(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试题(答案解析)(3)

一、选择题
1．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，2AB =，E 为
PB 的中点，若3
cos ,3
DP AE =
，则PD =（ ）
A ．1
B ．
32
C ．3
D ．2
2．在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平四边形，设OA a =，OB b =，OC c =，则
BD 可表示为（ ）
A ．a c b +-
B ．a +2b c -
C ．c b a +-
D ．a c +-2b
3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，
1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成
（锐）二面角为
6
π
，当1B M 最小时，AMB ∠=（ ）
A ．
512
π B ．
3
π
C ．
4
π D ．
6
π 4．已知在平行六面体1111ABCD A BC D -中，过顶点A 的三条棱所在直线两两夹角均为
60︒，且三条棱长均为1，则此平行六面体的对角线1AC 的长为（ ）
A 3
B ．2
C 5
D 65．如图，将边长为2的正方体ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，则下列命题中，错误的为( )
A ．直线BD ⊥平面1AOC
B ．1A B CD ⊥
C ．三棱锥1A BC
D -的外接球的半径为2 D ．若
E 为CD 的中点，则//BC 平面1
AOE 6．已知A,B,C 三点不共线,对于平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C 一定共面的是( ) A ．OM OA OB OC =++ B ．2OM OA OB OC =-- C ．11
23OM OA OB OC =+
+ D ．111
236
OM OA OB OC =
++ 7．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，点M 在1AC 且11
2
AM MC =
，N 为1B B 的中点，则MN 为( ) A ．
21
6
a B ．
66
a C ．
156
a D ．
153
a 8．下列命题中是真命题的是( )
A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B ．若a b =，则,a b 的长度相等而方向相同或相反
C ．若向量,AB C
D ，满足AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD > D ．若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则//AB CD
9．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面
1D EF 的距离为（ ）
A 3λ
B ．
2
2
C 2λ
D 5
10．三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是边长为2的菱形， 1160,CBB BC ︒
∠=交
1BC 于点,O AO ⊥侧面11BB C C ，且 1AB C 为等腰直角三角形．若建立如图所示的空间
直角坐标系Oxyz ，则点1A 的坐标为（ ）
A ．(1,3,2)-
B ．(3,1,1)-
C ．(1,2,3)-
D ．(2,1,3)-
11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，点E F 、分别是棱AB 、BC 的中点，则点1C 到平面1B EF 的距离等于（ ）
A ．
2
3
B ．
22
3
C ．
23
3
D ．
43
12．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑
P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1PA AB BC ===，则二面角
A PC
B --的大小是（ ）
A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
二、填空题
13．在长方体1111ABCD A BC D -中，若1AB BC ==，12AA =A 到平面11BD A 的距离为_______ .
14．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平
面ABB 1A 1＝n ，则m 、n 所成角的正弦值为________．
15．如图，在三棱锥P ABC -，ABC ∆为等边三角形，PAC ∆为等腰直角三角形，
4PA PC ==，平面PAC
⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角
的余弦值为__________．
16．在空间直角坐标系O xyz -中，点(1,2,3)A -到原点的距离为__________． 17．已知向量=211a -（，，），(,1,1)b λ=-，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是______.
18．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为 ．
19．在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________.
20．三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.
三、解答题
21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，
60BCD ∠=︒，,PD CD E =为CD 的中点．
（1）求证：平面PBE ⊥平面PCD . （2）求二面角B PC D --所成角的余弦值．
22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AC AA BC E F ⊥==,,,分别为侧棱
11,BB CC 中点．
（1）证明：//BF 平面11AC E ．
（2）求1BC 与平面11AC E 所成角的正弦值．
23．如图，在三棱锥P ABC -中，2PA PB ==，5AC BC PC ===，2AB =，点D ，E 分别为AB ，PC 的中点.
（1）证明：平面PAB ⊥平面ABC ；
（2）设点F 在线段BC 上，且BF FC λ=，若二面角C AE F --的大小为45°，求实数
λ的值.
24．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，,M N 分别为棱,PD BC 的中点，2PA AB ==.
(1)求证：//MN 平面PAB ；
(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.
25．如图，在四棱锥P ABCD -中，60APB BPD APD ∠=∠=∠=︒，
4PB PD BC CD ====，6AP =.
（Ⅰ）证明：AP BD ⊥；
（Ⅱ）求PC 与平面PAD 所成角的正弦值.
26．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，已知
2,6PB PD PA ===，E 为PA 的中点．
（1）求证PC BD ⊥；
（2）求直线PC 与平面 PBD 所成角的正弦值．
（3）求二面角B PC E --的余弦值．
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
由已知以D 为原点建立空间直角坐标系，设(0,0,)P a ，求得,DP AE 的坐标，由数量积公式可得答案. 【详解】
由已知DP DA DC 、、两两垂直，所以以D 为原点，建立如图所示的坐标系， 设(0)PD a a =>，则(0,0,)P a ，(2,0,0)A ，
连接BD 取中点F ，连接EF ，所以//EF PD ，EF ⊥平面ABCD ， 所以(1,1,)2a E ，所以(0,0,)DP a =，(1,1,)2
a AE =-，
由3cos ,3DP AE =，得2232
cos ,3114
a DP AE DP AE DP AE a a ⋅===⋅⋅++
， 解得2a =. 故选：D.
