安徽省淮南市第二中学高二数学下学期期中试题 文

淮南二中2015-2016学年第二学期高二年级期中考试
数学试题（文科）
请注意：所有答案都要写在答题卡上，2B 铅笔填涂 一、选择题（每题3分，共12题）
1．设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为（﹣2，0），离心率为，则C 的标准方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．抛物线2
4x y =的焦点到准线的距离为（ ）
A ．2
B ．4
C ．
D ． 3．方程132-=y x 所表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．椭圆
C ．双曲线的一部分
D ．椭圆的一部分
4．函数()a bx x x x f +-+=ln 22
（b ＞0，a ∈R ）
在点()()b f b ,处的切线斜率的最小值是（ ） A ．
B ．2
C ．
D ．1
5．执行如图所示的程序框图，如果输入3=n ，则输出的=S （ ）
A ．76
B ．73
C ．98
D ．9
4 6．已知双曲线
，若右焦点F （c ，0）到一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．
7．对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足()()0'
>+x xf x f 且0)1(=-f ，则f （x ）＞0解集是
（ ） A ．（﹣∞，﹣1） B ．（0，+∞） C ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） D ．（﹣1，0）
22
21(0)y x b b
-=>
8．已知())
2
sin(412x x x f ++=
π
，()()x f x f 为'的导函数，则()x f '的图象是（ ）
9．已知函数()x tx x x f 32
3
+-=在区间[]3,1上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，3]
B ．（﹣∞，5]
C ．[3，+∞）
D ．[5，+∞）
10．已知点)022(，Q 及抛物线4
2
x y =上的动点P （x ，y ），则PQ y +的最小值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．
11．若函数()x
f x x e m =⋅-在R 上存在两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．1
0m e
-
<< B ．1m e >- C ．m e > D ．0e m -<<
12．已知()m x x x f +-=33
，在区间[0，2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＞2
B ．m ＞4
C ．m ＞6
D ．m ＞8
二、填空题（每题4分，共4题）
13．抛物线的焦点恰巧是椭圆 的右焦点，则抛物线的标准方程为 ．
14．已知函数()3
1f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = .
15．设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长为a i （i=1，2，3，4），P 是该四边形内一点，点P 到第i 条边的距离记为i h ，若
k a a a a ====43214321，则k
S
h h h h 24324321=
+++类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i （i=1，2，3，4），Q 是该三棱锥内的一点，点Q 到第i
个面的距离记为d i ，若k S S S S ====4
3214321,则4321432d d d d +++等于 ． 16．函数()ln f x a x x =+，对任意的 时，()0f x ≥恒成立，则a 的范围为 ．
1
[]x e e
∈，12
62
2=+y x
三、解答题（17题8分、18-21题10分） 17．()c bx ax x x f +++=2
3
在1=x 与2
3
x =-
时，都取得极值． （1）求b a ,的值； （2）若3
(1)2
f -=，求f （x ）的单调区间和极值；
18．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组。

