全等三角形专题整理

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(完整)全等三角形的判定专题

全等三角形的判定证明专题一、全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等.②全等三角形的对应角相等。

二、全等三角形的判定定理①角边角公理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA)。

②边角边公理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。

③边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等（SSS)。

④角角边定理：有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS）。

三、一般思考方法1、已知两边对应相等—1。

第三边；2。

夹角；3。

直角2、一角及邻边对应相等—1。

角的另一边;2.边的另一角；3。

边的对角3、一角及对边对应相等—1.另一角4、两角相等-1。

夹边；2。

一已知角的对边第一部分简单证明例题分析例1：已知：如图AC=BD,∠CAB=∠DBA.求证：∠CAD=∠DBC。

例2：已知：AB=CD,AB∥DC,求证：△ABC≌△CDB例3：已知：在△ABC中,AD为BC边上的中线,CE⊥AD，BF⊥AD.求证：CE=BF例4．已知：如图AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于G。

求证：AG平分∠BAC.例5：已知：△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，连结DE、EF,∠ADE=∠EFC,∠AED=∠ACB，DE=FC.求证：△ADE≌△EFC例6:已知：△ABC是等边三角形，∠GAB=∠HBC=∠DCA，∠GBA=∠HCB=∠DAC。

求证:△ABG≌△BCH≌△CAD。

自我检测1、已知：△ABC中，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点。

求证：∠ABE=∠ACD.2、已知:AB=DC,AC=BD ，AC 交BD 于E.求证：AE=DE.3、已知：如图，AB=CD ，BE=DF ，AF=EC.求证：BF=DE4、如图，在△ABE 中，AB ＝AE ，AD ＝AC ，∠BAD ＝∠EAC ， BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ；（2) OB ＝OE 。

考点05 全等三角形(解析版)

