长沙市2019届高三年级模拟考试(文科)试题含答案

科目：数学（文科）
（试题卷）
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。

2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3. 本试题卷共7页。

如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。

4. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

姓名
准考证号
绝密★启用前
长沙市2019届高三年级模拟考试
文科数学
长沙市教科院组织名优教师联合命制
本试题卷共7页，分第I 卷与第II 卷两部分.全卷满分150分.考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{1,2,3}A =，{}2|60B x x x =--=，则A B =I A. {}1 B. {}2 C. {}3 D.{}2,3 2．复数)1(3i i +的实部和虚部分别为 A ．3，3
B ．－3，3
C ．3，3i
D ．－3，3i
3．)1cos(+=x y 图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是 A ．
42+π B ．π
C ．2
D ．
12+π
4．椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为
A ．12
22
2=+y x
B ．1222
=+y x C ．12
42
2=+y x
D ．12
42
2=+x y 5．已知函数1
2()f x x =，则
A ．∃,0R x ∈使得0)(<x f
B ．∀),0(+∞∈x ,0)(≥x f
C ．∃),0[,21+∞∈x x ，使得
1212
()()
0f x f x x x -<-
D ．∀10)x ∈+∞[,，[)2120()()x f x f x ∃∈+∞>,使得 6．右图是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为直径为2 的半圆，俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为 A ．3π
B ．4π
C ．5π
D ．12π
7．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”则该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为 A ．17
6
升
B ．7
2
升
C ．
11366升 D ．109
33
升 8．某同学为实现“给定正整数N ，求最小的正整数i ， 使得N i
>7”，设计程序框图如右，则判断框中可
填入
A ．N x ≤
B ．N x <
C ．N x >
D ．N x ≥
9．若21log (1)2,31x y x ≤-+≤-≤，则2x y -的最大值 与最小值之和是 A ．0 B ．－2 C ．2
D ．6
10．函数2ln y x x =-的图象大致为
7x x =
开始
输入正整数N
i = 0，x = 1
i = i +1
输出i
结束
是
否
11．ABC ∆中，23
C π
=
，3AB =，则ABC ∆的周长为 A ．6sin()3
3A π
++
B ．6sin()36
A π
++
C ．23sin()33A π++
D ．23sin()36A π
++
12．F A 、分别是双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>,的左顶点和右焦点，A 、F 在双曲线的
一条渐近线上的射影分别为B 、Q ，O 为坐标原点，ABO ∆与FQO ∆的面积之比为1
2
，
则该双曲线的离心率为 A ．2
B ．
12
C 2
D 2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22~23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.
13．等比数列{}n a 的公比为2－，则2220172016ln()ln()a a -=
.
14．空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述
空气质量状况的指数， 空气质量按照AQI 大小分为六级， 0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200 为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染. 某环保人士从当地某年的AQI 记录数据中，随机抽取10天 的AQI 数据，用茎叶图记录如右.根据该统计数据，估计此 地该年AQI 大于100的天数约为 . (该年为365天)
4 5 8 5 0 5
7 5 4 9 3 0 11 7 19 9 21
15．化简：
22sin()sin 22cos
2
παα
α
-+= .
16．矩形ABCD 中，2,3==AD AB ，P 矩形内部一点,且1AP =，若AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r
，
则y x 23+的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 为等差数列，其中832=+a a ，253a a =. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 记12
+=n n n a a b ，设{}n b 的前n 项和为n S .求最小的正整数n ，使得2017
2016>n S .
18．（本小题满分12分）
某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”.部分统计数据如下表：
使用智能手机人数 不使用智能手机人数
合计 学习成绩优秀人数 4 8 12 学习成绩不优秀人数
16 2 18 合计
20
10
30
参考数据： P(K 2≥k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++
(Ⅰ) 试根据以上数据,运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用智能手机对学习有影响？
