2019年度高三物理一轮系列优质讲义：第四章第1讲曲线运动运动的合成与分解Word版含答案

第1讲曲线运动运动的合成与分解
一、曲线运动
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向.
2.运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动.
3.运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上.
4.合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧.
自测1(多选)一质点做曲线运动，它的速度方向和加速度方向的关系是()
A.质点速度方向时刻在改变
B.质点加速度方向时刻在改变
C.质点速度方向一定与加速度方向相同
D.质点速度方向一定沿曲线的切线方向
答案AD
自测2已知物体运动的初速度v0的方向及恒力F的方向如下列各图所示，则图中运动轨迹可能正确的是()
答案 B
自测3(多选)关于做曲线运动的物体，下列说法中正确的是()
A.它所受的合外力一定不为零
B.它所受的合外力一定是变力
C.其速度可以保持不变
D.其速度的大小可以保持不变
答案AD
二、运动的合成与分解
1.遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则.
2.合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止. (2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响. (3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果. 3.运动性质的判断
⎩⎨⎧
加速度(或合外力)⎩
⎪⎨
⎪⎧ 变化：非匀变速运动
不变：匀变速运动加速度(或合外力)方向与速度方向⎩
⎪⎨⎪
⎧
共线：直线运动不共线：曲线运动
4.两个直线运动的合运动性质的判断
标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线.
自测4 教材P7第2题改编(多选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图1所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
图1
A.风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B.风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C.运动员下落时间与风力无关
D.运动员着地速度与风力无关 答案 BC
命题点一曲线运动的条件和特征
1.条件
物体受到的合外力方向与速度方向始终不共线.
2.特征
(1)运动学特征：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动.
(2)动力学特征：由于做曲线运动的物体所受合外力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上(做曲线运动的条件).合外力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合外力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小.
(3)轨迹特征：曲线运动的轨迹始终夹在合外力的方向与速度的方向之间，而且向合外力的一侧弯曲.
(4)能量特征：如果物体所受的合外力始终和物体的速度垂直，则合外力对物体不做功，物体的动能不变；若合外力不与物体的速度方向垂直，则合外力对物体做功，物体的动能发生变化.
例1下列说法正确的是()
A.做曲线运动的物体的速度一定变化
B.速度变化的运动一定是曲线运动
C.加速度恒定的运动不可能是曲线运动
D.加速度变化的运动一定是曲线运动
答案 A
解析做曲线运动的物体，速度方向一定改变，选项A正确；速度大小改变而方向不变的运动是直线运动，选项B错误；平抛运动是加速度恒定的曲线运动，选项C错误；加速度大小改变，但加速度方向与速度方向始终相同，这种运动是直线运动，选项D错误.
例2一个物体在光滑水平面上沿曲线MN运动，如图2所示，其中A点是曲线上的一点，虚线1、2分别是过A点的切线和法线，已知该过程中物体所受的合外力是恒力，则当物体运动到A点时，合外力的方向可能是()
图2
A.沿F1或F5的方向
B.沿F2或F4的方向
C.沿F2的方向
D.不在MN曲线所确定的水平面内
答案 C
变式1如图所示，“嫦娥号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点向N点飞行的过程中，速度逐渐减小，在此过程中探月卫星所受合力方向可能是下列图中的()
答案 C
命题点二运动的合成与分解
1.分析运动的合成与分解问题时，一般情况下按运动效果进行分解.
2.要注意分析物体在两个方向上的受力及运动规律，分别在两个方向上列式求解.
3.两个方向上的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点.
例3(2015·新课标全国Ⅱ·16)由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道.当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行.已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图3所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为()
图3
A.西偏北方向，1.9×103m/s
B.东偏南方向，1.9×103m/s
C.西偏北方向，2.7×103m/s
D.东偏南方向，2.7×103m/s
答案 B
解析附加速度Δv与卫星飞经赤道上空时的速度v2及同步卫星的环绕速度v1的矢量关系如图所示.由余弦定理可知，Δv＝v21＋v22－2v1v2cos30°≈1.9×103m/s，方向为东偏南方向，故B正确，A、C、D错误.