【点睛】
本题考查了空间向量的数量积公式的应用，关键点是建立空间直角坐标系，由数量积公式求得a ，考查了学生的空间想象力.
2．D
解析：D 【分析】
作出图形，根据条件得出BD BA BC =+，再得到BA a b =-，BC c b =-，即可求解， 得到答案. 【详解】
如图所示，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，则BD BA BC =+， 在OAB ∆中，BA OA OB a b =-=-， 在OBC ∆中，BC OC OB c b =-=-， 故选：D.
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的加法的几何意义，其中解答中熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
3．B
解析：B 【分析】
以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小． 【详解】
以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1=1AB AC AA ==，
设CN b =，BM a =，则(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)，
(0AM =，1，)a ，(1AN =，0，)b ， 设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，
·0
·
0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨
=+=⎩，取1z =，得(n b =-，a -，1)， 平面ABC 的法向量(0m =，0，1)，
平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为6
π， 2||cos
6
||||m n m n a π
∴=
=+
， 解得22331a b +=，
∴当|1|B
M 最小时，0b =，BM a ==
tan AB AMB BM ∴∠=
== 3
AMB π
∴∠=．
故选B ．
【点睛】
本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
4．D
解析：D 【分析】
由()2
2
11+BC CC ,AC AB =+根据已知条件能求出结果
【详解】
∵()2
2
11
+BC CC AC AB =+
=2
2
2
111222AB BC CC AB BC AB CC BC CC +++⋅+⋅+⋅=1+1+1+2×1×1×cos60°+2×1×1×co s60°+2×1×1×cos60°=6． ∴AC =6 故选D ． 【点睛】
这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.
5．B
解析：B 【分析】
通过线线垂直证得线面垂直，进而得到A 正确；对于B 选项先假设成立，再推出矛盾进而得到结果不正确；C 根据四棱锥的形状得到球心位置，进而得到半径；由线面平行的判定定理得到线面平行.
【详解】
因为ABCD 是正方形，故得到BD AC ⊥,折叠之后得到1BD OA ⊥，
BD OC ⊥,1
O A OC O ⋂= 故得到BD ⊥面1
AOC ,进而得到A 选项正确； 假设1A B CD ⊥，又因为11A B A ⊥D ，进而得到1A B ⊥面1ACE ,则11A B AC ⊥,三角形
1A BC ,BC=2=1 2,A B =不可能满足直角关系，故B 错误.
三棱锥1A BCD -，的外接球的球心在O 点处，因为OC=OD=OB=O 1A ，此时球的半径为
C 正确；
若E 为CD 的中点，则//BC OE ,OE 在平面1AOE 内，故得到//BC 平面1AOE ，D 正确； 故答案为B. 【点睛】
直线与平面垂直的概念是利用直线与直线垂直的概念定义的，要注意定义中的“任何一条直线”这个词，它与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同，2.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.符号语言如下：
a b b a αα⎫
⇒⊥⎬⊥⎭
. 6．D
解析：D 【分析】
根据点M 与点,,A B C 共面，可得1x y z ++=，验证选项，即可得到答案. 【详解】
设OM xOA yOB zOC =++，若点M 与点,,A B C 共面,,则1x y z ++=，只有选项D 满足，.故选D. 【点睛】
本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点M 与点,,A B C 共面时，且
OM xOA yOB zOC =++,则1x y z ++=是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问
题的能力.
7．A
解析：A 【分析】
建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用坐标关系求得线段的长度． 【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系
则N(a ，a ，
12a)，C 1（0，a ，a ），A （a ，0，0） 因为11AM MC 2=
所以11AM AC 3= 所以113DM DA AC =+ ()()1211,0,0,,,,3333a a a a a a a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭
所以1
21,,336MN DN DM a a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
所以222121213366MN a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以选A
【点睛】
本题考查了空间直角坐标系的简单应用，利用坐标求得线段长度，属于基础题． 8．D
解析：D
【分析】
由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.
【详解】
因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面，选项A 错误； 因为a b =仅表示a 与b 的模相等，与方向无关，选项B 错误；
因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB CD >这种写法，选项C 错误；
∵0AB CD +=，∴AB CD =-，∴AB 与CD 共线，故AB //CD ，选项D 正确. 本题选择D 选项.
【点睛】
本题主要考查向量平移的性质，向量模的定义的理解，向量共线的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．D
解析：D
【分析】
由几何体为正方体，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面D 1EF 的法向量n ，结合向量的点到平面距离公式求得点M 到平面D 1EF 的距离，结合N 为EM 中点即可求解
【详解】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，
则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1），
1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1），
设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则12020
n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），
∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d ＝||225||55
EM n n ⋅==，N 为EM 中点，所以N 到该面的距离为
55 故选：D ．
【点睛】
本题考查利用向量法求解点到平面距离，建系法与数形结合是解题关键，属于中档题 10．B
解析：B
【分析】
作1A D ⊥平面11BB C C 于点 D ，连接1B D ，1,C D OD ，则点1A 与点 D 的横纵坐标相同，点1A 竖坐标的值为1A D 的长度，由1//AA 平面 11BB
C C ，得到A 和1A 到平面
11BB C C 的距离相等．由 1//A D AO ，则1A 竖坐标的值为AO 的长度,由
111//,OC C D OC C D OB ==，得到 11DB OC 为平行四边形，然后由1AB C 为等腰直角三角形面11BB C C 是边长为2的菱形， 160CBB ︒
∠=求得坐标即可.
