人教A版选修2-1第三章3.2.2空间向量与垂直关系达标过关训练

3.2.2 空间向量与垂直关系
一、选择题
1．下列说法中不正确的是( )
A ．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B ．一个平面的所有法向量互相平行
C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D ．如果a ，b 与平面α共面，且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量
解析：当a ∥b 时，n 不一定垂直平面α. 答案：D
2．已知平面α的一个法向量为a ＝(x,1，－2)，直线l 的一个方向向量为n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，y ，－1，若l ⊥α，则( ) A ．x ＋2y ＝－4 B ．x ＋y ＝3 C ．x ＋2y ＝12
D ．x ＋y ＝3
2
解析：∵l ⊥α，∴a ∥n ，∴x 12＝1y ＝－2
－1，
∴y ＝12，x ＝1.∴x ＋y ＝32. 答案：D
3．设A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，则满足AM →·
n ＝0的点M 构成的图形是( )
A ．圆
B ．圆面
C ．直线
D ．平面
解析：由题意知，点M 构成的图形是过点A ，且以n 为法向量的平面． 答案：D
4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则CE 垂直于( ) A ．BD
B ．AC
C ．A 1C
D ．AA 1
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设正方体的棱长为2，则C (0,2,0)，B (2,2,0)，D (0,0,0)，A 1(2,0,2)，C 1(0,2,2)， ∴E (1,1,2)，DB
→＝(2,2,0)，CE →＝(1，－1,2)． ∵DB →·CE →＝2－2＋0＝0， ∴DB →⊥CE →， ∴CE ⊥BD . 答案：A
5．设棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 为棱DD 1所在直线上一点，且满足B 1D ⊥平面P AC ，则点P 为( )
A ．棱DD 1的中点
B ．点D 1
C ．D
D 1的延长线上一点
D ．不存在
解析：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a,0,0)，C (0，a,0)，D (0,0,0)，B 1(a ，a ，a )．
设存在点P (0,0，z )，则AP →＝(－a ，0，z )，AC →＝(－a ，a,0)，DB 1→＝(a ，a ，
a )．∵B 1D ⊥平面P AC ，
∴DB 1→·AP →＝0，DB 1→·AC →＝0， ∴－a 2＋az ＝0，－a 2＋a 2＝0， ∴z ＝a .即点P 与D 1重合． 答案：B 二、填空题
6．若直线a 与b 是两条异面直线，它们的方向向量分别为a ＝(1,1，－1)和b ＝(2，－3,2)．又a 与b 的公垂线的方向向量为n ＝(x ，y,5)，则xy ＝________.
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a ·n ＝x ＋y －5＝0，
b ·n ＝2x －3y ＋10＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝4.∴xy ＝4.
答案：4
7．已知A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，则P A →
＝________.
解析：P A →＝(－x,1，－z )，AB
→＝(－1，－1,1)，AC →＝(2,0,1)，
∵P A →⊥AB →，P A →⊥AC →， ∴⎩⎨⎧
P A →·AB →＝x －1－z ＝0，P
A →·AC →＝－2x －z ＝0.
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝13，
z ＝－23，
∴P A →
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，1，23.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1
3，1，23
8．已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量n ＝(6，－3,6)，则点P (2,3,3)与平面α的关系是________________．
解析：MP →＝(1,4,1)，MP →·
n ＝6－12＋6＝0， ∴MP
→⊥n ， 又n ⊥平面α，M ∈平面α， ∴P ∈平面α. 答案：P ∈平面α 三、解答题
9. (2019·蚌埠第二中学高二月考)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .
证明：以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz .
则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，0，12， 则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1
→＝(－2,2,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，0，12. 设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎪⎨⎪⎧
n 1·AA 1
→＝0，n 1·
AC →＝0⇒⎩⎨⎧
z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.
令x 1＝1，得y 1＝1， ∴n 1＝(1,1,0)．
设平面AEC 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·AC 1
→＝0，n 2·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋1
2z 2＝0， 令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1. ∴n 2＝(1，－1,4)．
∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，
∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .
10．(2019·上高县第二中学高二月考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，∠ABC ＝∠P AD ＝90°，侧面P AD ⊥底面ABCD .若P A ＝AB ＝BC ＝1
2AD .
(1)求证：CD ⊥平面P AC ；
(2)侧棱P A 上是否存在点E ，使得BE ∥平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由．
解：因为∠P AD ＝90°， 所以P A ⊥AD .
又因为侧面P AD ⊥底面ABCD ， 且侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ， 所以P A ⊥底面ABCD .
又因为∠BAD ＝90°， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．
分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .
(1)证明：设A (0,0,0)，P (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，则AP →＝(0,0,1)，AC
→＝(1,1,0)，CD →＝(－1,1,0)， ∴CD →·AP →＝0，CD →·AC →＝0， ∴CD
→⊥AP →，CD →⊥AC →， 即CD ⊥AP ，CD ⊥AC .
又AP ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC .
(2)因为E 在P A 上，设为(0,0，a )，则BE →＝(－1,0，a )，
CD
→＝(－1,1,0)，DP →＝(0，－2,1)， 设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由DP →·n ＝0，CD →
·n ＝0， 得⎩⎨⎧
－2y ＋z ＝0，－x ＋y ＝0，
令x ＝1，得y ＝1，z ＝2，∴n ＝(1,1,2)，
∵BE ∥平面PCD ，∴n ⊥BE →，∴n ·BE →＝0，即－1＋2a ＝0，
∴a ＝1
2，所以存在E 点，且为P A 的中点．。