2.6.1曲线与方程

典型例题
例1：证明圆心为坐标原点 ，半径等于5 的圆的 方程是 x y 25， 并判断点 M 1 (3 ， 4) 、
2 2
y
M 2 (2 5 ， 2) 是否在这个圆上. (1) 设 M ( x0 ， y0) 是圆上任意一点 ， 则 证明：
·
M2
5
0
由题意知 | MO | 5
即 x0 y0 5
曲线和方程
问题导入:
在解析几何中,为了研究曲线的性质,我 们建立了直线的方程及圆锥曲线的方程.那 么对于一般的曲线,它的含义又是什么呢? 如何建立曲线的方程?------这将是本节课 我们要研究的问题.
思考1:直线 l :x=y与方程x-y=0之间有什么关系？
y
l
0
x-y=0
（1）
l 上点的坐标都是方程x-y=0的解
说明:1.曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形.
2.方程的曲线与曲线的方程的关系: 点 P ( x0 , y0 ) 在方程的曲线 C 上点 P( x0 , y0 ) 的坐标是曲线的方程 f ( x, y) 0 的解.
即如果曲线 C 的方程是 f ( x, y) 0 , 那么点 P ( x0 , y0 ) 在曲线 C 上的充要条件是方 程 f ( x0 , y0 ) =0.
具备性质（2）
(2)到两坐标轴的距离相等 的点的坐标不一定是方 程y x的解 不具备性质（1）
y
因为到两坐标轴距离相等的 点的轨迹有 两条直线L1 和 L2 ， 直线 L1 上的点的坐标都是方程y=x 的解， 但直线 L2 上的点 （除原点外）的坐标不是方程 y=x 的解，
L2
o
L1
x
练习尝试:判断下列命题是否正确: （1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线方程为 x 3. （2）到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1.
变式1：已知P1（x1,y1）是直线l：f（x,y） =0上一点，P2（x2,y2）是直线l外一点 f ( x, y) f ( x1 , y1 )
f ( x2 , y 2 ) 0 所表示的直线与l的关系是
变式2：已知方程(x－a)2＋(y－b)2＝36的曲线 经过点O(0，0)和点A(0，－12)，求a、b的值．
(2) 以方程 y ax2 (a＞0）
2 y ax (a 0） 是方程 的解;
x
的解 ( x0 , y0 ) 为坐标的点在抛物线上.
2 2 y ax ( a 0 ), 方程 y ax (a 0） 说这条抛物线的方程是
表示的曲线是这条抛物线.
定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作
x
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l 上
∴说直线 l 的方程是 x y 0 , 又说方程 x y 0 表示的直线是 l .
2 y ax (a 0） 思考2:曲线 y ax (a 0） 与方程 有什么关系?
2
y
M
·
0
y ax2 (a 0）
(1)抛物线上的点 ( x0 , y0 ) 都
点的集合或适合某种条件的点的轨迹)与二元方 程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: • (1)曲线上的点坐标都是这个方程的解; • (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. y • 那么,这个方程f(x,y)=0叫做 f(x,y)=0 这条曲线C的方程; x 0 • 这条曲线C叫做这个方程f(x,y)=0 的曲线.
2 2
·
M1
5
x
x0 y0 25
2 2
即 (x0 ， y0) 是方程 x2 y2 25的解 .
(2) 设 (x0 ， y0) 是方程 x2 y2 25的解，则
x y 25 x02 y02 5 所以方程x y 2 25 的解对应的点在圆上
2 0 2 0
（3）到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为 xy 1.
3），B（ 1 ， 0），C（1,0） , （4）ABC的顶点A（0， D为BC中点，则中线AD的方程为x=0.
（1）不正确，不具备完备性，应为x=3. 解： （2）不正确，不具备纯粹性，应为y=±1. （3）正确. （4）不正确，不具备完备性，应为x=0 (3 y 0).
3.集合的观点:曲线 C 是坐标满足方程 f ( x, y) 0 的点 P( x0 , y0 ) 的点的集合(又叫点的轨迹).
即曲线 C 是点集 ( x, y ) f ( x, y ) 0 .
自主学习
1:过点A(2，0)平行于y轴的直线L （如图）与方程|x|=2 之间的关系：
y
L
(1)直线L上的点的坐标都是方程 | x | 2的解
由 (1) 、 (2) 可知， x2 y2 25 是圆心为坐标原点， 半径为5 的圆方程.
例1：证明圆心为坐标原点 ，半径等于5 的圆的 方程是 x 2 y 2 25， 并判断点 M 1 (3 ， 4) 、 M 2 (2 5 ， 2) 是否在这个圆上.
yx
M1
把点 M1(3， 4) 、M2(2 5 ， 2) 的坐标分别代入方程x2 y2 25，
有 32 (4)2 25 成立
(2 5 ) 2 25 不成立，
2 2
(3， 4) 是方程的解， (2 5 ， 2) 不是方程的解，
点 M1 在这个圆上， 点 M2(2 5 ， 2) 不在这个圆上.
方法归纳:
证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解； 第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明 点M (x0,y0)在曲线C上.
具备性质（1）
o 1
A
x
(2)方程 | x | 2的解不一定在直线 L上
不具备性质（2）
因此，|x|=2 不是直线 L 的方程，
L 也不是方程|x|=2 的直线， 它只是方程|x|=2 所表示的图形 的一部分。
2：到两坐标轴距离相等的点的轨迹与方程 y=x 之间的关 系：
(1)方程y x的解对应的点到两坐标 轴的距离相等