最少拍及无波纹最少拍系统设计原则+实例

一、在最少拍设计时，()z Φ及()e z Φ的选取应遵循下述原则：
1〕()e z Φ的分子中必须包含1(1)m z --因式〔保证系统稳态误差为零〕。

注意：1()(()1)m e Φz z F z -=-，式中：()F z 为不含1(1)z --因子的待定的1z -的有限项多项式。

一般取12()1...F z az bz --=+++为有限项多项式。

2〕以1z -为变量的()z Φ展开式的项数应尽量少〔保证瞬态过程在有限拍内结束，保证随动系统为最少拍系统〕。

3〕()c G z 应是物理可实现的有理多项式，其零点数不能大于极点数〔即()z Φ的分母与分子阶次之差应大于、等于()G z 的分母与分子的阶次之差〕。

一般已知的()G z 这条都满足。

4〕()e z Φ的零点必须包含()G z 中位于单位圆上及单位圆外的极点〔保证闭环系统稳定〕。

5〕()z Φ的零点必须包含()G z 中位于单位圆上及单位圆外的零点〔保证控制器稳定〕。

6〕()z Φ中必须包含()G z 中的纯延迟环节〔保证控制器是物理可实现的〕。

注意：前3条一定需要，后三条不一定需要。

二．最少拍系统设计实例
情况1：假定()G z 无延迟，且不含不稳定零点和不稳定极点〔即不含单位圆上和单位圆外的零极点〔1,1i i p z ==除外〕〕，且()G z 的分母多项式最多比分子多项式高一次。

在上述条件下构造()Φz 和时，只需考虑设计原则中的前三条即可，故取1()(1)()m e Φz z F z -=-，()1F z =。

下面就再这样的假设条件下，讨论最少拍系统在不同典型输入作用下，数字控制器脉冲传递函数()c G z 确实定方法。

比方：单位阶跃输入：
————————————最少拍设计开始--------——————————— 当()1()r t t =时，有[]11()1()1R z Z t z
-==-，则取()1F z = 11
1()(1)()1()1()m e e z z F z z z z z
---Φ=-=-Φ=-Φ=
所以，数字控制器脉冲传递函数为：
1
1
()
()
()()(1)()
c
e
z z
G z
G z z z G z
-
-
Φ
==
Φ-
————————————最少拍设计到此结束—————————
注意：几拍？看误差脉冲序列和输出脉冲序列的Z变换。

即：
()()()1
e
E z z R z
=Φ=
123
()()()
C z z R z z z z
---
=Φ=+++
根据Z变换的定义式
00
()(),()()
n n
n n
E z e nT z C z c nT z
∞∞
--
==
==
∑∑知：
(0)1,()(2)0
e e T e T
====
(0)0,()(2)1
c c T c T
====
最少拍系统的单位阶跃响应曲线如图所示。

可见，最少拍系统经过一拍便可完全
跟踪输入()1()
r t t
=，这样的离散系统称为一拍系统，其调节时间
s
t T
=。

P524图9.42 最少拍系统的单位阶跃响应序列
注：假设输入为单位斜坡或单位加速度输入时方法一样，只是输入和()
e
z
Φ不同。

情况2：假设G(z)有延迟或含单位圆上和单位圆外的零极点。

例:设单位反馈线性定常离散系统的连续部分和零阶保持器传递函数分别为
10
r(t)c(t)
-
e*(t)
e(t)
(1)
s s+
1e sT
s
-
-
()
c
G z
其中采样周期1
T s
=。

假设要求系统在单位斜坡输入时实现最少拍控制，试求数
字控制器脉冲传递函数()
c
G z。

解：1〕系统开环脉冲传递函数为：
11 1
21
1
21
10(1) 3.68(10.717) ()(1)10(1)
(1)(1)(1)()(
(10.368)
1)
T
T
Tz e z z
G z z Z z
s s z z z
z
e z z
----
--
-
-
⎡⎤
⎡⎤-+
=-⋅=--=
⎢⎥
⎢⎥
+---
⎣--
⎣⎦⎦
注意：()G z 中分子和分母的阶次同，因此设计原则中的第三条满足。

2〕【分析】： ()G z 中的纯滞后环节？---用()z Φ包含纯滞后环节来对消
()G z 中在单位圆上的极点？---用()e z Φ的零点对消
因为()r t t =，1
12
()[](1)Tz R z Z t z --==-，则 试探取()1F z =〔如果()1F z =不满足后面的所有要求，则取
12()1...F z az bz --=+++有限项多项式〕。

则12()(1)e z z Φ-=-〔1〕
注：()e z Φ既满足稳态误差为0，且其零点正好补偿()G z 在单位圆上的极点
则1211()1()2(2)e z z z z z z ΦΦ----=-=-=-〔2〕
注：()z Φ已包含()G z 的纯滞后环节1z -。

