＊§6 正态分布

决定是有道理的.
【变式训练】 灯泡厂生产的灯泡的寿命为ξ （单位：h）， 已知
ξ~N(1 000,30 ) ，要使灯泡的平均寿命为1 000 h的
概率约为99.7％，问灯泡的最低使用寿命应控制在 多少小时以上？
2
解：因为灯泡的使用寿命 ξ~N(1 000,30 2 )
故ξ在（1 000-3×30，1 000+3×30）的概率约为 99.7％，即ξ在（910，1 090）内取值的概率约为
0 a b
提示：知道了X的分布密度曲线，则X取值于任何范围
的概率，都可以通过计算该曲线下相应部分的面积而
得到.实际上是计算分布密度函数f(x)在一个区间上的 定积分.
正态分布的概念：
(1)正态分布 正态分布的分布密度函数为： 1 -( x - )2 f ( x) ＝ exp ， 2 σ 2π 2 x ∈ ( －∞，＋∞) ，其中 μ 表示 均值 ， σ2(σ>0) 表 示 方差 ．通常用 X～N(μ，σ2)表示 X 服从参数为 μ 和 σ2 的正态分布． (2)正态分布密度函数满足以下性质 ①函数图像关于直线 x＝μ 对称； ②σ(σ＞0)的大小决定函数图像的
A.σ 1＞σ 2＞σ B.σ 3＞σ 2＞σ C.σ 1＞σ 3＞σ D.σ 2＞σ 1＞σ
3 1 2 3
【解析】σ反映了随机变量取值的离散程度，σ越 小，波动越小，取值越集中，图像越“瘦高”.
4. 若随机变量X服从正态分布N(2,9)且P(X>c+1) 2 =P(X<c-1),则c=______. 【解析】依题意可知X=c+1与X=c-1应关于X=2对称,
*§ 6
正态分布
观察高尔顿板试验，从中总结规律
如上图中每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它 们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰 好位于下一层的两颗正中间.从入口处放进小圆玻璃球， 当小圆球向下降落过程中，以1/2的概率向左或向右滚 下,于是又碰到下一层钉子,如此继续下去，直到滚到 底板的一个格子内为止.只要球的数目相当大,它们在 底板将堆成近似中间高,两头低，呈左右对称的图形.
决定是否有道理呢？
解
如果设备正常运行，产品的质量服从正态分布.
由于正态分布的参数为：μ=500 g，σ2 =1.根据正
态分布的性质(3)可知，产品质量在μ－3σ=5003=497(g)和μ+3σ=500+3=503(g)之间的概率为0.997， 而质量超出这个范围的概率只有0.003，这是一个几 乎不可能出现的事件.但是检查员随机抽取的产品为 504 g，这说明设备的运行极可能不正常，检查员的
.
【总结提升】
1．正态分布完全由参数μ 和σ 确定，因此可把正 态分布记作N(μ ，σ 2)． 2．要正确理解μ ，σ 的含义．若X～N(μ ，σ 2)， 则EX＝μ ，DX＝σ 2，即μ 为随机变量X取值的均值， σ 2为其方差．
提升总结：正态曲线的性质
(1)非负性：曲线 f , ( x ) 在x轴的上方,与x轴不相交 (即x轴是曲线的渐近线). (2)定值性:曲线 f , ( x ) 与x轴围成的面积为1． (3)对称性：正态曲线关于直线 x=μ 对称，曲线成 “钟形”．
“胖”“瘦”
；
③正态变量在三个特殊区间内取值的概率值
P ( μ － σ ＜ X ＜ μ ＋ σ )＝ 68.3% P(μ －2σ ＜X＜μ ＋2σ )＝95.4% P(μ －3σ ＜X＜μ ＋3σ )＝ 99.7%
， ， .
通常服从于正态分布N(μ ，σ 2)的随机变量X在区间
(μ －3σ ，μ ＋3σ )外取值的概率只有 0.3%
正态分布曲线的形状特征，如对称轴，
顶点变化趋势等．
应用3σ 原则解决实际问题.
只有不畏攀登的采药者，只有不怕巨浪的弄
潮儿，才能登上高峰采得仙草，深入水底觅得珍 珠。
(4)单调性：在直线 x=μ 的左边, 曲线是上升的;在
直线 x=μ 的右边, 曲线是下降的.
