吉林省东北师范大学附属中学2021届高三下学期第四次模拟考试 数学(理) Word版含答案

切磋砥砺足千日 紫电龙光助鹰扬
东北师大附中 2018级高三年级 第四次模拟考试
数学（理）学科试卷
本试卷共23题，共150分，共6页．
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴
在条形码区域内．
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的． 1．已知集合2{|13},{|20}A x x B x x x =<<=-->，则A B =
A ．(,1)
(1,)-∞-+∞B ．(1,3)- C ．(,2)(1,)-∞-+∞
D ．(2,3)-
2．已知,l m 是两条不同的直线，α是平面，/l α⊂，m α⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”的 A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
3．执行如图所示的程序框图，若输出的S 是30
A ．6n ≥
B ．8n ≥
C ．10n >
D ．10n ≥
4．若()cos sin f x x x =-在[]
,a a -上是减函数，则a 的最大值是
A ．
8
π B ．
4
π C ．
38
π D ．
34
π 5．若双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a
b -=>>的一条渐近线被以焦点为圆心的
圆
2240x y x +-=所截得的弦长为b =
A ．1
B
C
D ．2
6．函数ln x
y x
=
的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
7．某高中高一、高二、高三年级的人数分别为1200、900、900人．现按照分层抽样的方法抽取300名学生，调查学生每周平均参加体育运动的时间．样本数据（单位：小时）整理后得到如右图所示的频率分布直方图．下列说法错误．．
的是 A ．每个年级抽取的人数分别为120、90、90人
B ．估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数约为300人
C ．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数约为600人
D ．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为10% 8．已知ABC △的面积是22
1()4
S b c =+（其中,b c 为ABC △的边长），则ABC △的形状 为 A ．等边三角形
B ．是直角三角形但不是等腰三角形
C ．是等腰三角形但不是直角三角形
D ．等腰直角三角形
9
．已知2sin(6
3π
θ+
=
，则sin(2
6
π
θ-=
A
．1
9-
B ．
19
C
．9
-
D ．
9
10．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac Newton,1643-1727）在
《流数法》一书中给出了牛顿法—用“作切线”的方法求方程的近似解．如图，方程
()0f x 的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值0x ，()f x 在0x 处的切线与x 轴的交点为1x ，()f x 在1x 处的切线与x 轴的交点为2x ，一直继续下去，得到012,,,n x x x x ，它们
越来越接近r ．若2
()
2(0),2f x x x x ，则用牛顿法
得到的r 的近似值2x 约为
A ．1.438
B ．1.417
C ．1.416
D ．1.375
11．已知2201
()10x
x x f x x x ⎧⎪⎪+=⎨⎪-<⎪⎩≥，，，若方程()f x t 有三个不同的解123x x x ，，，且1
23x x x ，
则
123
111x x x -++的取值范围是
A ．(1,)+∞
B ．(2,)+∞
C ．5
(,)2
+∞
D ．(3,)+∞
12．已知3log 15a =，5log 40b =，26c =，则
A ．a c b >>
B ．c a b >>
C ．b a c >>
D ．a b c >>
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知i 为虚数单位，复数z 满足()i 12i z -=，则z = ．
14．若实数x ，y 满足约束条件26341400
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为 ．
15．如图，在同一个平面内，向量OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=， 向量OB 与OC 的夹角为45，且||||1OA OB ==，||2OC =
．
若OC =m OA +n OB （m ∈R ，n ∈R ），则n m -= ．
16．如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对
这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin(1794-1847)的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于,E F ，在截口曲线上任取一点A ，过A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于,C B ，由球和圆的几何性质，可以知道，AE AC =，