1111()0.543(10.368)(10.5)()()()(1)(10.717)
c e z z z G z G z z z z ΦΦ------==-+ 例 9.23 ※已知系统结构图如图。

其中开环脉冲传递函数为：
1111110.5(10.05)()()()(10.112)(10.02511)
.z G z z z z z z ---------++=
试设计Gc (z )在单位阶跃输入时实现最少拍控制。

解：注意：()G z 中分子和分母的阶次同，因此设计原则中的第三条满足。

【分析】： ()G z 中的纯滞后环节？---用()z Φ包含纯滞后环节来对消
()G z 中在单位圆外有不稳定零点1(1 1.2)z -+？---用()z Φ的零点来对消
()G z 中在单位圆上的极点？---用()e z Φ的零点对消
因为()1()r t t =，[]11()1()1R z Z t z
-==- ，则 试探取1()1F z az -=+〔注意，()1F z =不满足后面的所有要求〕。

R (z ) C (z )
则11()(1)(1)e z z az --Φ=-+〔1〕
注：()e z Φ含1(1)z --既满足稳态误差为0，且其零点正好补偿()G z 在单位圆上的极点。

注意：之所以1()1F z az -=+，是因为，11()(1 1.2)z z z --Φ+中必须有，因为()1()e z z Φ=-Φ，故11()(1)(1)e z z az --Φ=-+。

则11()(1 1.2)z bz z --Φ=+〔2〕
注：()z Φ中11(1 1.2)z z --+已包含()G z 的纯滞后环节1z -以及()G z 中在单位圆外有不稳定零点1(1 1.2)z -+。

注意：之所以11()(1 1.2)z bz z --Φ=+增加这个系数b ，是为了满足()1()e z z Φ=-Φ。

根据有：()1()e z z Φ=-Φ〔3〕
将〔1〕〔2〕代入〔3〕式，则
12121.2(1)b z b z a z az ----+=-+〔注意：等式两侧1z -和2z -系数分别相等〕
10.5451.20.455
b a a b a b =-=⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩ 于是： 11()(1)(10.545)e z z z --Φ=-+
11()0.455(1 1.2)z z z --Φ=+
1111()0.91(10.2)(10.015)()()()(10.05)(10.545)
c e z z z G z G z z z z ΦΦ------==++ ——————————————最少拍设计结束————————————— 问题：几拍？
1()()()10.545e E z z R z z -=Φ=+
分析：该最少拍系统响应阶跃输入的调整时间为两拍。

显然由于()G z 在单位圆外存在一个零点，使调整时间比典型最少拍系统多一拍，这增加的一拍，是保证控制器()Gc z 稳定所必须的。

应当指出，当开环脉冲传递函数()G z 中包含有单位圆上和单位圆外的零极点以及纯延迟时， 应用1()(1)()m e z z F z -Φ=-选择()e z Φ时，一般不能再取()1F z =，而必须使()F z 的零点能补偿()G z 的单位圆上或单位圆外的极点。

显然，
在这种情况下，线性离散系统响应典型控制输入的调整时间长于相应典型最少拍系统〔如P 525表所示〕的调整时间，从而变成次最少拍或准最少拍系统。

三．无波纹最少拍系统设计原则
最少拍系统对输入信号适应性差，在有限拍数后，只能作到采样时刻上无误差。

由于最少拍系统的输出在非采样时刻存在纹波，这是工程上所不容许的，应设法消除。

无纹波最少拍系统的设计要求是：在某一种典型输入作用下设计的系统，其输出响应经过尽可能少的采样周期后，不仅在采样时刻上输出可以完全跟踪输入，而且在非采样时刻不存在纹波。

在无波纹最少拍设计时，()z Φ及()e z Φ的选取应遵循下述原则：
1〕()e z Φ的分子中必须包含1(1)m z --因式〔保证系统稳态误差为零〕。

注意：1()(()1)m e Φz z F z -=-，式中：()F z 为不含1(1)z --因子的待定的1
z -的有限项多项式。

一般取12()1...F z az bz --=+++为有限项多项式。

2〕以1z -为变量的()z Φ展开式的项数应尽量少〔保证瞬态过程在有限拍内结束，保证随动系统为最少拍系统〕。

3〕()c G z 应是物理可实现的有理多项式，其零点数不能大于极点数〔即()z Φ的分母与分子阶次之差应大于、等于()G z 的分母与分子的阶次之差〕。

一般已知的()G z 这条都满足。

〔4〕()z Φ中必须包含()G z 中的纯延迟环节〔保证控制器是物理可实现的〕。

〔5〕()e z Φ的零点必须包含()G z 中位于单位圆上及单位圆外的极点〔保证闭环系统稳定〕。

〔6〕()z Φ的零点必须包含()G z 的全部零点〔保证控制器稳定，无纹波〕。

注意：只有〔6〕区别于最少拍系统设计，其余同最少拍系统的设计方法 四．无波纹最少拍系统设计实例
例 已知开环脉冲传递函数为
111110.7173.68()()()(106)
1.38G z z z z z ------+= T =1秒，试设计Gc (z )。