考点五全等三角形知识点整合二、全等三角形1．三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的周长相等，面积相等；（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．考向一全等三角形1．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：（1）已知两边SASHLSSS ⎧⎪⎨⎪⎩找夹角→找直角→找第三边→（2）已知一边、一角AASSASASAAAS⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩一边为角的对边→找另一角→找夹角的另一边→一边为角的邻边找夹角的另一角→找边的对角→（3）已知两角ASAAAS ⎧⎨⎩找夹边→找其中一角的对边→2．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．典例引领1．在学习了全等三角形的判定后，聪明的小惠猜想了一个命题：如果两个三角形有两边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．她根据命题的意义画出了图形（如图），并写出了部分已知条件，请你把已知条件补充完整，并写出证明过程．已知：如图，AD 和A D ''分别是ABC 和A B C ''' 的中线，AD A D ''=，AB A B ''=，______．求证：A ABC B C '''≌△△．∴B B '∠=∠，在ABC 和A B C ''' 中，AB A B B B BC B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪=''''⎩'，∴()SAS ABC A B C ''' ≌，故答案为：BC B C ''=．2．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图()1，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE BD CE =+．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图()2，将()1中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图()3，过ABC 的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，求证：I 是EG 的中点．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）证明见解析．【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD AE =、CE AD =是解题的关键．（1）由条件可证明ADB CEA ≌，可得DA CE =，AE BD =，可得结论；（2）由条件可知180BAD CAE α∠+∠=︒-，且180DBA BAD α∠+∠=︒-，可得DBA CAE ∠=∠，结合条件可证明ADB CEA ≌，同（1）可得出结论；（3）过E 作EM HI ⊥于M ，GN HI ⊥，交HI 的延长线于N ．由条件可知EM AH GN ==，可得EM GN =，结合条件可证明EMI GNI ≌，可得出结论I 是EG 的中点．【详解】解：（1）如图1，BD ⊥ 直线l ，CE ⊥直线l ，90BDA CEA ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒ ，90BAD CAE ∴∠+∠=︒，90BAD ABD ∠+∠=︒ ，CAE ABD ∴∠=∠.在ADB 和CEA 中，BDA AEC DBA EAC AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ADB CEA ∴ ≌，AE BD ∴=，AD CE =，DE AE AD BD CE ∴=+=+；（2）成立：DE BD CE =+．如图2，α∠=∠= BDA BAC ，180α∴∠+∠=∠+∠=︒-DBA BAD BAD CAE ，DBA CAE ∴∠=∠，在ADB 和CEA 中．BDA AEC DBA EAC AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．ADB ∴ ≌()AAS ADB CEA ∴ ≌，AE BD ∴=，AD CE =，DE AE AD BD CE ∴=+=+；（3）如图3，过E 作EM HI ⊥于M ，GN HI ⊥，交HI 的延长线于N ，90EMI GNI ∴∠=∠=︒，由（1）和（2）同理可证AEM BAH ≌，AGN CAH ≌，EM AH GN ∴==.EM GN ∴=，在EMI △和GNI △中，EIM GIN EMI GNI EM GN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，EMI ∴ ≌()AAS EMI GNI ∴ ≌，EI GI ∴=，I ∴是EG 的中点．3．如图，在ABC 中，AC AB >，D 是BA 延长线上的一点，点E 是CAD ∠的平分线上的一点，EB EC =，过点E 作EF AC ⊥于点F ，EG AD ⊥于点G ．(1)求证：EGB EFC≌△△(2)若3AB =，5AC =，求AF 的长．【答案】(1)见解析(2)1【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明AGE AFE ≌是解答本题的关键．（1）先证明AGE AFE ≌，即有EG EF =，结合EB EC =，即可得Rt Rt EGB EFC △≌△；（2）由（1）AGE AFE ≌，Rt Rt EGB EFC △≌△，进而可得BG FC =，根据5AC AC AF FC BG AB AG ==+=+，，，可得25AF FC AF BG AF AB AG AF AB +=+=++=+=，即可得235AF +=，则AF 可求．【详解】（1）证明：∵EG AD ⊥，EF AC ⊥，∴90EGB EFC ∠=︒=∠，∴EGB 和EFC 是直角三角形，∵AE 平分CAD ∠，∴∠=∠EAG EAF ，∵EA EA =，∴()AAS AGE AFE ≌，∴EG EF =，∵EB EC =，∴()Rt Rt HL EGB EFC ≌，（2）∵AGE AFE ≌，Rt Rt EGB EFC △≌△，∴BG FC =，AG AF =，∵5AC AC AF FCBG AB AG ==+=+，，，∴25AF FC AF BG AF AB AG AF AB +=+=++=+=，∵3AB =，∴235AF +=，∴1AF =，即AF 的长为1．4．阅读理解，自主探究：(1)如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．求证DE AD BE =+．(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE 、AD 、BE 之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)（1）中结论不成立，DE AD BE =-，理由见解析．【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角洲的判定及性质是解题的．()1根据三垂直得出ACD CBE ∠∠=，然后得出ADC 和CEB 全等，从而得出AD CE =，DC BE =，从而得到结论；()2首先证明ADC 和CEB 全等，从而得出AD CE =，DC BE =，得出结论．【详解】（1）解：∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCE ∠∠+=︒，∵AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，∴90ADC CEB ∠∠==︒，90BCE CBE ∠∠+=︒，∴ACD CBE ∠∠=．在ADC 和CEB 中，ADC CEB ACD CBE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC CEB ≌，∴AD CE =，DC BE =，∴DE DC CE BE AD =+=+；（2）解：（1）中结论不成立，DE AD BE =-，理由如下：∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCE ∠∠+=︒，∵AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，∴90ADC CEB ∠∠==︒，90BCE CBE ∠∠+=︒，∴ACD CBE ∠∠=．在ADC 和CEB 中，90ADC CBE ACD CBE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC CEB ≌，∴AD CE =，DC BE =，∴DE CE CD AD BE =-=-．5．如图，AE 与BD 相交于点C ，AC EC =，BC DC =，4cm AB =，点P 从点A 出发，沿A B A →→方向以3cm/s 的速度运动，点Q 从点D 出发，沿D E →方向以1cm/s 的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达点A 时，P 、Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为()s t ．(1)当403t ≤≤时，线段AP 的长为______，当4833t <≤时，线段AP 的长为______（用含t 的式子表示）．(2)请判断AB 与DE 的数量与位置关系，并证明你的结论．(3)连接PQ ，当线段PQ 经过点C 时，求t 的值．在ACP △和ECQ 中，6．如图所示，直线AB 交x 轴正半轴于点(),0A a ，交y 轴正半轴于点()0,B b ，且a 、b 满足50b -=．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)如图1所示，D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OF BD ⊥于点F ，过点A 作AG OA ⊥于点A ，交OF 的延长线于点G ，求点G 的坐标；(3)如图2所示，在（2）的条件下，若AB 交于点E ，连接ED ，求证：BDO EDA ∠=∠．∵AG OA⊥∴904545GAE ∠=︒-︒=︒∴DAE GAE∠=∠又∵AE AE=∴()SAS DAE GAE ≌∴EDA G∠=∠∵()ASA BOD OAG ≌∴BDO G∠=∠∴BDO EDA ∠=∠．7．已知：如图，AB DB =，CB EB =，12∠=∠，求证：A D ∠=∠．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先求出ABC DBE ∠=∠，再利用“SAS ”证明ABC DBE ≌，即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．【详解】证明：12∠=∠ ，12DBC DBC ∴∠+∠=∠+，即ABC DBE ∠=∠，在ABC 和DBE 中，AB DB ABC DBE CB EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ABC DBE ∴△≌△，A D ∴∠=∠．变式拓展8．如图，AB ED ∥，AB ED AF DC ＝，＝．求证：EF CB ∥．【答案】证明见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，根据题意证明()SAS ABC DEF ≌△△，继而得ACB DFE ∠∠＝，证明即可．【详解】证明：∵AB ED ∥，∴A D ∠∠＝，∵AB ED AF DC ＝，＝，∴AF CD DC CF ++＝，即AC DF ＝，在ABC 和DEF 中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABC DEF ≌△△∴ACB DFE ∠∠＝，∴EF CB ∥．9．学习与探究：如图1，OP 是MON ∠的平分线，点A 是OP 上任意一点，用圆规分别在OM 、ON 上截取OB OC =，连接AB 、AC ，则AOB AOC ≌△△，判定方法是_________．