《样本抽样分布》PPT课件

简称为样本，其观察值 x1 , xn称为样本值。
由定义知：若X 1 ,, X n 为X的一个样本， 则 ( X1 ,, X n ) 的联合分布函数为：
n
F * ( x1 ,, xn ) F ( xi )
5
i 1
第五页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§1 随机样本
若设X的概率密度为 f (x) ，
例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每一个 灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高的全体
3
一个总体，每个男生的身高是一个个体。
第三页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§1 随机样本
二、随机抽样 抽样分放回和不放回抽样， 放回抽样保证每次抽取时各个个体被抽到的概率相同， 但同一个体可能被多次抽到。
1） 定义：设 X1 , X n 为来自总体X的一个样本，g 是 X1 , X n的函数，若g是连续函数，且g中不含任 何未知参数，则称g( X 1 , X n )是统计量。
设( x1 ,, xn )是相应于样本( X1 , X n )的样本值。 则称g( x1 , xn )是g( X 1 , X n )的观察值。
n i 1
Xi
nX 2 )
1n (
n 1 i1
X
2 i
2 XnX
nX
2)
15
1n [
n 1 i1
Xi2
nX 2 ]
第十五页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§2 抽样分布
样本标准差 S
S2
1 n 1
n i1
(Xi
X )2
1
n
[
n 1 i1
Xi2
nX
2]
样本k阶原点矩
Ak
1 n
(9)
第二十五页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§2 抽样分布
X ~ N (0,1), Y ~ 2 (n), X ,Y独立，则 称随机变量
所服从的分布为自由度是n的 t 分布，记作t ~ t(n).
对于给定的 (0 1)，称满足条件：
的点t (n)为t分布的上分位点。
由概率密度的对称性知：
i 1
2
解： X i ~ N (0,1), i 1,, n,
且 它 们 独 立.
则 n ( X i )2 ~ 2 (n).
i 1
2
例3
2 0.05
(8)
______,
2 0.95
(8)
______.
例4 若 X ~ 2 (9), 且 2 使PX 2 0.05,则25
2 0.95
第十页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§2 抽样分布
一、总体参数和样本统计量 无论对总体还是对样本，都可以用均值、方差、矩
等来描述。为了区别，当用这些量来描述总体的特征时 称为总体参数。当用这些量来描述样本的特征时称为样 本的统计量。
11
第十一页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§2 抽样分布
1
P{F
1
F1 (n1 , n2 )}
1
P{ 1 F
1 }
F1 (n1 , n2 )
1 P{
}
F F1 (n1 , n2 )
所以
所以
P{ 1
1 }
F F1 (n1 , n2 )
所以
F (n2 , n1 )
P{ 1 F
F (n2, n1)}
30
第三十页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
14
n
第十四页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§2 抽样分布
2） 常用的统计量
样本均值
X
1 n
n i 1
Xi,
样本方差
S2
1 n1
n
(Xi
i 1
X )2
1
n
[
n 1 i1
Xi2
nX 2 ]
证明：
S 2
1 n1
n
(
X
2 i
i 1
2Xi X
X2)
1n (
n 1 i1
X
2 i
2X
注：统计量是随机变量。
13
第十三页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§2 抽样分布
例1 设
X
1
,
X
为来自总体
n
X
~
N(
,
2 ) 的一个样本，
其中未知 , 2已知，问下列随机变量中那些是统计量
min( X1, X 2, , X n );
X1 Xn ; 2
X1 Xn ;
n
(
X1
X
2
n
)2
;
(X1 Xn) n..
是n1 , n2 的 F 分布，记作F ~ F(n1 , n2 ).
定理：
对于给定的 (0 1)，称满足条件： P{F F (n1 , n2 )}
的点F (n1 , n2 )为F分布的上分位点。
第二十九页，共65页。
29
F (n1 , n2 )
第六章 样本及抽样分布
§2 抽样分布
若F ~ F (n1 , n2 )
解： 总体 X 的分布率为
p( x) P{X x} p x (1 p)1x , x 0,1.