(Ⅱ) 研究小组将该样本中使用智能手机且成绩优秀的4位同学记为A 组，不使用智能手机且成绩优秀的8位同学记为B 组，计划从A 组推选的2人和B 组推选的3人中,随机挑选两人在学校升旗仪式上作“国旗下讲话”分享学习经验.求挑选的两人恰好分别来自B A 、两组的概率.
19．（本小题满分12分）
如图，以E D C B A 、、、、为顶点的六面体中，ABC ABD ∆∆和均为等边三角形，且平面⊥ABC 平面ABD ，⊥EC 平面ABC ，23==AB EC ，.
(Ⅰ) 求证：∥DE 平面ABC ； (Ⅱ) 求此六面体的体积.
20．（本小题满分12分）
已知过)2,0(A 的动圆恒与x 轴相切，设切点为B ，AC 是该圆的直径. (Ⅰ) 求C 点轨迹E 的方程；
(Ⅱ) 当AC 不在y 轴上时，设直线AC 与曲线E 交于另一点P ，该曲线在P 处的 切线与直线BC 交于Q 点.求证：PQC ∆恒为直角三角形.
21．（本小题满分12分） 已知函数x
e x
f =)(，g()a
x x
=
，a 为实常数. (Ⅰ)设()()()F x f x g x =-，当0>a 时，求函数)(x F 的单调区间；
(Ⅱ)当a e =-时，直线n x m x ==、(0,0>>n m )与函数)()(x g x f 、的图象一共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形. 求证：0)1)(1(<－－n m .
请考生在22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号
22．（本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨
⎧+=+=α
α
sin 4cos 2y x ，以坐标原点O 为
极点，x 轴正半轴为极轴的坐标系中，曲线2C 的方程为
(cos sin )10m ρθθ-+=(m 为常数).
(Ⅰ) 求曲线21,C C 的直角坐标方程；
(Ⅱ) 设P 点是1C 上到x 轴距离最小的点，当2C 过P 点时，求m .
23．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知()3f x x a x =-+-.
(Ⅰ) 当1=a 时，求)(x f 的最小值；
(Ⅱ) 若不等式3)(≤x f 的解集非空，求a 的取值范围.
长沙市2017届高三年级模拟考试
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．解析：{}2,3B =-，故=B A I {}3.选C.
2．解析：)1(3i i +=33i -+，故其对应点在第二象限.选B.
3．解析：相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为
42+π.选A.
4．解析：易知2==c b ，故42
2
2
=+=c b a ，从而其标准方程为12
42
2=+y x . 选C.
5．解析：幂函数2
1
)(x x f =值域),0[+∞，且在定义域上单调递增.故A 错误，B 正确.C 错误，D 选项当01=x 时结论不成立.选B.
6．解析：该几何体为一半径为1的半球，表面积为πππ32=+.选A.
7．解析：自上而下依次设各节容积为921,,,a a a Λ，依题意有⎩⎨⎧=++=+++43
9
874321a a a a a a a ，
因为,4132a a a a +=+8972a a a =+，故6
17
3423832=+=++a a a .选A. 8．解析：依题意，应填入条件是N x >.选C.
9．解析：21log (1)2,31x y x ≤-+≤-≤即变量y x 、满足约束条件214
24x y x ≤-+≤⎧⎨≤≤⎩
，
即30
1024x y x y x --≤⎧⎪
--≥⎨⎪≤≤⎩
，作出可行域，可求出2x y -的最大值最小值分别为4，2-,其和
为2.
10．解析：令2()ln f x x x =-，定义域为()()00-∞+∞U ,
,且 2()ln ()f x x x f x -=-=，故函数2ln y x x =-为偶函数，图象关于y 轴对称，排
除B 、D ；考虑2()ln g x x x =-，1()2g x x x '=
-，
当)2
2,0(∈x 时1
()20g x x x '=->，2()ln g x x x =-单调递增，排除C.选A.
11．解析：设ABC ∆的外接圆半径为R ，则3
2sin
3
2π=
R =32，于是A A R BC sin 32sin 2==，2sin 3sin() 3
AC R B A π
==-，于是ABC ∆的周长
=sin()) 3 3
A A π
+-+
= 3)3
sin(32++
π
A .选C.
12．解析：易知ABO ∆与FQO ∆相似，相似比为c
a
，故2122=c a ，从而离心率
2==
a
c
e .选D. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分. 13．解析：
因为
1n n a a =-2)(21
-=n n a a ，从而2220172016ln()ln()a a -=2ln )ln(2
20162017=a a . 14．解析：该样本中AQI 大于100的频数为4，频率为
5
2
，以此估计该地全年AQI 大于100的频率为5
2
，故该地该年AQI 大于100的天数为14652365=⨯天.
15．解析：
2
2sin()sin 22cos 2
παα
α
-+=
αα
ααααααsin 2cos 1)
cos 1(sin 2cos 1cos sin 2sin 2=++=++.
16．解析：设P 在AB 上的射影为Q ，θ=∠PAQ ，则+=，
且
，
θθsin cos ==
而AQ u u u r 与AB 共线，QP 与AD
2
sin θ==从而，2sin 3cos θθ+=
由平面向量基本定理知：2
sin ,3cos θ
θ=
=y x ，因此)4sin(2sin cos 23πθθθ+=+=+y x ，又因为)2
,0(π
θ∈，故y x 23+的取
值范围是]2,1(.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
解：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ， 依题意有⎩⎨
⎧+=+=+d
a d a d a 3348