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC 中，ACB ∠是直角，=60B ∠︒，AD 、CE 分别是BAC ∠和BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ，求EFA Ð的度数；（2）在（1）的条件下，请判断FE 与FD 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在ABC 中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）题中所得结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，也请说明理由．∵AD 是BAC ∠的平分线，∴EAF GAF ∠=∠，在EAF △和GAF 中，∵===AE AG EAF FAG AF AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴()SAS EAF GAF ≌，∴FE FG =，==60EFA GFA ∠∠︒，∴=1806060=60GFC ∠--︒︒︒︒，又∵==60DFC EFA ∠∠︒，∴DFC GFC ∠=∠，在FDC △和FGC △中∵===DFC GFC FC FC FCG FCD ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，∴()ASA FDC FGC ≌，∴FD FG =，∴FE FD =．（3）在（2）中的结论FE FD =仍然成立．在AC 上截取AH AE =，连接FH ，如图所示：10．在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别过点A 、B 两点作过点C 的直线m 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)如图1，当AC CB =，点A 、B 在直线m 的同侧时，求证：DE AD BE =+；(2)如图2，当AC CB =，点A 、B 在直线m 的异侧时，请问（1）中有关于线段DE 、AD 和BE 三条线段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确结论，并说明理由；(3)如图3，当16cm AC =，30cm CB =，点A 、B 在直线m 的同侧时，一动点M 以每秒2cm 的速度从A 点出发沿A →C →B 路径向终点B 运动，同时另一动点N 以每秒3cm 的速度从B 点出发沿B →C →A 路径向终点A 运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．在运动过程中，分别过点M 和点N 作MP m ⊥于P ，NQ m ⊥于Q ．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，MPC 与NQC 全等？【答案】(1)见解析(2)DE AD BE =-，见解析(3)9.2t =或14或16秒【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出ADC CEB ≌是解本题的关键，还用到了分类讨论的思想．（1）根据AD m ⊥于D ，BE m ⊥于E ，得90ADC CEB ∠∠==︒，而90ACB ∠=︒，根据等角的余角相等得ACD CBE ∠∠=，然后根据“AAS ”可判断ADC CEB ≌，则AD CE =，DC BE =，于是DE DC CE BE AD =+=+；（2）同（1）易证ACD CBE ≌，则AD CE =，CD BE =，于是DE CE CD AD BE =-=-；（3）只需根据点M 和点N 的不同位置进行分类讨论即可解决问题．【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCE ∠∠+=︒，∵AD m ⊥于D ，BE m ⊥于E ，∴90ADC CEB ∠∠==︒，90BCE CBE ∠∠+=︒，∴ACD CBE ∠∠=，在ADC 和CEB 中，ADC CEB ACD CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ADC CEB ≌，∴AD CE =，DC BE =，∴DE DC CE BE AD =+=+；（2）解：结论：DE AD BE =-；理由：∵AD m ⊥，BE m ⊥，∴90ADC CEB ∠∠==︒，∵90ACB ∠=︒，∴90ACD CAD ACD BCE ∠∠∠∠+=+=︒，∴CAD BCE ∠∠=，在ACD 和CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵MC NC =，∴162303t t -=-，解得：14t =，不合题意；②当810t ≤<时，点M 在BC ∵MC NC =，∴点M 与点N 重合，∴216303t t =﹣﹣，解得：9.2t =；∵MC NC =，∴216330t t -=-，解得：14t =；∵MC NC =，∴21616t -=，解得：16t =；综上所述：当9.2t =或14或1611．在正方形纸片ABCD 中，点M 、N 分别是BC 、AD 上的点，连接MN ．(1)问题探究：如图1，作DD MN '⊥，交AB 于点D ¢，求证：MN DD '=；(2)问题解决：如图2，将正方形纸片ABCD 沿过点M 、N 的直线折叠，点D 的对应点D ¢恰好落在AB 上，点C 的对应点为点C '，若12BD '=，4CM =，求线段MN 的长．四边形ABCD 是正方形，∴AD AB =，90DAB ABM ∠=∠=︒， 90∠=︒NHB ，∴四边形ABHN 是矩形，∴AB HN =，DD MN '⊥，∴90DON ∠=︒，∴90OND ODN ∠+∠=︒，90OND MNH ∠+∠=︒，∴ODN MNH ∠=∠，DAD NHM '∠=∠，AD NH =，∴()'ASA ADD HNM ≌，∴MN DD '=；（2）（2）连接MD '，DD '，由折叠的性质得到：C M CM '=，CD C D =''，设正方形的边长为x ，由勾股定理得，2222BD BM D C C M ''''++=，∴()22221244x x +-=+，解得：18x =，∴18AB AD ==，∴18126AD AB BD ''=-=-=，由勾股定理得，2222186360610DD AD AD ''=+=+==，MN 是DD '的垂直平分线，由（1）知，DD MN '=，∴610MN =．12．【问题解决】已知ABC 中，,,,AB AC D A E =三点都在直线1上，且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠．如图①，当90BAC ∠=︒时，线段,,DE BD CE 的数量关系为：DE BD CE=+【类比探究】（1）如图②，在（1）的条件下，当0180BAC ︒<∠<︒时，线段,,DE BD CE 的数量关系是'否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；【拓展应用】（2）如图③，,90AC BC ACB =∠=︒，点C 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()1,2，请求出点A 的坐标．【答案】（1）DE BD CE =+的数量关系不变，理由见解析；（2）(4,3)-【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．（1）根据三角形的外角性质得到ABD CAE ∠=∠，证明ABD CAE ≌ ，根据全等三角形的性质解答；（2）过点A 作AM x ⊥轴于点M ，过点B 作BN x ⊥轴于点N ，根据（1）的结论得到ACM BCN ≌△△，根据全等三角形的性质解答即可．【详解】解：（1）DE BD CE =+的数量关系不变，理由如下：BAE ∠ 是ABD 的一个外角，BAE ADB ABD ∴∠=∠+∠，BDA BAC ∠=∠ ，ABD CAE ∴∠=∠，在ABD △和CAE V 中，ABD CAE ADB CEA BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)ABD CAE ∴△≌△，AD CE ∴=，BD AE =，DE AD AE BD CE ∴=+=+；（2）过点A 作AM x ⊥轴于点M ，过点B 作BN x ⊥轴于点N ，点C 的坐标为(2,0)-，点B 的坐标为(1,2)，2OC ∴=，1ON =，2BN =，3CN ∴=，由（1）可知，ACM BCN ≌△△，3AM CN ∴==，2CM BN ==，4OM OC CM ∴=+=，∴点A 的坐标为(4,3)-．13．【初步探索】（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B ADC ∠=∠=︒，120BAD ∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60EAF ∠=︒，探究图中BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明：ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF ≌，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=∠︒，120BAD ∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60EAF ∠=︒，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD 中，180ABC ADC ∠+∠=︒，AB AD =，若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，满足EF BE FD =+，请判断EAF ∠与DAB ∠的数量关系．并证明你的结论．【答案】（1）BE FD EF +=；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解答过程；（3）11802EAF DAB ∠=︒-∠．理由见解答过程．证明见解析【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．（1）根据SAS 可判定ABE ADG △≌△，进而得出BAE DAG ∠=∠，AE AG =，再根据SAS 判定AEF AGF ≌，可得出EF GF DG DF BE DF ==+=+，据此得出结论；（2）延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先根据SAS 判定ABE ADG △≌△，进而得出BAE DAG ∠=∠，AE AG =，再根据SAS 判定AEF AGF ≌，可得出EF GF DG DF BE DF ==+=+；（3）在DC 延长线上取一点G ，使得DG BE =，连接AG ，先根据SAS 判定ADG ABE ≌，再根据SAS 判定AEF AGF ≌，得出FAE FAG ∠=∠，最后根据360FAE FAG GAE ∠+∠+∠=︒，推导得到2360FAE DAB ∠+∠=︒，即可得出结论．【详解】解：（1）BE FD EF +=．理由如下：如图1，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，90ADC ∠=︒ ，18090ADG ADC ∴∠=︒-∠=︒，又90B ∠=︒ ，B ADG ∴∠=∠，在ABE 与ADG △中，AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ABE ADG ∴ ≌，BAE DAG ∴∠=∠，AE AG =，120BAD ∠=︒ ，60EAF ∠=︒，60BAE DAF BAD EAF ∴∠+∠=∠-∠=︒，60DAG DAF ∴∠+∠=︒，即60GAF =︒∠，GAF EAF ∴∠=∠；在AEF △与AGF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，180∠+∠=︒，B ADF∴∠=∠，B ADG又AB AD，=≌(SAS)∴ABE ADG∴∠=∠，AE BAE DAG180ABC ADC ∠+∠=︒ ，ADC ABE ∴∠=∠，在ABE 与ADG △中，AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，。