AF AB =，于是AE AF AB AC BC +=+=．由,B C 的产
生方法可知，它们之间的距离BC 是定值，由椭圆定义可知，
截口曲线是以,E F 为焦点的椭圆．
如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P ，则球在桌面上的投影是椭圆．已知12A A 是椭圆的长轴，1PA 垂直于桌面且与球相切，1
5PA =，则椭圆的离心率为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17.（12分）
设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q ，已知11,1d q a b =+=，
22431,1a b a b +=+=．
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）求数列n n a b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
O
A C
B
α
18．（12分）
近日，为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分
居民做了新冠疫苗免费接种的宣传和调查．调查数据如下：共95份有效问卷，40名男性中有10名不愿意接种疫苗，55名女性中有5名不愿意接种疫苗．
（1）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握
认为是否愿意接种疫苗与性别有关？
（2）从不愿意接种的15份调查问卷中得到拒绝接种新冠疫苗的原因：有3份身体原因
不能接种；有2份认为新冠肺炎已得到控制，无需接种；有4份担心疫苗的有效性；有6份担心疫苗的安全性．求从这15份问卷中随机选出2份，在已知至少有一份担心疫苗安全性的条件下，另一份是担心疫苗有效性的概率．
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19．（12分） 如图，在三棱锥A BCD -中，90BCD ∠=︒，1BC CD ==，ACB ACD ∠=∠． （1）证明：AC BD ⊥；
（2）若直线AC 与平面BCD 所成的角为45︒，1AC =，
求二面角A CD B --的余弦值．
20．（12分）
如图，已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y P x y Q x y 四
点都在抛物线上，直线AP 与直线BQ 相交于点F ，且直线AB 斜率为1． （1）求12y y +和13y y 的值；
（2）证明直线PQ 过定点，并求出该定点．
21．（12分）
已知函数2
()2ln 1f x x ax x =-+有两个极值点1,x x
（1）求a 的取值范围；
（2）证明：2211221
()()
1x f x x f x a x x -<+-．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．
22. [选修44-：坐标系与参数方程]（10分）
平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2
44x t y t
⎧=⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为
极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
. （1）写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）若射线OM ：0(0)θαρ=≥平分曲线2C ，且与曲线1C 交于点A （异于O 点），
曲线1C 上的点B 满足2
AOB π
∠=
，求AOB △的面积S .
23. [选修45-：不等式选讲]（10分）
已知函数()|2||4|f x x x =--+. （1）求()f x 的最大值m ；
（2）已知,,(0,)a b c ∈+∞，且a b c m ++=，求证：22212a b c ++≥.
B A
C
D
切磋砥砺足千日 紫电龙光助鹰扬
东北师大附中 2018级高三年级 第四次模拟考试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．i 1-+
14．4
15．
12
16．2
3
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程
或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17.（本小题满分12分）
【试题解析】
解：（1）由题意11
1
1211
1131d q a b a d b q a d b
q =⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，解得111,2,2a b d q ====，
（2分）
所以21n a n =-，
（4分）
2n n b =．
（6分） （2）
21
2
n n n a n b -=，
（7分）
23135212222n n n S -=
++++
（8分）
213521
21222
n n n S --=++++ 相减得231222221
122222n n n
n S --=+++++- 1
11212321312212
n n n n n n S ---+=+-=--． （12分）
【另解】1212123
222
n n n n
n a n n n b --++==-，
2301121135213557
2123
()()222
22222
