=，故选C.1 考点：直线的斜率与倾斜角. 10．【答案】B
【解析】解：∵双曲线标准方程为，
其渐近线方程是=0，
整理得y=±x ． 故选：B ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．
11．【答案】C
12．【答案】A
【解析】
试题分析：因为{}|5A x N x =∈< ，而1.5,1,.5,1N N A A ∉-∉∴∉-∉，即B 、C 正确，又因为0N ∈且
05<，所以0A ∈，即D 正确，故选A. 1
考点：集合与元素的关系.
二、填空题
13．【答案】 2 ．
【解析】解：∵f （0）=2， ∴f （f （0））=f （2）=4+2a=4a ， 所以a=2 故答案为：2．
14．【答案】 2 ．
【解析】解：由a 6=a 5+2a 4得，a 4q 2
=a 4q+2a 4， 即q 2
﹣q ﹣2=0，解得q=2或q=﹣1，
又各项为正数，则q=2， 故答案为：2．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意公比的符号，属于基础题．
15．【答案】()2245f x x x =-+ 【解析】
试题分析：由题意得，令1t x =-，则1x t =+，则()222(1)8(1)11245f t t t t t =+-++=-+，所以函数()f x 的解析式为()2245f x x x =-+. 考点：函数的解析式.
16．【答案】 【
解
析
】
17．【答案】
【解析】（2a ＋b ）·a ＝（2，－2＋t ）·（1，－1） ＝2×1＋（－2＋t ）·（－1） ＝4－t ＝2，∴t ＝2. 答案：2
18．【答案】 4 ．
【解析】解：由题意知，
满足关系式{2，3}⊆A ⊆{1，2，3，4}的集合A 有：
{2，3}，{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，1，4}， 故共有4个， 故答案为：4．
三、解答题
19．【答案】（1）2()243f x x x =-+；（2）1
02
a <<
；（3）1m <-.
试
题解析：
（1）由已知，设2
()(1)1f x a x =-+，
由(0)3f =，得2a =，故2()243f x x x =-+．
（2）要使函数不单调，则211a a <<+，则102
a <<． （3）由已知，即2243221x x x m -+>++，化简得2
310x x m -+->，
设2()31g x x x m =-+-，则只要min ()0g x >， 而min ()(1)1g x g m ==--，得1m <-． 考点：二次函数图象与性质．
【方法点晴】利用待定系数法求二次函数解析式的过程中注意选择合适的表达式，这是解题的关键所在；另外要注意在做题过程中体会：数形结合思想，方程思想，函数思想的应用．二次函数的解析式（1）一般式：
()()20f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为(),h k ，则其解析式为
()()()2
0f x a x h k a =-+≠；（3）两根式：若相应一元二次方程的两根为()12,x x ，则其解析式为
()()()()120f x a x x x x a =--≠.
20．【答案】解：（1）e(1)
()e
x
x g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． 列表如下：
∵
g
（1） = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小值． 3
分
（2）当1,0m a =<时，()ln 1f x x a x =--，(0,)x ∈+∞．
∵()0x a
f x x -'=>在[3,4]恒成立，∴()f x 在[3,4]上为增函数． 设1e ()()e x h x
g x x =
=，∵12
e (1)()x x h x x --'=> 0在[3,4]恒成立，
∴()h x 在[3,4]上为增函数． 设21x x >，则212111
()()()()
f x f x
g x g x -<-
等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-， 即2211()()()()f x h x f x h x -<-．
设1e ()()()ln 1e x
u x f x h x x a x x
=-=---⋅，则u （x ）在[3,4]为减函数．
∴2
1e (1)()10e x
a x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立． ∴11
e e x x a x x
---+≥恒成立． 设11e ()e x x v x x x --=-+，∵112
e (1)()1e x x x v x x
---'=-+=1
21131e [()]24x x ---+，x ∈[3，4]， ∴1221133
e [()]e 1244
x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．
∴()v x 在[3，4]上的最大值为v （3） = 3 -22
e 3
．
∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22
e 3
． 8分
（3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]．
∵()2ln f x mx x m =--，(0,)x ∈+∞，
当0m =时，()2ln f x x =-在(0,e]为减函数，不合题意．
当0m ≠时，2()
()m x m f x x
-'=
，由题意知()f x 在(0,e]不单调， 所以20e m <<，即2
e
m >．①
此时()f x 在2(0,)m 上递减，在2
(,e)m
上递增，
∴(e)1f ≥，即(e)e 21f m m =--≥，解得3
e 1
m -≥．②
由①②，得3
e 1
m -≥
． ∵1(0,e]∈，∴2
()(1)0f f m =≤成立．
下证存在2
(0,]t m
∈，使得()f t ≥1．
取e m t -=，先证e 2
m m
-<，即证2e 0m m ->．③
设()2e x w x x =-，则()2e 10x w x '=->在3
[,)e 1
+∞-时恒成立．
∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3
e ))01
((w x w ->≥，∴③成立．
再证()e m f -≥1．
∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥，∴3
e 1
m -≥
时，命题成立． 综上所述，m 的取值范围为3
[,)e 1
+∞-． 14分
21．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2=0，a 6+a 8=10．
∴
，解得
，
∴a n ﹣1+（n ﹣1）=n ﹣2．
（2）=
．
∴数列{
}的前n 项和S n =﹣1+0++
+…+
，
=
+0+
+…+
+
，
∴=﹣1++…+﹣=﹣2+﹣=，
∴S n =．
22．【答案】
【解析】（I ）∵1cos )sin 3(cos 2
cos 22
=-+C B B A
， ∴0cos sin 3cos cos cos =-+C B C B A ，
∴0cos sin 3cos cos )cos(=-++-C B C B C B ，
∴0cos sin 3cos cos sin sin cos cos =-++-C B C B C B C B ， ∴0cos sin 3sin sin =-C B C B ，因为sin 0B >，所以3tan =C 又∵C 是三角形的内角，∴3
π
=
C .
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f （x ）=2|x ﹣1|﹣|2x+m|=|2x ﹣2|﹣|2x+m|≤|（2x ﹣2）﹣（2x+m ）|=|m+2| ∵m ≥0，∴f （x ）≤|m+2|=m+2，当x=1时取等号，
∴f （x ）max =m+2，又f （x ）的最大值为3，∴m+2=3，即m=1．
（Ⅱ）根据柯西不等式得：（a 2+b 2+c 2）[12+（﹣2）2+12]≥（a ﹣2b+c ）2
，
∵a ﹣2b+c=m=1，∴，
当
，即
时取等号，∴a 2+b 2+c 2
的最小值为．
【点评】本题考查绝对值不等式、柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意得，2c=2
，
=1；
解得，a 2=4，b 2
=1；
故椭圆E 的方程为
+y 2=1；
（Ⅱ）由题意知，当k 1=0时，M 点的纵坐标为0，
直线MN 与y 轴垂直， 则点N 的纵坐标为0， 故k 2=k 1=0，这与k 2≠k 1矛盾． 当k 1≠0时，直线PM ：y=k 1（x+2）；
由
得，
（+4）y2﹣=0；
解得，y M=；
∴M（，），
同理N（，），
由直线MN与y轴垂直，则=；
∴（k2﹣k1）（4k2k1﹣1）=0，
∴k2k1=．
【点评】本题考查了椭圆方程的求法及椭圆与直线的位置关系的判断与应用，属于中档题．。