全等三角形的判定总复习

AB=A´B´
BC=B´C´
∴Rt△ABC≌ Rt△A´B´C´(HL)
B
B′
A
C
已知：如图,在△ABC和△ABD中,AC⊥BC,
BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD
(1)求证： △ABC≌△BAD.
(2)求证：BC=AD
(1)解： ∵ AC⊥BC, BD⊥AD D
C
∴ ∠C=∠D=90°
在Rt△ABC和 Rt△BAD中
例子1：如图，在△AEC和△ADB中，已知AE=AD，AC=AB，请说明△AEC ≌ △ADB的理由。
解：在△AEC和△ADB中
C
_A_E__=__A_D_(已知)
D
∠A= ∠A( 公共角)
A
E
B
_A_C___=_A__B_(已知)
∴ △AEC≌△ADB（ SAS ）
例2：如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中
∠A=∠D （已知）
AB=DE（已知）
∠B=∠E（已知）
B
∴ △ABC≌△DEF（ASA）
A
D
CF E
例1：已知如图，O是AB的中点，∠A=∠B，
求证：△AOC≌△BOD
证明：
∵ O是AB的中点(已知） C
∴ OA=OB(中点定义）
在△AOC和△BOD中 A
,有
AB=AB,
A
B
AC=AD. ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). (2)∵ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴ BC=AD
例2. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，求证BC=BD

全等三角形的讲义整理讲义

全等三角形专题一全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。

）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。

【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1)AB 与是对应边，BC 与是对应边， CA 与是对应边；(2)∠A 与是对应角，∠ABC 与是对应角， ∠BAC 与是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。

(1)有公共边的，公共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。

【练习1】如图，图中有两对三角形全等，填空： (1)△BOD ≌ ； (2)△ACD ≌ .【知识点3】全等三角形的对应边相等，对应角相等。

（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相DABCOE ABCD等，对应角的角平分线相等）【例题2】（海南省中考卷第5题）已知图2中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A.72°B.60°C.58°D.50°【例题3】（清远）如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ．【练习2】如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（）A 20° B．30° C ．35° D ．40°【练习3】如图，△ABD 绕着点B 沿顺时针方向旋转90°到△EBC ，且∠ABD=90°。

全等三角形复习专题

全等三角形复习专题一、全等三角形基本概念与性质全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，即形状相同和大小相等的三角形。

全等三角形的性质是全等三角形的边、角及其对应线段之间具有一些特殊的数量关系和位置关系。

如全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应线段相等，以及全等三角形的中点连线等于其一边。

二、全等三角形的判定全等三角形的判定是全等三角形研究的核心内容，主要有以下五个判定方法：1、边角边定理（SAS）：若两个三角形的两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。

2、角边角定理（ASA）：若两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。

3、边边边定理（SSS）：若两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等。

4、角角边定理（AAS）：若两个三角形的两个角及其一边对应相等，则这两个三角形全等。

5、斜边直角边定理（HL）：若两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。

三、全等三角形的应用全等三角形在数学、几何、物理等领域中都有广泛的应用。

如证明线段相等、角相等、平行四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形的性质和判定，以及解决一些实际问题等。

四、全等三角形的复习策略1、掌握全等三角形的基本概念和性质，理解判定方法的意义和适用范围。

2、熟练掌握全等三角形的判定方法，能够根据题目条件选择合适的判定方法解决问题。

3、熟悉全等三角形的应用，能够将全等三角形的知识应用到实际问题和数学问题中。

4、多做练习题，熟悉各种题型和解题方法，提高解题能力和思维水平。

5、注意对易错点和难点进行重点复习和强化训练，避免出现常见的错误和失误。

全等三角形动点专题在数学的世界里，全等三角形和动点问题是两个重要的概念。

全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的边长和角度都相等，可以完全重合。

动点问题则涉及到在给定的图形或轨迹上移动的点，以及这些点的变化和规律。

将这两个概念结合起来，我们可以研究一类非常有趣的数学问题，即全等三角形动点专题。

初三复习专题--全等三角形

•
OA＝OC，EA＝EC，
•
请阐明∠ A＝∠C。
AO C
DB
E
• 分析：欲证明∠A＝ ∠C，有三条思路，一是证明△AOD与△COB全等，而由已知条件不可直接得到，二是连结OE，阐明△AOE与 △COE全等，这条路显而易得， ∠A＝∠C，三是证明 △ABE与△CDE全等，这也是不能直接证明到的，因此应采用第二条思路。
全等三角形
• 一:考纲规定与命题趋势
• 1. 理解并掌握五种识别三角形全等的办法，会灵活的对的选择适宜的识别办法判断两个三角形与否全等。
• 2. 对的运用全等三角形的性质计算三角形中未知的边或角，逐步培养逻辑推理能力和形象思维能力。
• 3. 全等三角形的应用是学习几何证明题的基础，因此它自然是中考必考知识点，同窗们务必学好它。
• 阐明：在解决几何问题的过程中，有时根据条件不能较顺利的得到结论，这时添加必要的辅助线是十分重要的捷径。
• 例3.P是线段AB上一点，△APC与△BPD都是
等边三角形，请你判断：AD与BC相等吗？
试阐明理由。
D
C
AP
B
• 分析：观察图形发现它们所在的三角形全
等，故考虑通过全等来阐明。
• 解：由△APC和△BPD都是等边三角形可知 AP＝PC，BP＝DP，∠APC＝∠BPD＝60°，
变化，结论往往仍然成立，解决大同小异，
要善于抓住规律。
A
A
B
l
3
E
12
D
C
E
①
D
1
l
2
B
C
②
• 例9.如图，等边△ABC的边长为a，在BC的延长线上取点D，使CD＝b，在BA的延长线上取点E，使AE＝a+b，证明EC＝ED。

