2021年内蒙古通辽市中考数学试卷和答案

2021年内蒙古通辽市中考数学试卷
一、选择题（本题包括10道小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1．（3分）|﹣2|的倒数是（）
A．2B．C．﹣2D．﹣
2．（3分）下列计算正确的是（）
A．x2+x3＝x5B．2x3﹣x3＝1
C．x3•x4＝x7D．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6
3．（3分）为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表
成绩/分919293949596979899100
人数■■1235681012
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（）
A．平均数，方差B．中位数，方差
C．中位数，众数D．平均数，众数
4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
5．（3分）如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体的小立方体的个数不可能是（）
A．3B．4C．5D．6
6．（3分）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（）
A．507（1+2x）＝833.6
B．507×2（1+x）＝833.6
C．507（1+x）2＝833.6
D．507+507（1+x）+507（1+x）2＝833.6
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，判断以下结论错误的是（）
A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC
D．AE＝AC
8．（3分）定义：一次函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若一次函数y＝﹣2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y＝﹣，B两点，且点A，则一次函数y＝﹣2x+m的特征数是（）A．[2，3]B．[2，﹣3]C．[﹣2，3]D．[﹣2，﹣3] 9．（3分）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，点E为射线BC上一个
动点，连接AE，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，BC 于M，N两点，BE的长为（）
A．B．C．或D．或10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，动点P，Q同时从点A出发，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，当点P到达点C 时，点Q也随之停止运动，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（本题包括7道小题，每小题3分，共21分。

将答案直接填在答题卡对应题的横线上）
11．（3分）冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为0.00000012米，数据0.00000012用科学记数法表示为．12．（3分）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭
合开关S1，S2，S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是．
13．（3分）一副三角板如图所示摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为．
14．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”
问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺．
15．（3分）若关于x的不等式组，有且只有2个整数解，则a的取值范围是．
16．（3分）如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，且∠ACB＝60°，若点M，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是．
17．（3分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△A n﹣1A n B n 都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A1，A2，A3，…，A n 都在x轴上，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点B n的坐标为．（用含有正整数n的式子表示）
三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）
18．（5分）计算：（）﹣1+（π﹣3）0﹣2cos30°+|3﹣|．19．（6分）先化简，再求值：（+x﹣1）÷，其中x满足x2﹣x﹣2＝0．
20．（6分）如图，甲、乙两个转盘均被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指数字分别记为x（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率．
21．（7分）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，小明在南岸边B 处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s 的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：≈1.732）
22．（7分）暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分）
其中A组的频数a比B组的频数b小15．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共抽取名学生，a的值为；
（2）在扇形统计图中，n＝，E组所占比例为%；（3）补全频数分布直方图；
（4）若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数．
23．（8分）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元
（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？
（2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶、15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，连接OP，过点B作BD∥OP，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．
25．（10分）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1，连接AM，BN；
（2）将△MON绕点O顺时针旋转．
①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：AM2+BM2＝2OM2；
②当点A，M，N在同一条直线上时，若OA＝4，请直接写出线段AM的长．
26．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在
答案
一、选择题（本题包括10道小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1．参考答案：|﹣2|的倒数是，
故选：B．
点睛：主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．参考答案：A．x2+x3，不是同类项，不能合并；
B.5x3﹣x3＝x5，故本选项不合题意；