变式2(2015·广东理综·14)如图4所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物()
图4
A.帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B.帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C.帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为2v
D.帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为2v
答案 D
解析以帆板为参照物，帆船具有正东方向的速度v和正北方向的速度v，所以帆船相对帆板的速度v相对＝2v，方向为北偏东45°，D正确.
变式3(多选)如图5甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v－t图象如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的x－t图象如图丙所示.若以地面为参考系，下列说法正确的是()
图5
A.猴子的运动轨迹为直线
B.猴子在2s内做匀变速曲线运动
C.t＝0时猴子的速度大小为8m/s
D.猴子在2s内的加速度大小为4m/s2
答案BD
解析猴子在竖直方向做初速度为8m/s、加速度为4 m/s2的匀减速运动，水平方向做速度大小为4m/s的匀速运动，其合运动为曲线运动，故猴子在2s内做匀变速曲线运动，选项A 错误，B正确；t＝0时猴子的速度大小为v0＝v0x2＋v0y2＝42＋82m/s＝45m/s，选项C错误；猴子在2 s内的加速度大小为4 m/s2，选项D正确.
命题点三小船渡河模型
1.船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动.
2.三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v.
3.两类问题、三种情景
4.分析思路
例4 小船在200m 宽的河中横渡，水流速度为2m /s ，船在静水中的航速是4 m/s ，求： (1)若小船的船头始终正对对岸行驶，它将在何时、何处到达对岸？ (2)要使小船到达河的正对岸，应如何航行？历时多长？ (3)小船渡河的最短时间为多长？
(4)若水流速度是5m/s ，船在静水中的速度是3 m/s ，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？ 答案 见解析
解析 (1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动.因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间，即 t ＝d v 船＝200
4
s ＝50s 小船沿水流方向的位移x 水＝v 水t ＝2×50m ＝100m 即船将在正对岸下游100m 处靠岸.
(2)要使小船到达正对岸，合速度v 应垂直于河岸，如图甲所示，则
cos θ＝v 水v 船＝24＝1
2
，故θ＝60°
即船的航向与上游河岸成60°角，渡河时间 t ＝d v ＝2004sin60°s ＝10033
s.
(3)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角β，如图乙所示.船渡河的时间取决于垂直于河岸方向的分速度v ⊥＝v 船sin β，故小船渡河的时间为t ＝d v 船sin β.当β＝90°，即船头与河岸垂
直时，渡河时间最短，最短时间t min ＝50s.
(4)因为v 船＝3m/s<v 水＝5 m/s ，所以船不可能垂直河岸横渡，不论航向如何，总被水流冲向下游.如图丙所示，设船头(v 船)与上游河岸成θ角，合速度v 与下游河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂向下游的距离x ′越短.以v 水的矢尖为圆心，以v 船的大小为半径画圆，当合速度v 与圆相切时，α角最大.
则cos θ＝v 船v 水＝3
5，故船头与上游河岸的夹角θ＝53°
又x ′d ＝v v 船＝v 水2－v 船2v 船
，代入数据解得x ′≈267m. 变式4 (2018·云南保山模拟)如图6所示，一艘轮船正在以4m/s 的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v 1＝3 m/s ，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同.某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化.求：
图6
(1)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小. (2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值. 答案 (1)5 m/s (2)2.4 m/s
解析 (1)发动机未熄火时，轮船运动速度v 与水流速度v 1方向垂直，如图所示.
故此时轮船相对于静水的速度v 2的大小为v 2＝v 2＋v 21＝42＋32m/s ＝5 m/s.