全等三角形知识点总结

全等三角形知识点总结一、全等三角形的概念1. 定义- 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

- 例如，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中A与D、B与E、C与F 是对应顶点，AB与DE、BC与EF、AC与DF是对应边，∠A与∠D、∠B与∠E、∠C 与∠F是对应角。

2. 全等三角形的性质- 对应边相等：若△ABC≌△DEF，则AB = DE，BC = EF，AC = DF。

- 对应角相等：∠A=∠D，∠B = ∠E，∠C=∠F。

- 全等三角形的周长相等，面积相等。

因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长（三边之和）相等；又因为对应边和对应角都相等，根据三角形面积公式（如S=(1)/(2)ahsin B等多种公式都可推出），其面积也相等。

二、全等三角形的判定1. SSS（边边边）判定定理- 内容：三边对应相等的两个三角形全等。

- 例如，在△ABC和△DEF中，如果AB = DE，BC = EF，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。

- 作用：可以用来证明两个三角形全等，当已知两个三角形的三边长度分别相等时，就可以直接判定它们全等。

2. SAS（边角边）判定定理- 内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

- 例如，在△ABC和△DEF中，如果AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。

这里要注意必须是两边及其夹角，不能是两边及其中一边的对角。

- 作用：在已知三角形两边长度和它们夹角大小的情况下，用于判定三角形全等。

3. ASA（角边角）判定定理- 内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

- 例如，在△ABC和△DEF中，如果∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E，那么△ABC≌△DEF。

- 作用：当知道两个三角形两角及其夹边相等时，可判定全等。

4. AAS（角角边）判定定理- 内容：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

(完整版)全等三角形知识总结和经典例题

全等三角形复习[ 知识要点 ]一、全等三角形1．判定和性质一般三角形直角三角形边角边（ SAS）、角边角（ ASA）具备一般三角形的判定方法判定斜边和一条直角边对应相等（ HL ）角角边（ AAS）、边边边（ SSS）对应边相等，对应角相等性质对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2．证题的思路：找夹角（ SAS）已知两边找直角（ HL ）找第三边（ SSS）若边为角的对边，则找任意角（ AAS）找已知角的另一边（SAS）已知一边一角边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找夹已知边的另一角（ASA）找两角的夹边（ASA）已知两角找任意一边（AAS）性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

( 以上可以简称 : 全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用 SAS找全等三角形。

4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。

以及等角，用于工业和军事。

有一定帮助。

5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

全等三角形知识点总结及对应练习题

全等三角形专题讲解（一）知识储备1、全等三角形的概念：（1）能够重合的两个图形叫做全等形。

（2）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。

两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。

（3）全等三角形的表示：如图，△ABC和△DEF是全等三角形，记作△ABC≌△DEF，符号“≌”表示全等，读作“全等于”。

注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

2、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等。

【例1】如图，△ABC≌△DEF，则有：AB=DE，AC=DF，BC=EF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

3、全等三角形的判定定理：S.A.S “边角边”公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

【例2】A.S.A “角边角”公理：两角和它们的所夹边对应相等的两个三角形全等。

【例3】A.A.S “角角边”公理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

【例4】S.S.S “边边边”公理：三边对应相等的两个三角形全等。

【例5】H.L “斜边直角边“公理斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。

【例6】（二）双基回眸1、下列说法中，正确的个数是（）①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等A．4 B．3 C．2 D．12、如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．3、如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（）A．6 B．5 C．4 D．无法确定4、如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°5、能确定△ABC≌△DEF的条件是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠EB．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠EC．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DD．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E6、如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙（三）例题经典例1：如图，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____；（2）对应边AC＝，AB= ；（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，则AO= _，BO= _，∠A=_ ，∠ABC= ．例2：如图，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB．求证：∠D＝∠B．例3：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．例4：如图，AC BD．求证：OA＝OB，OC＝OD．例5：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．例6：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝DC ：（2）AD ∥BC ．例7：阅读下题及一位同学的解答过程，回答问题：如图，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C 。

全等三角形知识点总结及练习

《全等三角形》知识点总结及练习【概念梳理】一、全三等角形的性质1.全等三角形对应边相等；2.全等三角形对应角相等。

二、全等三角形的判定1.三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS）2.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（ASA）3.两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）4.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（SAS）5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL）三、灵活选择适当的方法判定两个三角形全等1.已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)2.已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)3.已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)【典型例题】1.如图（1），已知△ABC≌△CDA，∠B＝75°，∠BAC＝62°，BC＝18。

（1）写出△ABC和△CDA的对应边和对应角。

（2）求∠DAC的度数和边DA的长度。

解：（1）和为对应边∠和∠为对应角和为对应边∠和∠为对应角和为对应边∠和∠为对应角AB CD １（2）在△ABC中，∠BCA＝180°－∠1－∠B＝180°－－＝°∵∠DAC和∠BCA为全等三角形的对应角∴∠＝∠＝°（全等三角形的相等）∵DA和BC为全等三角形的对应边∴＝＝（全等三角形的相等）2.如图（2）△ABC≌△DCB，请说明∠ACD和∠DBA相等的理由。