C．x3•x4＝x4，故本选项符合题意；
D．（﹣2xy2）2＝﹣8x3y6，故本选项不合题意；
故选：C．
点睛：本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法法则、积的乘方与幂的乘方运算，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．3．参考答案：由表格数据可知，成绩为24分，
成绩为100分的，出现次数最多，
成绩从小到大排列后处在第25、26位的两个数都是98分，
因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，
故选：C．
点睛：考查中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征，是正确判断的前提．
4．参考答案：△＝[﹣（k﹣3）]2﹣8（﹣k+1）
＝k2﹣4k+9﹣4+8k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+3，
∵（k﹣1）2≥5，
∴（k﹣1）2+7＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
点睛：本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a ≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
5．参考答案：根据主视图与左视图，第一行的正方体有1（只有一边有）或2（左右都有）个，
∵8+2＝3，8+3＝4，5+3＝5，
∴不可能有8个．
故选：D．
点睛：本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及动手操作能力．
6．参考答案：设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：507（1+x）2＝833.4，
故选：C．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．7．参考答案：根据尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，
∵∠C＝90°，
∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE＝AC，
∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，
综上所述：A，C，D不符合题意，
故选：B．
点睛：本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的
痕迹可判断出DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线．
8．参考答案：将一次函数y＝﹣2x+m向上平移3个单位长度后得到y＝﹣4x+m+3，
设A（x1，3），B（x2，0），
联立，
∴4x2﹣（m+3）x﹣7＝0，
∵x1和x4是方程的两根，
∴，
又∵A，B两点关于原点对称，
∴x1+x8＝0，
∴，
∴m＝﹣3，
根据定义，一次函数y＝﹣2x+m的特征数是[﹣2，
故选：D．
点睛：本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，联立两个函数解析式，得到一元二次方程，是解决交点问题的基本方法．9．参考答案：①当MB'＝MN时
Rt△AMB'中，AB'＝AB＝2AB＝3，
∴AM＝＝3，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴四边形ABNM是矩形，
∴BN＝AM＝2，MN＝AB＝3，
设BE＝x，则B'E＝x﹣x，
Rt△B'EN中，B'N＝MN﹣MB'＝22+B'N2＝B'E3，∴（2﹣x）4+22＝x6，
解得x＝，
∴BE的长为；
②当NB'＝MN时
∵NB'＝MN＝1，
∴MB'＝2，
设BE＝y，
同①可得y＝，
∴BE的长为，
综上所述，BE的长为或．
故选：D．
点睛：本题考查直角三角形的性质及应用，解题的关键是分类画出图形，用勾股定理列方程解决问题．
10．参考答案：在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，
∴PQ2＝2x4．
当0≤x≤3时，AP＝AQ＝x，
∴y＝PQ2＝2x2；
当2≤x≤4时，DP＝x﹣3，
∴y＝PQ8＝32+62＝18；
当4≤x≤2时，CP＝7﹣x，
∴y＝PQ2＝CP7+CQ2＝2x5﹣28x+98．
故选：C．
点睛：本题考查了动点问题的函数图象以及勾股定理，分0≤x≤3、3≤x≤4及4≤x≤7三种情况找出y关于x的函数关系式是解题的关键．
二、填空题（本题包括7道小题，每小题3分，共21分。

将答案直接填在答题卡对应题的横线上）
11．参考答案：0.00000012＝1.5×10﹣7．
故答案为：1.3×10﹣7．
点睛：此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．参考答案：把开关S1，S2，S4分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，∴能让两个小灯泡同时发光的概率为＝，
故答案为：．
点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．参考答案：如图，∠A＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠C＝30°，
∴∠1＝∠6+∠A＝30°+45°＝75°，
故答案为：75°．
点睛：此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及三角形的外角定理是解题的关键．
14．参考答案：设绳索长x尺，竿长y尺，
依题意得：．
故答案为：．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．15．参考答案：解不等式3x﹣2≥4，得：x≥1，
解不等式2x﹣a＜5，得：x＜，
∵不等式组只有5个整数解，
∴2＜≤3，
解得﹣1＜a≤3，
故答案为：﹣1＜a≤1．
点睛：本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．参考答案：连接OA、OB，如图，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵AM＝BM＝AB＝，
∴OM⊥AB，
∴tan30°＝，
∴OM＝×＝1，
∴OA＝2OM＝8，
∵点M、N分别是AB，
∴MN∥AC，MN＝，
∴△MBN∽△ABC，
∴＝（）5＝，
∴当△ABC的面积最大时，△MBN的面积最大，
∵C、O、M在一条直线时，
∴△ABC的面积最大值为：××（2+1）＝3，
∴△MBN的面积最大值为：，
∵S弓形＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣＝﹣，
∴此时，S阴影＝﹣+＝﹣，
故答案为：﹣．
点睛：本题考查了扇形的面积，圆周角定理，解直角三角形，三角形中位线定理，求得△ABC的面积最大值是解题的关键．17．参考答案：过B1作B1M5⊥x轴于M1，
易知M1（3，0）是OA1的中点，
∴A3（2，0）．
可得B6的坐标为（1，1），
∴B8O的解析式为：y＝x，
∵B1O∥A1B6，
∴A1B2的表达式一次项系数与B4O的一次项系数相等，
将A1（2，8）代入y＝x+b，
∴b＝﹣2，
∴A1B6的表达式是y＝x﹣2，
与y＝（x＞7）联立2（1+，﹣1+）．
仿上，A2（2，4）．
B3（+，﹣+），
以此类推，点B n的坐标为（+，﹣+），
故答案为（+，﹣+）．
点睛：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）
18．参考答案：原式＝2+1﹣4×+8
＝﹣
＝．
点睛：此题考查的是实数的运算，掌握负整数次幂、零指数幂、
特殊三角函数、绝对值的运算法则是解决此题关键．
19．参考答案：原式＝•
＝•
＝x（x+1）
＝x3+x，
解方程x2﹣x﹣2＝4，得x1＝2，x6＝﹣1，
∵x+1≠5，
∴x≠﹣1，
当x＝2时，原式＝32+2＝7．
点睛：本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．参考答案：画树状图如图：