(2)由(1)中，熄火前，设v 与v 2的夹角为θ，则cos θ＝v
v 2＝0.8，轮船的牵引力沿v 2的方向，
水的作用力与v 2的方向相反，熄火后，牵引力消失，在水的作用力作用下，v 2逐渐减小，但其方向不变，当v 2与v 1的矢量和与v 2垂直时，轮船的合速度最小，α＝θ，则v min ＝v 1cos α＝3×0.8m/s ＝2.4 m/s.
命题点四 绳(杆)端速度分解模型
1.模型特点
沿绳(杆)方向的速度分量大小相等. 2.思路与方法
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v
分速度→⎩⎪⎨⎪⎧
其一：沿绳(杆)的速度v 1
其二：与绳(杆)垂直的分速度v 2
方法：v 1与v 2的合成遵循平行四边形定则. 3.解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解.常见的模型如图7所示.
图7
模型1 绳端速度分解模型
例5 如图8所示，人沿平直的河岸以速度v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行.当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为( )
图8
A.v sin α
B.v
sin α C.v cos α
D.v cos α
答案 C
解析 将人的运动分解为沿绳方向的分运动(分速度为v 1)和与绳垂直方向的分运动(分速度为v 2)，如图所示.船的速率等于沿绳方向的分速度v 1＝v cos α，选项C 正确.
变式5 A 、B 两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上，现物体A 以v 1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图9所示，物体B 的运动速度v B 为(绳始终有拉力)( )
图9
A.v 1sin αsin β
B.v 1cos αsin β
C.v 1sin αcos β
D.v 1cos αcos β 答案 D
解析 设物体B 的运动速度为v B ，速度分解如图甲所示，则有v B ＝v 绳B cos β
①
物体A 的合运动对应的速度为v 1，它的速度分解如图乙所示，则有v 绳A ＝v 1cos α ② 由于对应同一根绳，其长度不变，故v 绳B ＝v 绳A
③
联立①②③式解得v B ＝v 1cos α
cos β，选项D 正确.
模型2 杆端速度分解模型
例6 如图10所示，AB 杆以恒定角速度绕A 点转动，并带动套在光滑水平杆OC 上的质量为M 的小环运动，运动开始时，AB 杆在竖直位置，则小环M 的速度将( )
图10
A.逐渐增大
B.先减小后增大
C.先增大后减小
D.逐渐减小 答案 A
解析 设经过时间t ，∠OAB ＝ωt ，则AM 的长度为h cos ωt
，则AB 杆上小环M 绕A 点运动的线速度v ＝ω·h cos ωt
.将小环M 的速度沿AB 杆方向和垂直于AB 杆方向分解，垂直于AB 杆方向的分速度大小等于小环M 绕A 点运动的线速度v ，则小环M 的速度v ′＝
v cos ωt ＝ωh cos 2ωt
，随着时间的延长，小环的速度将不断变大，故A 正确，B 、C 、D 错误.
变式6 (2018·吉林公主岭调研)一轻杆两端分别固定质量为m A 和m B 的两个小球A 和B (可视为质点)，将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图11所示，当轻杆到达位置2时，球A 与球形容器球心等高，其速度大小为v 1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，球B 的速度大小为v 2，则( )
图11
A.v 2＝12
v 1B.v 2＝2v 1C.v 2＝v 1D.v 2＝3v 1 答案 C
变式7 两根光滑的杆互相垂直地固定在一起，上面分别穿有两个小球a 和b ，小球a 、b 间用一细直棒相连，如图12所示.当细直棒与竖直杆夹角为θ时，求小球a 、b 实际速度大小之比.
图12
答案 tan θ
解析 根据速度的分解特点，可作出两小球的速度关系如图所示.由图中几何关系可得，a 、b 沿棒方向的分速度分别为v a cos θ和v b sin θ，根据“关联速度”的特点可知，两小球沿棒的
分速度大小相等，即有v a cos θ＝v b sin θ，解得：v a v b
＝tan θ.。