22
n n n n n n n S --++=
++++
=-+-++
- 18．（本小题满分12分） 【试题解析】
解：（1）
（2分）
22
2
()95(3055010) 4.408 3.841()()()()40558015n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯
（7
分）
有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关．
（8
分）
（2）116422159248
6923
C C p C C ===-．
（12
分）
19．（本小题满分12分）
【试题解析】
证明：（1）取BD 中点O ，连接OA ，OC ，则OC BD ⊥，
又BC DC =，ACB ACD ∠=∠，AC AC =，
所以ABC ADC ≅△△，所以AB AD =，所以AO BD ⊥．
AO CO O =，AO ⊂平面AOC ，CO ⊂平面AOC ，所以BD ⊥平面AOC ．
又AC ⊂平面AOC ，所以AC BD ⊥．
（4
分)
（2）解：（2）由（1）知BD ⊥平面AOC ，BD ⊂平面BCD ，
所以平面BCD ⊥平面AOC ．
所以CA 在平面上的射影是CO ，所以ACO ∠为直线AC 与平面BCD 所成的角， 即45ACO ∠=︒．
（6
分)
又因为122CO BD =
=
1AC =，在ACO △中由余弦定理可知AO 2
= 所以222AO OC AC +=，所以AO OC ⊥．且平面AOC 平面BCD OC =，
所以AO ⊥平面BCD ．
（8
分)
【方法一】取CD 中点E ，连接OE ，AE ， 则OE CD ⊥，AE CD ⊥，
所以AEO ∠为二面角A CD B --的平面角，
13
2cos 33
2
OE AEO AE ∠===． （12分)
【方法二】以O 为原点，,,OC OD OA 分别是x 轴，y 轴，z 轴建立平面直角坐标系，如图所示．
则(0,0,0)O ,2
C ,2
D ,2A ． 22
22(,0,),(0,2222
CA DA =-=-
， 平面BCD 的法向量为)(0,0,1n =， 设平面ACD 的一个法向量为(,,)m x y z =，
则2
2
022
22
022
m CA x z m DA y z ⎧
⋅=-+=⎪⎪⎨
⎪⋅=-+=⎪⎩
，可得(1,1,1)m =，
记二面角A CD B --的平面角为θ，则3
cos 3|||
1|m n m n θ⋅==
=⨯． 即二面角A CD B --的余弦值为3
3
．
（12
分) 20．（本小题满分12分）
【试题解析】
解：（1）因为直线AB 斜率为1，所以设直线AB 方程为y x b =+，
与24y x =联立得，2
440y y b -+=，124y y +=，
（2
分） 因为焦点(1,0)F ，所以设直线AP 方程为1x my =+，
与2
4y x =联立得2
440y my --=，134y y =-，
（4
分）
（2）设直线PQ 方程为x ty n =+， 与2
4y x =联立得，2
440y ty n --=，
344y y t +=，344y y n =-，
（6
分）
由（1）知134y y =-，同理244y y =-， 所以341234344()444y y t y y y y y y n
-+--+=
+==，
又由（1）知124y y +=，所以n t =，
（10
分）
所以直线PQ 方程为(1)x ty t t y =+=+，过定点(0,1)E -． （12
分）
21．（本小题满分12分）
【试题解析】 解：（1）因为函数2
()2ln 1f x x ax x =-+有两个极值点12,x x ，
所以()()22(1ln )g x f x x a x '==-+有两个零点，
（1
分）
2()2a
g x x '=-
①若0a ≤，()g x 在(0,)+∞单调递增，至多1个零点，不符合题意；
（2
分）
②若0a >，令2()20a
g x x
'=-=，x a =， 0x a <<，()0g x '<，()g x 单调递减，x a >时，()0g x '>，()g x 单调递增，
min ()()2ln g x g a a a ==-，
（i ）01a <<，min ()()2ln 0g x g a a a ==->，无零点，
（3
分）
（ii ）1a =，min ()()2ln 0g x g a a a ==-=，1个零点，
（4
分） （iii ）1a >，min ()()2ln 0g x g a a a ==-<， 又1212
()2(1ln )0g a e e e e
=
-+=>， 且2
2
2
(2)42(1ln 2)2(22ln 1ln 2)0g a a a a a a a =-+=--->， 所以()g x 在21(,),(,2)a a a e
各有一个零点，即()f x 有两个极值点12,x x ，
综上，1a >．
（
6
分） （2）【证法一】 由（1）知1a >，且112222(1ln )0,22(1ln )0x a x x a x -+=-+=，
1122ln ,ln x a a x x a a x -=-=，
22111111()2ln 121f x x ax x x ax =-+=-++， 22222222()2ln 121f x x ax x x ax =-+=-++，
222112211122122121()()(21)(21)
1x f x x f x x x ax x x ax x x x x x x --++--++==+--，
要证明2211221
()()
1x f x x f x a x x -<+-，只需证212x x a <．
（8
分）
由1122ln ,ln x a a x x a a x -=-=相减得2