解：∵△ABC≌△DCB∴∠ACB＝，∠ABC＝（全等三角形的相等）∴∠ACD＝∠ACB－∠∠ABD＝∠CBD－∠∴∠＝∠。

【小试牛刀】一、选择1．一个图形经过平移后，发生变化的是（）A．形状B．大小C．位置D．以上都变化了2.下列说法正确的是（）A．有三个角对应相等的两个三角形全等B．有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等C．有两个角和它们夹边对应相等的两个三角形全等D．面积相等的两个三角形全等3.使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等 D。

(完整版)全等三角形题型归纳(经典完整)

1一，证明边或角相等方法：证明两条线段相等或角相等，如果这两条线段或角在两个三角形内，就证明这两个三角形全等；如果这两条线段或角在同一个三角形内，就证明这个三角形是等腰三角形；如果看图时两条线段既不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，那么就利用辅助线进行等量代换，同样如果角不在同一个三角形内，也不在两个全等三角形内，也是用等量代换（方法是：（1）同角（等角）的余角相等（2）同角（等角）的补角相等，此类型问题一般不单独作一大题，往往是通过得出角相等后用来证明三角形全等，而且一般是在双垂直的图形中）1.已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。

求证：BE ＝CD 。

2．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．3．已知：如图△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD 、CE 交于H 。

求证：HB=HC 。

2、如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．求证：AC=EF ．A ED C B654321E DCBAFGE D CBAFMNE 1234134****70432EDC BA 二.证明线段和差问题（形如：AB+BC=CD,AB=AD - CD)证明两条线段和等于另一条线段，常常使用截长补短法。

①截长法即为在这三条最长的线段截取一段使它等于较短线段中的一条，然后证明剩下的一段等于另一条较短的线段。

②补短法即为在较短的一条线段上延长一段，使它们等于最长的线段，然后证明延长的这一线段等于另一条较短的线段。

证明两条线段差等于另一条线段，只需把差化成和来解决即可。

1.如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．2、如图,已知：△ABC 中,∠BAC ＝90, AB ＝AC ,AE 是过A 一直线,且点B 、C 在AE 的异侧,BD ⊥AE 于D ,CE ⊥AE 于E . 求证：BD ＝DE ＋CE ；3、如图，AB ∥CD ，DE 平分∠ADC ，AE 平分∠BAD ，求证：AB=AD - CD三．证明线段的2倍或21关系 ( AB CE =2， MN BN =12） P E D CB A134****704331. 利用含30角的直角三角形的性质证明例1. 已知，如图1，∆ABC 是等边三角形，在AC 、BC 上分别取点D 、E ，且AD ＝CE ，连结AE 、BD 交于点N ，过B 作BM AE ⊥，垂足为M ，求证：MN BN =12（提示：先证∠=BNE 60）2. 利用等线段代换（充分利用中点）例1．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．3.转化为线段和问题，利用截长补短法例5. 已知：如图5，四边形ABCD 中，∠=D 90，对角线AC 平分∠BAD ，AC BC =，求证：AD AB =12四．证明二倍角关系利用三角形外角和定理和等量代换如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B FE DCB ADCBA134****7043 4。

八年级上册数学《全等三角形》知识归纳与题型突破含解析

第十二章全等三角形知识归纳与题型突破（题型清单）一、全等图形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.四、全等三角形的判定01 思维导图02 知识速记五、全等三角形的证明思路SAS HLSSS AAS SAS ASAAAS ASA AAS→ → → →→ → → → → → 找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边六、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1．证明线段相等的方法：(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.2．证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用角平分线的判定进行证明.(4) 同角（等角）的余角（补角）相等.(5) 对顶角相等.3．证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4．辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5. 证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.七、角平分线概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

全等三角形的基本模型归纳总结

全等三角形的基本模型归纳总结1. 什么是全等三角形大家好，今天我们来聊聊全等三角形，听起来有点高大上的样子，但其实它就像你我生活中的兄弟姐妹一样，形状和大小完全一样的三角形，咱们可以把它理解成“孪生三角形”。

简单来说，全等三角形是指两个三角形，它们的边长和角度都完全相等，就像两个高度一致的双胞胎。

想象一下，如果你把一个三角形剪下来，然后在另一张纸上完美地复刻出来，那就是全等三角形啦！说白了，它们就是外表看上去一模一样的“亲兄弟”。

1.1 全等的条件那么，怎么判断两个三角形是不是全等呢？这就有讲究了，咱们可以用几个条件来对照一下。

首先，最常见的就是“边边边”（SSS），就是如果三条边都相等，那你就可以大声告诉全世界：“嘿，这俩三角形是全等的！”其次，还有“边角边”（SAS），也就是说，如果两边加一个夹角相等，那这俩家伙也是全等的。

再者，“角边角”（ASA），只要两个角和夹着的那条边相等，嘿，这也能算全等哦！当然，还有“角角边”（AAS）和“直角三角形的斜边和一个锐角相等”（RHS）这两招，搞定这些条件，你就能轻松判别了。

1.2 为什么全等三角形这么重要你可能会问，这些全等三角形有什么用啊？其实，它们在生活中比你想象的还要有用。

比如，在建筑设计中，工人们得确保每个结构的精确度，全等三角形就像是建筑的“黄金法则”，只要确保这些三角形的全等，整个建筑的稳定性就有保障了。

另外，咱们在测量距离和角度时，全等三角形可以帮我们简化问题，解决许多复杂的几何难题，就像是给数学添了一把钥匙，让我们轻松开门。

2. 生活中的全等三角形说到这儿，我就忍不住想跟大家分享一下生活中的全等三角形。

你知道吗？就连披萨切开后的那几片，若是切得均匀，都是一模一样的全等三角形。

想想看，谁不想要一块看上去超完美的披萨呢？而且如果你把它们摆成一个完整的圆，那种感觉就像是在吃“几何艺术品”，简直让人心花怒放！2.1 运动中的全等三角形再说说运动吧，比如说篮球。