要求：
1. 在单位斜坡输入时实现无波纹最少拍控制。

2. 在单位阶跃输入时实现无波纹最少拍控制。

解：注意：()G z 中分子和分母的阶次同，因此设计原则中的第三条满足。

【分析】： ()G z 中的纯滞后环节？---用()z Φ包含纯滞后环节来对消
()G z 中在单位圆内的零点110.71(7)z -+？---用()z Φ的零点来对消
()G z 中在单位圆上的极点？---用()e z Φ的零点对消
1. 单位斜坡输入：
1〕设计Gc (z )：
()r t t =，则1
12()(1)
T z R z z --=-。

根据无纹波最少拍系统的设计原则，有：
121()(1)(1)e z z az --Φ=-+〔1〕
注：()e z Φ包含12(1)z --既满足稳态误差为0，又抵消了()G z 中在单位圆上的极点。

注意：之所以1()1F z az -=+，是因为，11()(10.717)z z z --Φ+中必须有，因为()1()e z z Φ=-Φ，故121()(1)(1)e z z az --Φ=-+。

则111()(10.717)()b z z z cz Φ---+=+〔2〕
注：()z Φ中11(10.717)z z --+已包含()G z 的纯滞后环节1z -以及()G z 中在单位圆内的零点110.71(7)z -+。

注意：之所以111()(10.717)()b z z z cz Φ---+=+增加这项1()b cz -+，是为了满足()1()e z z Φ=-Φ。

根据有：()1()e z z Φ=-Φ〔3〕
将〔1〕〔2〕代入〔3〕式，则
123123(0.717)0.717(2)(21)bz c b z cz a z a z az ------+++=-+--
〔注意：等式两侧1z - 2z -和3z -系数分别相等〕
故
20.5920.71721 1.4080.7170.826b a a b c a b c a c =-=⎧⎧⎪⎪+=-⇒=⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎩
于是，
)592.01()1()(121--+-=Φz z z e
111() 1.408(10.717)(10.587)z z z z ---Φ=+-
1111()0.383(10.368)(10.587)()()()(1)(10.592)
e z z z Gc z G z z z z ΦΦ------==-+ 2〕检验是否有波纹：
1234()()()()()()
0.3830.01720.1()e M z Gc z E z Gc z z R z z z z z ----==Φ=++++
数字控制器的输出序列
(0)0,()0.383,(2)0.017,(3)(4)0.1m m T m T m T m T ======
显然，()m nT 经过三拍后到达稳态值。

从此，输出()c t 无波纹跟踪单位斜坡输入r (t )。

2． 单位阶跃输入：
1〕设计Gc (z )：
()1()r t t =，则1
1()1R z z -=-。

根据无纹波最少拍系统的设计原则，有：
)1)(1()(11--+-=Φz a z z e 〔1〕
注：()e z Φ包含1(1)z --既满足稳态误差为0，
又抵消了()G z 中在单位圆上的极点。

注意：之所以1()1F z az -=+，是因为，11()(10.717)z z z --Φ+中必须有，因为()1()e z z Φ=-Φ，故11()(1)(1)e z z az --Φ=-+。

则11()(10.717)z bz z Φ--=+〔2〕
注：()z Φ中11(10.717)z z --+已包含()G z 的纯滞后环节1z -以及()G z 中在单位圆内的零点110.71(7)z -+。

注意：之所以11()(10.717)z bz z Φ--=+增加这个系数b ，是为了满足()1()e
z z Φ=-Φ。

根据有：()1()e z z Φ=-Φ〔3〕
将〔1〕〔2〕代入〔3〕式，则
12120.717(1)b z b z a z az ----+=-+〔注意：等式两侧1z -和2z -系数分别相等〕
得到
⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=582
.0418.0717.01b a a b a b 于是
)418.01)(1()(11--+-=Φz z z e
)717.01(582.0)(11--+=Φz z z
11() 1.582(10.368)()()()10.418e z z Gc z G z z z
ΦΦ---==+ 2〕检验是否有波纹：
1()()()() 1.582(10.368)e M z Gc z z R z z -=Φ=-
控制量在第二拍到达稳态值，从此，输出c (t )无波纹、无误差地跟踪阶跃输入r (t )。

但是，最小拍系统〔含无波纹〕的缺点： 最小拍系统〔含无波纹〕的设计要求被控对象的数学模型十分准确，否则将不能到达期望的结果。

而且当被控对象的数学模型含有不稳定的零、极点时，数字控制器的设计会比较复杂。