7.3.2离散型随机变量的方差(教学课件)-高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第三册)

∴D( X ) 4 0.09 1 0.24 0 0.32 1 0.28 4 0.07 1.16.
D(Y ) 4 0.07 1 0.22 0 0.38 1 0.30 4 0.03 0.92. ∵D(Y ) D( X )，
∴随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.
2
∴ D( X ) 6 xi2 pi (E( X ))2 (12 22 32 42 52 62 ) 1 ( 7 )2
i 1
62
91 1 ( 7 )2 35 . 6 2 12
例5： 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.
解法1：随机变量X的分布列为 P( X k) 1 ,k 1,2,3,4,5,6. 6

∴ E( X ) 1 (1 2 3 4 5 6) 7 .
6
2
D( X ) [(1 7 )2 (2 7 )2 (3 7)2 (4 7)2 (5 7)2 (6 7)2] 1
i 1
i 1
n
n
证明：D( X ) ( xi E( X ))2 pi ( xi2 2E( X )xi (E( x))2 ) pi
i 1
i 1
n
n
n
xi2 pi 2E( X ) xi pi (E( x))2 pi
i 1
i 1
i 1
n
xi2 pi 2E( X ) E( X ) (E( x))2 1 i 1
人教A版2019必修第三册
第七章 随机变量及其分布
7.3.2离散型随机变量的方差
学习目标
1.通过具体实例，理解取有限值的离散型随机变量的方 差与标准差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实 际问题. 3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法.
知识回顾
1.离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X
x1
x2
‧‧‧
xn
P
p1
p2
‧‧‧
pn
n
则称 E( X ) x1 p1 x2 p2 xn pn xi pi i 1
为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.
2.均值的性质： E(aX b) aE( X ) b，
3.随机变量X服从两点分布，则有 E( X ) 0 (1 p) 1 p p.
X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
如何评价这两名同学的射击水平?
通过计算可得，E( X ) 8，E(Y ) 8.
由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平. 评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，
即击中环数的离散程度. 思考 怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度?
一、离散型随机变量的方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X
x1
x2
‧‧‧
xn
P
p1
p2
‧‧‧
pn
则称
D( X ) ( x1 E( X ))2 p1 ( x2 E( X ))2 p2 ( xn E( X ))2 pn
n
xi2 pi (E( x))2 . i 1
二、方差的性质
探究：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样的变化? 离散型随机
变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化? 它们和期望的性质有什么不同?
∵E( X b) E( X ) b,E(aX ) aE( X ).
n
n
∴D( X b) [( xi b) E( X b)]2 pi ( xi E( X ))2 pi D( X ).
问题 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记 录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.
X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
分别计算这两名同学的方差，并用此评价他们的射击水平. 解：∵ E( X ) 8，E(Y ) 8.
n
( xi E( X ))2 pi i 1
为随机变量X的方差， 有时也记为Var(X)，并称 D(X )为随机变量X的标准差 ，记为σ(X).
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，
反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中 ；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
随机变量的均值是一个重要的数字特征， 它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集 中趋势” . 因为随机变量的取值围绕其均值波动， 而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小 . 所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大 小的数字特征.
问题 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩 记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.
i 1
i 1
n
n
D(aX ) [axi E(aX )]2 pi a2 ( xi E( X ))2 pi a2D( X ).
i 1
i 1
∴ D(aX b) a2D( X ).
均值的性质：E(aX b) aE( X ) b.
方差的性质：D(aX b) a2D( X ).
(aX b) | a | D(X ) | a | (X ).
思考：离散型随机变量的方差和样本方差之间有何关系?
(1)离散型随机变量的方差即为总体的方差,它是一个常数,不随样 本的变化而变化; (2)样本方差则是随机变量,它是随样本不同而变化的.
在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论.
n
n
D( X ) ( xi E( X ))2 pi xi2 pi (E( X ))2 .
2
2
2
2
2
26
25 9 1 1 9 25 1 35 .
4
6 12
例5： 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.
解法2：随机变量X的分布列为 P( X k) 1 ,k 1,2,3,4,5,6. 6
∴ E( X ) 1 (1 2 3 4 5 6) 7 .
6