全等题型知识点总结归纳

全等题型知识点总结归纳一、全等三角形的定义全等三角形是指具有相等的三条边和三个角的三角形。

在平面几何中，如果两个三角形的对应边相等、对应角相等，则这两个三角形互相全等。

具体而言，如果三角形ABC和三角形DEF满足以下条件，那么它们互相全等：1. AB=DE, BC=EF, AC=DF2. ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F二、全等三角形的判定条件1. SAS判定条件（边角边）如果两个三角形的两边分别相等，并且夹角也相等，则这两个三角形全等。

2. ASA判定条件（角边角）如果两个三角形的一个角和两个边分别相等，则这两个三角形全等。

3. SSS判定条件（边边边）如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

三、全等三角形的性质和特点1. 三角形全等的六个条件根据全等三角形的定义和判定条件，我们可以得出全等三角形的六个条件，即3条边相等、两角一边相等、两边一角相等，这些条件可以帮助我们判断两个三角形是否全等。

2. 全等三角形的性质（1）全等三角形的对应角相等如果两个三角形是全等的，那么它们的对应角一定相等。

即∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F。

（2）全等三角形的对应边相等如果两个三角形是全等的，那么它们的对应边一定相等。

即AB=DE, BC=EF, AC=DF。

3. 全等三角形的性质定理全等三角形的性质定理包括对应边相等、对应角相等、对应边夹角相等、对应角夹边相等等，这些性质定理可以帮助我们解决相关的平面几何问题。

四、全等三角形的相关定理1. 全等三角形的重要定理（1）全等三角形的基本性质定理全等三角形的基本性质定理包括对应边相等、对应角相等、对应边夹角相等、对应角夹边相等等。

（2）全等三角形的角平分线定理如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么它们对应角的角平分线也是全等的。

（3）全等三角形的边的平分线定理如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么它们对应边的边中线也是全等的。

（4）全等三角形的高定理如果三角形ABC和三角形DEF是全等的，那么它们的高也是全等的。

全面的全等三角形题型汇总

全等三角形的总复习题型：角角边证明三角形全等1、如图，若∠1=∠2，∠C=∠D，则证明△ADB≌△ACB。

2、如图，已知：AD=AE，ABEACD∠=∠，求证：BD=CE.3、如图，已知：ABDBACDC∠=∠∠=∠.，求证：OC=OD.4、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE交CD于F，且AD=DF，求证：AC= BF。

BAE FCDD EBAOD C5、如图，已知：BE=CD，∠B=∠C，求证：∠1=∠2。

题型:边角边证明三角形全等1、如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，证明：△ABD≌△ACD。

2、如图，已知AB=BE，BC=BD，∠1=∠2，证明：∠D=∠C。

3、如右图，AB=AD ，∠BAD=∠CAE，AC=AE，求证:CB=ED。

4、已知：如图，AB=CD，AB//DC．求证:AD//BC，AD=BC。

ABCDE5、如图，D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，∠ADE=∠AED，求证:AB=AC。

题型：角边角证明三角形全等1、如图，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DCB，试说明△ABC≌△DCB。

A DB C2、已知：如图, AB=AC , ∠B=∠C，BE、DC交于O点。

求证:BD=CE.3、如图：在△ABC和△DBC中,∠ABD=∠DCA,∠DBC=∠ACB,求证：AC=DB.4、如图，已知：AE=CE，∠A=∠C，∠BED=∠AEC，求证：AB=CD.AEC B D5、已知：如图，AB//DE，AC//DF，BE=CF，求证：∠A=∠B.6、如图, AB//CD, AD、BC交于O点, EF过点O分别交AB、CD于E、F，且AE=DF, 求证：O是EF的中点．7、已知：如图,AE=BF,AD//BC,AB、CD交于O点。

求证：CE=DF.题型：边边边证明三角形全等1、如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠1=∠2．2、已知：如图，AC=AD，BC=BD，求证：∠C=∠D3、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D．4、已知：如图，AB=AC，AD=AE，BD=CE.求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）△ABE≌△ACD．5、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B；⑵AE//CF．6、已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB,求证:(1)∠A=∠C；(2)AB//CD ,AD//BC.题型：HL定理证明三角形全等1、如图，△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足，且AE=AF，试说明：DE=DF，AD平分∠BAC.2、如图，B、E、F、C在同一直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，AB=DC，BE=CF，试判断AB与CD的位置关系，并证明3、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，试探究BE与AC的位置关系.4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线DN经过点C，且AD⊥DN于D，BE⊥DN于E，求证：DE=AD+BE.5、如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE，求证：AF=CE.6、如图，A、E、F、B四点共线，AC⊥CE、BD⊥DF、AE=BF、AC=BD，求证：△ACF≌△BDE.7、已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC.求证：BE=DF.8、如图，在ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且DE=DF，试说明AB=AC题型：角平分线的应用1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离为___________。

全等三角形判定专题

EDC B A 全等三角形．三角形全等的证题思路：SAS HL SSS SAS ASAAAS ASA AAS ⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→⎧⎪⎪→⎨⎨⎪⎪→⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边找夹角的另一边已知一边和一角找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边 2．全等三角形中常见的基本图形：１．三角形全等的判定一（SSS ）1．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DE ，AC =DF ， BE =CF ．求证∠A =∠D ．2．已知，如图，AB=AD ，DC=CB ．求证：∠B=∠D 。

3．如图, AD ＝BC, AB ＝DC, DE ＝BF. 求证：BE ＝DF.A D C BH F E D CB A ２．三角形全等的判定二（SAS ）1、已知，如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2。

求证：△ABD ≌△ACE ．2．已知:如图,AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．3．如图, 在△ABC 中, 分别延长中线BE 、CD 至F 、H, 使EF ＝BE, DH ＝CD, 连结AF 、AH ．求证：(1) AF ＝AH ；(2)点A 、F 、H 三点在同一直线上； (3)HF ∥BC.4．如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, AC ＝BC, 直线EF 交AC 于F, 交AB 于E, 交BC 的延长线于D, 连结AD 、BF, CF ＝CD. 求证：BF ＝AD, BF ⊥AD.2A CB E D 1 A E FA C D E F ABCD EP Q NM 5．已知：E 是正方形ABCD 的边长AD 上一点，BF 平分∠EBC ，交CD 于F ，求证BE=AE+CF.３～４．三角形全等的判定三、四（ASA 、AAS ）1．已知，D 是△ABC 的边AB 上的一点，DE 交AC 于点E ，DE=FE ，FC ∥AB 。