32111，
…………3分
解得2,11==d a ，
从而{}n a 的通项公式为2n a n =-1，*N n ∈；
…………6分
(2) 因为12+=
n n n a a b =11
21
n n -
-+12， 所以()()()n S n n =-+-++--+L 111111
13352121
11
n =-
+1
2 …………9分
令2016
112017
n -
>
+12， 解得1008>n ，故取1009=n . …………12分
18．（本小题满分12分）
解：(1)根据卡方公式求得2K =10， 因为7.897<2K <10.828
所以该研究小组有99.5%的把握认为中学生使用智能手机对学习有影响. ……4分 (2)记A 组推选的两名同学为21,a a ，B 组推选的三名同学为321,,b b b ， 则从中随机选出两名同学包含如下10个基本事件：
)
,(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(32312132221231211121b b b b b b b a b a b a b a b a b a a a
…………7分
记挑选的两人恰好分别来自B A 、两组为事件Z ， 则事件Z 包含如下6个基本事件：
)
,(,),(,),(,),(,),(,),(322212312111b a b a b a b a b a b a
…………9分
故5
3
106)(==
Z P . 即挑选的两人恰好分别来自B A 、两组的概率是5
3
.
…………12分
19．（本小题满分12分）
解：(1)作AB DF ⊥，交AB 于F ，连结CF . 因为平面⊥ABC 平面ABD ， 所以⊥DF 平面ABC ， 又因为⊥EC 平面ABC ，
从而EC DF ∥. …………3分
因为ABD ∆是边长为2的等边三角形， 所以3=DF ， 因此EC DF =，
于是四边形DECF 为平行四边形，
所以CF DE ∥，
因此∥DE 平面ABC .
…………6分
(2) 因为ABD ∆是等边三角形， 所以F 是AB 中点， 而ABC ∆是等边三角形， 因此AB CF ⊥，
由⊥DF 平面ABC ，知CF DF ⊥， 从而⊥CF 平面ABD ， 又因为EC DF ∥，
所以⊥DE 平面ABD ， 因此四面体ABDE 的体积为13
1
=⋅∆DE S ABD ， …………9分
四面体ABCE 的体积为
13
1
=⋅∆CE S ABC , 而六面体ABCED 的体积=四面体ABDE 的体积+四面体ABCE 的体积 故所求六面体的体积为2
…………12分
20．（本小题满分12分）
解：(1) 设C 点坐标为),(y x ，则B 点坐标为)0,2
(x
. 因为AC 是直径，所以BC BA ⊥，或B C 、均在坐标原点.
因此0=⋅，而(),(,)22
x x
BA BC y =-=u u u r u u u r ,2
故有2204
x y -+=，即y x 82
=，
…………3分
另一方面，设)8
,(200x x C 是曲线y x 82
=上一点，
则有8
16)28(202
202
+=-+=x x x AC ，
AC 中点纵坐标为16
162822
020+=+x x ， 故以AC 为直径的圆与x 轴相切.
综上可知C 点轨迹E 的方程为y x 82
=. …………5分
(2)设直线AC 的方程为2+=kx y ，
由⎩⎨
⎧=+=y
x kx y 822
得：2160x kx -=-8
设),(),,(2211y x P y x C ，则有12x x =-16.
…………8分
由82x y =对x 求导知4
x y ='，
从而曲线E 在P 处的切线斜率4
2
2x k =
， 直线BC 的斜率4
2
81
11211x x x x k =
-
=
， …………10分 于是 116
16
162121-=-==
x x k k . 因此PQ QC ⊥.
所以PQC ∆恒为直角三角形. …………12分
21．（本小题满分12分） 解：(1)()x a
F x e x
=-，其定义域为(0)(0)-∞+∞U ，， 而2)(x
a
e x F x
+
='， …………2分
当0>a 时，0)(>'x F ，
故)(x F 的单调递增区间为(0)(0)-∞+∞，，，，无单调递减区间. …………4分
(2)因为直线n x m x ==与平行，
故该四边形为平行四边形等价于()()()()f m g m f n g n -=-且n m n m ≠>>,0,0. …………6分
当a e =-时，()()()F x f x g x =-=x
e
e x
+)0(>x ， 则2()x e F x e x '=-
.令2()()x
e g x F x e x '==-
则02)(3>+='x
e
e x g x
, 故2
()x e
F x e x '=-在)0(∞+，上单调递增； …………9分
而2
(1)01e
F e '=-
=， 故)1,0(∈x 时)(,0)(x F x F <'单调递减；),1(+∞∈x 时)(,0)(x F x F >'单调递增； 而)()(n F m F =，
故n m <<<10或m n <<<10，
所以(1)(1)0m n --<.
…………12分
请考生在22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号
22．(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
解：(1)由⎩⎨⎧+=+=α
α
sin 4cos 2y x 知22(2)(4)1x y -+-=，
故曲线1C 的直角坐标方程为：2248190x y x y +--+=. 将y x ==θρθρsin ,cos 代入(cos sin )10m ρθθ-+=知 曲线2C 的直角坐标方程为10x my -+=
…………5分
(2)曲线1C 是圆心为)4,2(，半径为1的圆，
故P 点坐标为)3,2(，代入10x my -+=求得
1=m .
…………10分
23．(本题满分10分)选修4—5：不等式选讲
解：(1)当1=a 时，()13(1)(3)2f x x x x x =-+-≥---=， 故)(x f 的最小值为2，当且仅当31≤≤x 时取到最小值.
…………5分
(2)()3()(3)3f x x a x x a x a =-+-≥---=-， 若不等式3)(≤x f 的解集非空， 则33a -≤，即333a -≤-≤， 因此60≤≤a ，
所有a 的取值范围是[]60，
. …………10分。