在将两组工人的日平均生产件数分成5组：)100,90[),90,80[),80,70[),70,60[),60,50[分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下”组工人的概率；
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为”生产能手“，请你根据已知条件完成22⨯的列联表，并判断是否有%90的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
附表：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
19．已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为22，且b a 22
=．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线0:=+-m y x l 与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆x 2
+y 2
=5上，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
20．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，且PA ⊥底面ABCD 中，AB=1，PA=2．
（I ）求证：BD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）求三棱锥B ﹣PAC 的体积；
（Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点M ，使PC ⊥平面MBD ，若存在，请证明；若不存在，说明理由．
21．已知函数2
1()(21)2ln ()2
f x ax a x x a R =
-++∈． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求()y f x =的单调区间；
（Ⅲ）设2
()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取
值范围．
参考答案
1-6 AACABD 7-12 CADAAC
8.A 试题分析：先化简f（x）=x2+sin
=x2+ cosx，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，
确定导函数在（﹣，
）上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．解：由f（x）
=x2+sin
=x2+ cosx，
∴f′（x）=x﹣sinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．
又f″（x）=﹣cosx，当﹣
＜x＜时，cosx＞，∴f″（x）＜0，
故函数y=f′（x）在区间（﹣，
）上单调递减，故排除C．
9.D 由题意3x2﹣2tx+3≤0在[1，3]上恒成立，
∴，解得t≥5，
10.A 试题分析:利用抛物线的定义，将点P到准线y=﹣1的距离转化为点P到焦点F的距离|PF|，再利用不等式的性质即可求得答案．
解：∵抛物线的方程为x2=4y，
∴其焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，
∴抛物线上的动点P（x，y）到准线的距离为：y﹣（﹣1）=y+1，
由抛物线的定义得：|PF|=y+1，又Q（2，0），
∴y+|PQ|=y+1+|PQ|﹣1=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=﹣1=3﹣1=2（当且仅当F，P，Q三点共线时取等号）．
11.A 试题分析：可以在同一坐标系中作出与
的图象，若函数
在上存在两个不同的零点，则只需与
的图象有两个不同的交点即可.如图所示，由于
在上是减函数，在上是增函数，并且当
时，，当时，
，所以
与的图象有两个不同的交点时，，故选A.
12.C 试题分析：三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解．
解：由f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）
∵函数的定义域为[0，2]
∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，
∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，
则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m
由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①；
f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②
由①②得到m＞6为所求．
13. y2=8x 14.1 15.
16.
15.试题分析：由
可得a i=ik，P是该四边形内任意一点，将P与四边
形的四个定点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同理对三棱值得体积可分割为5个已知底面积和高的小棱锥求体积．
解：根据三棱锥的体积公式
得：，
即S1H1+2S2H2+3S3H3+4S4H4=3V，∴，即
．
16.试题分析：对任意的
时，
恒成立，即只需即可。

当时在
上恒成立，即在
上单调递增。

所以
，解得。

又因为，所以。

当时，令
得
①当即
时，在
上恒成立，所以在
上单调递增。

所以
，解得。

又因为，所以。

②当即
时，令
得。

令得
，所以
在上单调递减，在上单调递增。

所以
时取
得最小值。

此时，解得，又因为
，所以。

③当即
时，在
上，
所以在
上单调递减，所以
，解得
，因为
，所以。

综上可得。

17.（1）a＝－，b＝－2．（2）递增区间
和（1，＋∞），递减区间
．极大值；极小值－．
【解析】
试题分析：（1）因为函数在极值点处导数等于0，所以若f（x）在
与
时，都取得极值，则就可得到a，b的值；（2）先由
求出函数中的c值，再求导数，令导数大于0，解得
x的范围是函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围是函数的减区间，增区间与减区间的分界点为极值点，且当极值点左侧导数大于0，右侧导数小于0时取得极大值，当极值点左侧导数小于0，右侧导数大于0时取得极小值，再把x的值代入原函数求出极大值与极小值
试题解析：f′（x）＝3x2＋2ax＋b＝0．由题设知x＝1，x＝－
为f′（x）＝0的解．∴－
a＝1－
，＝1×．∴a＝－
，b＝－2．经检验，这时x＝1与x＝－
都是极值点．
（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，由f（－1）＝－1－
＋2＋c＝，得c＝1．∴ f （x）＝x3－x2－2x＋1．
∴ f （x）的递增区间为和（1，＋∞），递减区间为
．当x＝－
时，f（x）有极大值f＝；当x＝1时，f（x）有极小值f（1）＝－．
18.【答案】（1）；（2）没有
的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.
【解析】
试题分析：（1）由频率分布直方图知样本中有25周岁以上组工人
名，25周岁以下组工人名，所以样本中日平均生产件数不足件的工人中，25周岁以上组工人有
（人），记为
，
25周岁以下组工人有（人），记为
，下面可用列举法列举出随机制取2人的所有组合共10种，其中至少有1名25周岁以下组工人的可能结果共有
种，由概率公式计算可得；（2）同样由频率分布直方
图可知，在抽取的名工人中，“周岁以上组”中的生产能手
（人），
“周岁以下组”中的生产能手
（人），填入表格计算出各空格数字，由给出的公式计算出，可得结论．
试题解析：（1）由已知得，样本中有25周岁以上组工人
名，25周岁以下组工人
名，。