全等三角形专题

小专题4 证明三角形全等的解题思路边相等呈现的方式：①公共边(包括全部公共和部分公共)；②中点．类型1 已知两边对应相等，找第三边相等1．如图，已知AB＝DE，AD＝EC，点D是BC的中点，求证：△ABD≌△EDC.类型2 已知两角对应相等，找夹边相等2．如图，∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠DBC，求证：△ABD≌△CDB.类型3 已知两角对应相等，找其中一角的对边相等3．两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？类型4 已知直角三角形的直角边(或斜边)相等，找斜边(或直角边)相等4．已知，如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DF，BE＝CF.求证：△ABC≌△DFE.思路二：找角角相等呈现的方式：①公共角；②对顶角；③角平分线；④垂直；⑤平行．类型5 已知两边对应相等，找夹角相等5．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE.求证：△ABC≌△ADE.6．如图，已知AD＝AE，AB＝AC，求证：△ABE≌△ACD.7．如图，已知，AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，求证：△ACD≌△EBD.类型6 已知一边一角对应相等，找另一角相等8．已知，如图，D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE，求证：△ABC≌△DAE.9．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：(1)△ADO≌△AEO；(2)△BDO≌△CEO.小专题5 全等三角形的基本模型类型1 平移模型1．如图，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，求证：AB＝DE.2．(东莞月考)如图，AC＝DF，AD＝BE，BC＝EF.求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)AC∥DF.类型2 对称模型3．如图，点E，C在BF上，BE＝CF，AB＝DF，∠B＝∠F，求证：∠A＝∠D.4．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BE＝CD.5．如图，∠B＝∠D，请添加一个条件(不得添加辅助线)，使得△ABC≌△ADC，并说明理由．类型3 旋转模型6．如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.求证：AB∥CD.7．如图，AB⊥CD于点B，CF交AB于点E，CE＝AD，BE＝BD.求证：CF⊥AD.类型4一线三等角模型8．如图，AD⊥AB于点A，BE⊥AB于点B，点C在AB上，且CD⊥CE，CD＝CE.求证：AD＝CB.类型5 综合模型平移＋旋转模型：平移＋对称模型：9．(曲靖中考)如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D.(1)求证：AC∥DE；(2)若BF＝13，EC＝5，求BC的长．小专题6 全等三角形的性质与判定的综合类型1 证角相等1．如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC，求证：∠1＝∠2.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：∠1＝∠2.类型2 证明线段之间的位置关系(1)证线段的平行3．如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，求证：AB∥CD.(2)证线段的垂直4．如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD.求证：BE⊥AC.类型3 线段之间的数量关系(1)证线段相等5．(宜宾中考)如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF.求证：BE ＝CF.6．如图，AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是BD 上任意一点，求证：AE ＝CE.(2)证线段的和差关系7．如图，已知AD ∥BC ，点E 为CD 上一点，AE ，BE 分别平分∠DAB ，∠CBA ，BE 交AD 的延长线于点F.求证：(1)△ABE ≌△AFE ； (2)AD ＋BC ＝AB.8．如图，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，求证：EF ＝BE ＋DF.(3)证线段的倍分关系9．已知：如图，在△ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE ，求证：BE ＝12AD.。

全等三角形专题复习(含练习讲评)

一、全等三角形注: ① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等. 2. 证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS例1: 如图, 在△ABE 中, AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC.DE 交于点O.求证: （1） △ABC ≌△AED ；（2） OB ＝OE .例2: 如图所示, 已知正方形ABCD 的边BC.CD 上分别有点E 、点F, 且BE ＋DF ＝EF, 试求∠EAF 的度数.AD F例3.在△ABC中, ∠ACB=90°,AC=BC, AE是BC的中线, 过点C作CF⊥AE于F,过B作BD⊥CB 交CF的延长线于点D。

(1)求证：AE=CD, （2)若BD=5㎝,求AC的长。

例4:如图, △ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB.AC边翻折180°形成的, 若∠1: ∠2: ∠3=28: 5: 3, 则∠a的度数为例5: 如图: 在△ABC中, ∠ACB=90°, AC=BC, D是AB上一点, AE⊥CD于E, BF⊥CD交CD的延长线于F.求证: AE=EF+BF。

练习:1.已知: 如图5—129, △ABC 的∠B.∠C 的平分线相交于点D, 过D 作MN ∥BC 交AB.AC 分别于点M 、N, 求证:BM ＋CN ＝MN2.如图（13):已知AB ⊥BD, ED ⊥BD, AB=CD , BC=DE ,请你判断AC 垂直于CE 吗？并说明理由。

3.如图(14）,已知AB=DC , DE=BF, ∠B=∠D , 试说明（1)DE ∥BF (2)AE=CFFDCABE(14)4.如图: 在△ABC中, ∠BAC=90°,∠ABD= ∠ABC, DF⊥BC, 垂足为F, AF交BD于E。

全等三角形知识点归纳

全等三角形知识点归纳一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等也就是说，如果两个三角形全等，那么它们对应的边长度是相等的。

比如，三角形 ABC 全等于三角形 DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。

2、全等三角形的对应角相等同样，如果两个三角形全等，它们对应的角的度数也是相等的。

比如，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。

3、全等三角形的周长相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长也必然相等。

4、全等三角形的面积相等由于全等三角形完全重合，所以它们所覆盖的面积是一样的。

三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

例如：在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。

2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

比如：在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。

3、 ASA（角边角）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

举例：在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。

4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

例如：在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。

5、 HL（斜边、直角边）对于两个直角三角形，如果它们的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

比如：在直角三角形 ABC 和直角三角形 DEF 中，∠C ＝∠F ＝90°，AB ＝ DE，AC ＝ DF，那么三角形 ABC 全等于三角形 DEF。