山西省临汾市新英学校2021年高三数学理期末试题含解析

山西省临汾市新英学校2021年高三数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知圆（x－1）2＋（y－3）2＝r2（r>0）的一条切线y＝kx＋与直线x＝5的夹角为
，则半径r的值为
A． B． C．或 D．或
参考答案：
C
2. 在平面直角坐标系中，圆被直线（）截得的弦长为2，角的始边是
轴的非负半轴，终边过点，则的最小值（）
A． B．1 C. D．2
参考答案：
B
3. 已知函数的定义域为,且满足,为的导函数,又知的图象如右图所示,若两个正数满足,,则的取
值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：D
略
4. 是等腰三角形，，则以为焦点且过点的椭圆的离心率为
A. B. C.
D.
参考答案：
B
5. 将函数的图像向右平移个单位，得到函数g(x)的图像，则下列说法不正确的是
A．g(x)的周期为πB．
C．的一条对称轴D．g(x)为奇函数
参考答案：
C
6. 如图，圆锥的底面直径，高，D为底面圆周上的一点，，则空间中两条直线AD与BC所成的角为（）
A．30° B．60° C．75° D．90°
参考答案：
B
7. 已知函数f(x)=|mx|–|x–n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f(x)＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）．
（A）3＜m＜6 （B）1＜m＜3
（C）0＜m＜1 （D）–1＜m＜0
参考答案：
B
【知识点】根的存在性及根的个数判断．B10
解析：∵f（x）=|mx|﹣|x﹣n|＜0，即|mx|＜|x﹣n|，
∴（mx）2﹣（x﹣n）2＜0，即[（m﹣1）x+n][（m+1）x﹣n]＜0，
由题意：m+1＞0，f（x）＜0的解集中的整数恰好有3个，
可知必有m﹣1＞0，即m＞1，（否则解集中的整数不止3个）
故不等式的解为，
∵0＜n＜1+m，∴，
所以解集中的整数恰好有3个当且仅当，
即2（m﹣1）＜n≤3（m﹣1），
又n＜1+m，所以2（m﹣1）＜n＜1+m，即2（m﹣1）＜1+m，解得m＜3，
从而1＜m＜3，
故选：B．
【思路点拨】根据f（x）=|mx|﹣|x﹣n|＜0，及题意得m＞1，从而，再根据解集中的整数的个数可知2（m﹣1）＜n≤3（m﹣1），解之即可．
8. 函数y=x﹣的值域为（）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[0，1]
参考答案：
考点：函数的值域．
专题：函数的性质及应用．
分析：运用换元法t=，转化为二次函数求解，注意变量的范围．解答：解：设t=，则y=﹣t2﹣t+1，t≥0，
∵对称轴为t=，可知；在[0，+∞）上为单调递减函数，
∴当t=0时，y的最大值为1，
即函数y=x﹣的值域为（﹣∞，1]，
故选：B
点评：本题考查了运用换元法，转化为二次函数的问题来解决，此类型题，要特别注意心自变量的取值范围．
9. 函数f（x）是自变量不为零的偶函数，且f（x）=log2x（x＞0），g（x）=，若存在实数n使得f（m）=g（n），则实数m的取值范围是（）
A．[﹣2，2] B．∪C．∪D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
参考答案：
B
【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．
【分析】求出g（x）的范围，利用存在实数n使得f（m）=g（n），列出不等式，然后求解即可．
【解答】解：∵g（x）=，g（x）∈[﹣1，1]，
存在n使得f（m）=g（n），
可得﹣1≤f（|m|）≤1，
即﹣1≤log2|m|≤1，
，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查函数的值域以及对数函数的性质，分段函数的应用，考查计算能力．
10. 执行如图所示的程序框图，如果运行结果为5040，那么判断框中应填入（）
A．k＜6？B．k＜7？C．k＞6？D．k＞7？
参考答案：
D
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=8，此时执行输出S=5040，结束循环，从而判断框中应填入的关于k的条件．
【解答】解：由题意可知输出结果为S=720，
通过第一次循环得到S=1×2=2，k=3，
通过第二次循环得到S=1×2×3=6，k=4，
通过第三次循环得到S=1×2×3×4=24，k=5，
通过第四次循环得到S=1×2×3×4×5=120，k=6，
通过第四次循环得到S=1×2×3×4×5×6=720，k=7，
通过第六次循环得到S=1×2×3×4×5×6×7=5040，k=8，
此时执行输出S=5040，结束循环，所以判断框中的条件为k＞7？．
故选D．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m),则该几何体的体积为_________m3. 参考答案：
12. 已知，且，则的值为__________
参考答案：
13. C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，设点A,B分别在曲线（为参数）和曲线上，则的最小值为________．
参考答案：
1
本题考查了极坐标和参数方程问题以及有关的计算问题，难度中等。

曲线表示圆心（3，0）、半径=1的圆；曲线表示圆心（0，0），半径=1的圆，|AB|的最小值为
14. 圆心在抛物线上，并且和该抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程
为
．
参考答案：
15. =.（用数字作答）参考答案：
210
16. 在二项式的展开式中，含的项的系数是 ．
参考答案： 略
17. 已知则
的值为
.
参考答案： 3 略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知二次函数f （x ）=ax2﹣4x+c ．若f （x ）＜0的解集是（﹣1，5） （1）求实数a ，c 的值；
（2）求函数f （x ）在x∈[0，3]上的值域．
参考答案：
略
19. （本小题满分12分）
已知函数 =ax 3
—
(1+a)x 2
+3x -3（其中a∈R）
(I)若函数 在x= -1时取得极值，求a ； (Ⅱ)求函数
的单调区间．
参考答案：
（1）若函数
在
时取得极值 ，
; ………2分 （2）
①当时，
函数单调递增区间为， 单调递减区间为
②当
时，
函数单调递增区间为 ， 单调递减区间为，
③当时，函数单调递减区间为 ，
单调递增区间为，
④当
时，
函数单调递减区间为， 单调递增区间为，
⑤当
时，
，函数
单调递增. ………12分 20. 如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=
，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面
ADM⊥平面ABCM （Ⅰ）求证：AD⊥BM
（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E ﹣AM ﹣D 的余弦值为．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM
（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，
∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD?平面ADM∴AD⊥BM；
（2）建立如图所示的直角坐标系，设，
则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，
取y=1，得x=0，z=，
则=（0，1，），
∵cos＜，＞==，∴求得，
故E为BD的中点．
21. 坐标系与参数方程已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．
（1）若在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极
轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差．
参考答案：
略
22. 选修4－4 ：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。

（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；
（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。

参考答案：
解：（Ⅰ）由
从而C的直角坐标方程为
………5分
（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）
N点的直角坐标为
所以P点的直角坐标为
所以直线OP的极坐标方程为
(10)
分。