211
ln
x x x a x -=， 不妨设211x t x =>，则111ln ln ,1a t tx x a t x t -==-，2ln 1
at t x t =-，
所以2
2122ln ln ln 11(1)
a t at t t t x x a t t t ==---，
所以只需证22ln 1(1)t t t <-
，只需证ln t <(1)t >，
（10
分）
设()ln 1)p t t t =->
，2
1()0p t t '==<
所以()ln p t t =(1,)+∞
单调递减，()ln (1)0p t t p =<=，
所以ln t <2
12x x a <． （12
分）
【证法二】不妨设12
0x x <<，122211212
21
12
()()
()()111f x f x x f x x f x x x a x x x x -
-=<+--
2121212()()11(1)()f x f x a x x x x ⇔-<+-221212
()1()1f x a f x a x x ----⇔<
（9分） 设2222
()12ln ()2ln f x a x ax x a a F x x a x x x x ----=
==--， 2222()1(1)0a a a
F x x x x
'=-+=-≥，()F x 在(0,)+∞为增函数，
221212
()1()1f x a f x a x x ----<
． （12
分）
【说明】建议教师重点讲证法一，因为本题中由a 确定12,x x ，即12,x x 都与a 有关，而证法二中的12,x x 并没有利用12,x x 与a 相关，说明本题的结论12,x x 不是极值点也成立． 原来编的题是证明2211221
()()
21x f x x f x a x x -<
<+-，考虑到学生的计算量和难度问题只保留
了比较简单的右侧不等式，讲解时可以加上． 要证明22
11221
()()
21x f x x f x a x x -<<+-，只需证2121x x a <<． 【证法一】
由1122ln ,ln x a a x x a a x -=-=相减得2211
ln x
x x a x -=，
不妨设211x t x =>，则111ln ln ,1a t tx x a t x t -==-，2ln 1at t x t =-，
要证121x x >，
由1122ln ,ln x a a x x a a x -=-=相加得12122ln x x a a x x +-=， 要证121x x >，只需证122x x a +>，
即12ln ln (1)ln 2111a t at t a t t
x x a t t t ++=
+=>---， 只需证(1)ln 21t t t +>-，即只需证2(1)
ln 01
t t t -->+，
设2(1)
()ln (1)1
t h t t t t -=->+，222
14(1)()0(1)(1)t h t t t t t -'=-=>++， 所以()h t 在(1,)+∞单调递增，2(1)
()ln (1)01
t h t t h t -=->=+，
所以122x x a +>，所以12122ln 0x x a a x x +-=>，所以121x x >． 【证法二】()()22(1ln )g x f x x a x '==-+ 设()()()G x g a x g a x =+--，[0,)x a ∈，
则2
22
224()()()220a a x G x g a x g a x a x a x a x
-'''=++-=-+-=≤+--， ()()()G x g a x g a x =+--在[0,)a 为减函数，
当(0,)x a ∈，()()()(0)0G x g a x g a x G =+--<=， 所以()()g a x g a x +<-，
取1x a x =-，则112(2)()()g a x g x g x -<=，
又因为122(,),(,)a x a x a -∈+∞∈+∞，且()g x 在(,)a +∞单调递增， 所以122a x x -<，所以122x x a +>，
所以12122ln 0x x a a x x +-=>，所以121x x >．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，按所做的第一题计分．
22. [选修44-：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 【试题解析】解：（1）曲线1C 的直角坐标方程是2
4y x =，
化成极坐标方程为2
sin 4cos ρθθ⋅=；
曲线2C 的直角坐标方程是(
)(2
2
14x y -+-=. （5
分）
（2）曲线2C 是圆，射线OM 过圆心，所以方程是()03
π
θρ=≥，
代入2
sin 4cos ρθθ⋅=得83
A ρ=
， 又2
AOB π
∠=
，所以B ρ=
，因此118322AOB
A B S
ρρ=
⋅⋅=⨯⨯=
.（10分）
23. [选修45-：不等式选讲]（本小题满分10分）
【试题解析】解：（1）242(4)6x x x x --+≤--+=，当且仅当4x ≤-时等号成立.
也可以画图解答
（5
分）
（2）由（1）可知，6a b c ++=.
又∵0a b c >，
，， ∴2
2
2
2
2
2
2
2
2
3()2()()a b c a b c a b c ++=+++++ 222222222()()()()a b b c c a a b c =++++++++ 2222222()()=36ab bc ac a b c a b c ≥+++++=++
（当且仅当2a b c ===时取等），
∴22212a b c ++≥．
（10
分）。