所以（X1,
,
X
）的联合分布率为
n
n
P{ X 1 x1 ,, X n xn } p( xi ) i 1
n
n
n
p xi (1
p)1 xi
xi p i1 (1
n xi p) i1
i 1
§2 抽样分布
ES 2
E[ 1 n1
n
(Xi
i 1
X )2]
1
n
E[
n 1 i1
Xi2
nX 2 ]
1
n
[
n 1 i1
EX i 2
nEX 2 ]
1n [
n 1 i1
( DX
i
( EX i
)2 )
n( DX
(EX )2 )]
1 [ n ( 2 2 ) n( 2 2 )]
xi 0,1, i 1,, n.
8
第八页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§1 随机样本
例3
若X
1
,
,
X
是
nHale Waihona Puke 总体X~N ( ,
2 )的样本，求
( X 1 ,, X n )的联合概率密度. 解：总体 X 的概率密度为f (x) 1
( x )2
e 2 2 , x .
2
所以（X
1
,
,
X
）的联合概率密度为
第六章 样本及抽样分布
数理统计讨论如何从所研究对象的全体 中抽取一部分个体进行试验或者观察，然后 对所得的统计资料进行整理、分析，进而对 所研究对象的全体做出具有一定可靠度的推 断，掌握其规律性。
数理统计包含的内容很丰富，如参数估 计、假设检验、方差分析、回归分析、正交 试验等。
1
第一页，共65页。
i 1
x)2
ak
1 n
n i 1
xik ,
k 1,2
bk
1 n
n
(xi
i 1
x)k ,
k 1,2
分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本k阶
原点矩、样本k阶中心矩的观察值。
统计量是样本的函数，它是一个随机变量，统计量的分布
称为抽样分布。
17
第十七页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§2 抽样分布
§2 抽样分布
例6 已知 X ~ t(n), 试证 X 2 ~ F (1, n).
解：由于X ~ t(n),
所以X Y , Z n
其中Y ~ N (0,1), Z ~ 2 (n), 且 Y , Z 独立.
第六章 样本及抽样分布
§1 随机样本 §2 抽样分布 §3 正态总体统计量分布
2
第二页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§1 随机样本
§1 随机样本
一、总体和样本 1）总体：研究对象的某项数量指标值的全体。 2）个体：总体中的每个元素为个体。 3）样本：从总体中抽取的一部分个体。 从总体中抽取的一个个体就是对总体进行一次观察。
26
当n 45时，t (n) z
第二十六页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
t 分布的概率密度函数为：
其图形如下：
t (x)
n=2
n=25
n=
§2 抽样分布
t
它非常象正态
分布图形, 关于 y
轴对称
x
27
0
第二十七页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
t 分布的数字特征为：
§2 抽样分布
n 1 i1
n
1 (n 2 n 2 2 n 2 ) 2
19
n1
第十九页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
三、 常用统计量的分布
§2 抽样分布
设( X1 , X n )为来自于正态总体N (0,1)的样本， 则称统计量：
所服从的分布为自由度是n的 2分布。
记为 2 ~ 2 (n)
20
第二十页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
分布的密度函数为：
§2 抽样分布
其中：伽玛函数
其密度函数 的图形如下：
通过积分： 来定义。
f (x)
n=1
n=2
n=4 n=6
21
n=11
x
0 第二十一页，共65页。
22
第二十二页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§2 抽样分布
10 若 X ~ 2 (n1 ),Y ~ 2 (n2 ), 且 X，Y 独立，则有
n i 1
Xik
k 1,2,
样本k阶中心矩
Bk
1 n
n
(Xi
i 1
X )k
它们的观察值分别为：
x
1 n
n i 1
xi
k 1,2,
s2
1 n1
n
(xi
i 1
x)2
1n [
n 1 i1
xi 2
nx 2 ]
16
第十六页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§2 抽样分布
s
1 n1
n
(xi
不放回抽样保证每个个体在一个样本中最多出现一次。 一种最重要的抽样时简单随机抽样。
4
第四页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§1 随机样本
定义：设 X 是具有分布函数 F 的随机变量，若 X 1 , X n 是具有同一分布函数 F 的相互独立的随机变量，则称
X 1 , X n为从总体X中得到的容量为n的简单随机样本，
第六章 样本及抽样分布
§1 随机样本
例1 若X1 ,, X n是正态总体X ~ N (1,4)的样本，则
EX 1 X n ___, D( X1 2X 2 ) ____.