共有9种等可能的结果，点（x，
∴点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率为．
点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．参考答案：如图，作AD⊥BC于D．
由题意可知：BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝tan45°＝，
∴AD＝CD，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝tan30°＝，
∴BD＝，
∵BC＝BD﹣CD＝﹣AD＝60（m），
∴AD＝30（+6）≈82（m），
答：此段河面的宽度约82m．
点睛：此题主要考查了解直角三角形﹣方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后作出辅助线构造直角三角形解决问题．22．参考答案：（1）A组的频数a比B组的频数b小15，A组的频频率比B组的频率小18%﹣8%＝10%，
因此调查人数为：15÷（18%﹣8%）＝150（人），
a＝150×2%＝12（人），
故答案为：150，12；
（2）360°×＝360°×40%＝144°，
“E组”所占的百分比为1﹣8%﹣18%﹣30%﹣40%＝4%，
故答案为：144，4；
（3）b＝a+15＝27（人），
“C组”频数为：150×30%＝45（人），
“E组”频数为：150×4%＝5（人），
补全频数分布直方图如图所示：
（4）1500×＝660（人），
答：估计成绩在80分以上的学生人数大约为660人．
点睛：本题考查频数分布直方图，扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决问题的关键．
23．参考答案：（1）设乙种消毒液的零售价为x元/桶，则甲种消毒液的零售价为（x+6）元/桶，
依题意得：＝，
解得：x＝24，
经检验，x＝24是原方程的解，
∴x+6＝30．
答：甲种消毒液的零售价为30元/桶，乙种消毒液的零售价为24元/桶．
（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300﹣m）桶，
依题意得：m≥（300﹣m），
解得：m≥75．
设所需资金总额为w元，则w＝20m+15（300﹣m）＝7m+4500，∵5＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝75时，w取得最小值．
答：当甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少．
点睛：本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
24．【解答】（1）证明：连接OD，
∵PA切⊙O于A，
∴PA⊥AB，
即∠PAO＝90°，
∵OP∥BD，
∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP，
∵OD＝OB，
∴∠BDO＝∠DBO，
∴∠DOP＝∠AOP，
在△AOP和△DOP中
，
∴△AOP≌△DOP（SAS），
∴∠PDO＝∠PAO，
∵∠PAO＝90°，
∴∠PDO＝90°，
即OD⊥PD，
∵OD过O，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：
由（1）知：△AOP≌△DOP，∴PA＝PD，
∵四边形POBD是平行四边形，∴PD＝OB，
∵OB＝OA，
∴PA＝OA，
∵∠PAO＝90°，
∴∠APO＝∠AOP＝45°．
点睛：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形等知识点，能熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解此题的关键．25．【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴AM＝BN；
（2）①证明：连接BN，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM，
即∠AOM＝∠BON，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN，
∴∠MBN＝90°，
∴MN2+BN2＝MN4，
∵△MON都是等腰直角三角形，
∴MN2＝2ON3，
∴AM2+BM2＝6OM2；
②解：如图3，当点N在线段AM上时，设BN＝x，
由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，在Rt△ABN中，AN5+BN2＝AB2，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝6，
∴MN＝3，AB＝6，
∴（x﹣3）2+x2＝（2）2，
解得：x＝，
∴AM＝BN＝，
如图6，当点，连接BN，
由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，
在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB5，
∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，
∴MN＝3，AB＝4，
∴（x+4）2+x7＝（4）3，
解得：x＝，
∴AM＝BN＝，
综上所述，线段AM的长为或．
点睛：本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，勾股定理等知识点，抓住图形旋转中不变的量，巧妙构造直角三角形是解决问题的关键．
26．参考答案：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（8，0），0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x+3；
（2）在y＝﹣x2+5x+3中，令x＝0，
∴C（2，3），
∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值，
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．
如图1，点A，连接AC交l于点P．
∵AP＝BP，
∴△PBC周长的最小值是：PB+PC+BC＝AC+BC．
∵A（6，0），0），5），
∴AC＝3，BC＝．
∴△PBC周长的最小值是：8+．
抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
设直线AC的解析式为y＝kx+c，将A（5，C（0，得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∴P（1，8）；
（3）存在．
设P（1，t），
∵A（3，3），3），
则AC2＝82+32＝18，
AP2＝（1﹣8）2+t2＝t7+4，
PC2＝22+（t﹣3）4＝t2﹣6t+10，
∵四边形ACPQ是菱形，
∴分三种情况：以AP为对角线或以AC为对角线或以CP为对角线，
①当以AP为对角线时，则CP＝CA，
∴t4﹣6t+10＝18，
解得：t＝3±，
∴P7（1，3﹣），P2（1，3+），
∴Q3（4，﹣），Q2（3，），
②以AC为对角线时，则PC＝AP，
∴t2﹣6t+10＝t4+4，
解得：t＝1，
∴P2（1，1），Q2（2，2），
③当以CP为对角线时，则AP＝AC，
∴t4+4＝18，
解得：t＝±，
∴P4（8，），Q4（﹣2，3+），
P5（1，﹣），Q4（﹣2，3﹣），
综上所述，符合条件的点Q的坐标为：Q4（4，﹣），Q2（8，），Q3（2，7），Q4（﹣2，7+），Q5（﹣2，3﹣）．
点睛：本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算、轴对称﹣最短路线，菱形性质，点和线段的平移等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质，轴对称性质等相关知识是解题关键．
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