(5)最值性:当 x=μ时, f , ( x )取得最大值 1 σ越大， 就越小,于是曲线越“矮胖”,表示总 2 体的分布越分散;反之，σ越小,曲线越“瘦高”,表示 总体的分布越集中． (6)几何性:参数μ和σ的统计
探究点1 连续型随机变量
考察下列X是随机变量吗？与前面讨论的离散型随机变量
有什么不同?
（1）某一自动装置无故障运转的时间X.
提示：X是随机变量，它可以取区间(0,+∞)内的一切值.
（2）某种产品的寿命（使用时间）X.
提示：X是随机变量，它可以取[0,b]或[0,+∞)内的一
切值.
连续型随机变量的概念：
1 ， 2
y
意义 :Ex=μ, 曲线的位置由 μ
决定 ;Dx=σ2, 曲线的形状由 σ决定.
o
x
3σ原则
正态总体几乎总取值于区间 3 , 3 之内,
而在此区间以外取值的概率只有0.3％,通常认为这种情
况在一次试验中几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ , σ 2)的随机变量只取 3 , 3 之间的值，并称 为3σ 原则．
3 2


2
3
例
某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分
2
布，其参数为：μ =500 g，σ
=1.为了检查设备运
行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测
量其质量.当检查员随机地抽取一个产品，测得其质
量为504 g，他立即要求停止生产，检查设备.他的
【解析】 (1)易知正态曲线关于x=80对称，所以参数 μ=80 又因为P（72≤x≤88)=0.683结合P(μ-σ<x<μ+σ) =0.683， 可知σ=8. 【解题关键】正态分布的概率公式.
(2)因为P(μ-2σ<x<μ+2σ)=P(64<x<96)=0.954.
又因为P(x<64)=P(x>96)，
随机变量可以取某一区间中的一切值，这
样的随机变量称连续型随机变量. 思考：怎样描述连续型随机变量的分布呢？
提示：我们将连续型随机变量所对区间无限细分，
最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量 X的分
布密度曲线，这条曲线对应的函数称为 X的分布密
度函数.
探究点2 正态分布
思考：如图为随机变量X的分
布密度曲线，你能否求出X 在（a, b]上的概率吗？
16
这个 统计假设 , 则 在一次试验 中取值 应落在 区 间 ( C ) A. (, 9 )
4 9 15 ( , ) ( , ) C. 4 4
B. (15 , )
4 是正态分布N(μ ,1 ),N(μ ,2 ), 2
2 N(μ ,3 )相应的曲线，则有( A )
上面的钉板试验给我们如下图的曲线
这就是本节课我们学习的正态曲线，通过学习 我们会掌握正态曲线的有关知识，用它来解决实际 生产生活中的问题，好好学习吧.
1.了解连续型随机变量. 2.理解正态分布曲线的特点,掌握正态分布密度函数 的性质 . （重点） 3.熟记正态分布密度函数在三个取值区间上的概率， 并能进行简单应用. (难点）
1 所以P(x<64)= (1-0.954)=0.023 2
所以P(X≥64)=0.977， 1 又因为P(X≤72)= (1-0.683)≈0.159， 2 所以P(X>72)=1-0.159=0.841.
所以P(64<x≤72)=P(x>64)-P(x>72)=0.136
能够理解正态分布密度曲线的概念.
因为 c+1+c-1 =2 ,所以c=2. 2 5.某次考试成绩X～N(μ ,32),随机抽查50名学生的
73 成绩,其平均值为73,则μ 的估计值为______.
【解析】N(μ,32)中的参数μ是指总体的均值,所以
μ的估计值为73.
6.已知随机变量X～N(μ ,σ 2),且其正态曲线在 (-∞,80)上是增加的，在（80,+∞）上是减少的, 且P(72≤X≤88)=0.683. (1)求参数μ ,σ 的值； (2)求P(64<X≤72).
99.7％，故灯泡的最低使用寿命应控制在910 h以上.
1.某校高三男生共1 000人，他们的身高X(cm)近似服
从正态分布 X～N(176,16) ,则身高在180cm以上的男 生人数大约是（ A.683 C.46
B ）
B.159 D.317 o x
y
【解题关键】正态分布的性质.
2.假 设总体服从正 态分布 N (3, 1 ) , 如 果要拒绝