7
第七页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§1 随机样本
例2 若X 1 ,, X n是总体X ~ B(1, p)的样本，
求( X1, , X n )的联合分布率.
3）结论：设 X1 , X n 为来自总体X 的一个样本，
EX , DX 2 ,
则 E X , D X 2 , ES 2 2.
n
EX
E
1 n
n i1
X
i
1 n
n i 1
EX i
DX
D
1 n
n i1
Xi
1 n2
n
DX i
i 1
2
n
18
第十八页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
则 ( X 1 ,, X n ) 的联合概率密度为：
n
f * ( x1 ,, xn ) f (xi ) i 1
若设X的分布率为 P{X x} p( x) ，
则 ( X 1 ,, X n ) 的联合分布率为：
n
P{ X 1 x1 ,, X n xn } p( xi ) 6 i 1
第六页，共65页。
2
X
2 1
X
2 n
X i ~ N (0,1), EX i 0, DX i 1,
EX
2 i
DX i ( EX i )2
1,
DX
2 i
EX
4 i
(
EX
2 i
)
2
31
2,
i 1,2,n
n
n
所以 E 2 E(
X
2 i
)
EX
2 i
n
23
i 1
i 1
第二十三页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§2 抽样分布
对于给定的 (0 1)，称满足条件：
的点2 (n)为 2 (n)分布的上分位点。
2
24
第二十四页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§2 抽样分布
例2 设( X 1 , X n )为来自于正态总体N ( , 2 )的样本，
则 n ( X i )2 ~ __________.
当 n很大时,t(n)与N(0,1)近似
例5 若 X ~ t(9), 且 2 使PX 2 0.05,则
t 0.95 (9)
28
第二十八页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§2 抽样分布
若 X ~ 2 (n1 ), Y ~ 2 (n2 ), X ,Y 独立，则 称随机变量
所服从的分布为自由度
定义 特征
总体 研究对象的全体
参数
样本 抽取的部分个体
统计量
总体容量 N
总体均值
总体方差 2
总体标准差
总体矩
EX k , E( X EX )k
样本容量 n
样本均值 X 样本方差 S 2
样本标准差
S
A , 样本矩
k
12
Bk
第十二页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
二、统计量及其分布
§2 抽样分布
n
f ( x1 ,, xn )
n
n
f (xi )
1
( xi )2
e 2 2
n
i 1
i1 2
( xi )2
(2
) en 2
i1 2 2
xi , i 1,, n.
9
第九页，共65页。
第六章 样本及抽样分布
§1 随机样本
三、其它抽样方法 1. 机械抽样：从总体中抽取样本是按照时间和空间等距 离抽样。每个个体被抽到样本中的机会不相等。在检验 连续生产过程中产品质量时，常用机械抽样法。 2. 整群抽样：把总体分为若干群，要求群内个体之间差 别较大，群与群之间差异较小，随机抽取一个或几个群， 作为总体的代表。 3. 类型抽样：将总体分为许多类型，要求每一类型内个 体差别较小，而类型之间差异较大，在每一类型内随机 抽样。如了解城市居民的消费情况，根据年龄分为几种 类型，儿童、男青年、女青年、中年、老年等。 以上是简单随机抽样的补充。随机抽样也是一门学问， 抽样方法的好坏可直接影响到估计的效果及达到10事半功 倍的效果。