【详解】
如图所示，
作1A D ⊥平面11BB C C 于点 D ，连接1B D ，1,C D OD ，
则点1A 与点D 的横纵坐标相同，点1A 竖坐标的值为1A D 的长度，
因为111//,AA CC CC ⊂平面 111,BB C C AA ⊄平面11BB
C C ， 所以1//AA 平面11BB C C ，
所以A 和1A 到平面11BB
C C 的距离相等． 而1A
D ⊥平面11,BB C C AO ⊥平面 11BB C C ，
所以1A D AO =，1//A D AO ，
所以1AODA 为平行四边形，
所以11//,AA OD AA OD =，
所以11//,OD CC OD CC =，
所以1OCC D 为平行四边形．
所以111//,OC C D OC C D OB ==，
所以11DB OC 为平行四边形，
所以111,,B D OC C D OB ==．
而在边长为2的菱形11CC B B 中，160CBB ︒
∠=， 所以113,1OC BO OC OB ===．
所以点D 的坐标为(3,1,0)-，
而1AB C 为等腰直角三角形，
所以11OA OC OB ===，
故点1A 的坐标为(3,1,1)-．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查直线，平面间的平行关系以及平面几何图形的应用，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.
11．D
解析：D
【分析】
建立空间直角坐标系，找到平面1B EF 的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可.
【详解】
以1D 为坐标原点，分别以11D A ，11D C ，1D D 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则1(2,2,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,1,2)E ，(1,2,2)F .
设平面1B EF 的法向量为(,,)n x y z =，
1(0,1,2)B E =-1(1,0,2)B F =-
则1100
n B E n B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩ 令1z =，得(2,2,1)n =.
又11(2,0,0)
BC =-， ∴点1C 到平面1B EF 的距离1122|||243||221
n B C h n ⋅-=
==++， 故选：D .
【点睛】 本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.
12．C
解析：C
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值；
【详解】
解：如图建立空间直角坐标系，因为1PA AB BC ===，所以()0,0,0A ，
()0,2,0C ，22,,022B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，()
0,2,1CP =-，22,,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 显然面APC 的一个法向量可以为()1,0,0n =，
设面BPC 的法向量为(),,m x y z =
则·0·0m CP m BC ⎧=⎨=⎩，即2022022y z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1y =则2z =，1x =，所以()
1,1,2m = 设二面角A PC B --为θ，则
()22211cos 21112n m n m θ===⨯++
所以60θ=︒
故选：C 【点睛】
本题考查利用空间向量法求二面角，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系利用向量法即可求解到平面的距离【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系则所以设平面的法向量为则取得所以到平面的距离故答案为：【点睛】本题主要考查了 6【分析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量
法，即可求解A 到平面11BD A 的距离
【详解】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则11(1,0,0),(1,0,2),(1,1,0),(0,0,2)A A B D , 所以11(0,1
,2),(1,1,2),(0,1,0)BA BD BA =-=--=-， 设平面11BD A 的法向量为(,,)n x y z =，
则112020
n BA y z n BD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取1z =，得(0,2,1)n =， 所以A 到平面11BD A 的距离2633
n BA
d n ⋅===. 故答案为：63
．
【点睛】
本题主要考查了点到平面的距离的求法，其中解答中熟记空间向量在立体几何中的应用，合理利用空间向量运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 14．【分析】画出题目描述的图形判断直线mn 的所成的角通过解三角形即可
【详解】如图:α‖平面CB1D1α∩平面ABCD=mα∩平面ABA1B1=n 可
知:m//CD1m//B1D1因为△CB1D1是正三角形
解析：
32
【分析】 画出题目描述的图形，判断直线m 、n 的所成的角，通过解三角形即可.
【详解】
如图:
α‖平面CB 1D 1, α∩平面ABCD=m, α∩平面ABA 1B 1=n,
可知:m//CD 1,m//B 1D 1,
因为△CB 1D 1是正三角形.
所以m 、n 所成角就是∠CD 1B 1=60°
则m 、m 所成角的正弦值为:3
2
故选:A
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力，解决问题的关键是在空间图形中找到异面直线所成的平面角. 15．【分析】建立如图所示的空间直角坐标系结合为等腰直角三角形求得向量的坐标利用向量的夹角公式即可求解【详解】取得中点连接因为所以因为平面平面平面平面所以平面又因为所以于是以为坐标原点建立如图所示的空间直 解析：
24
【分析】 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，结合PAC ∆为等腰直角三角形，求得向量,AC PD 的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解．
【详解】
取AC 得中点O ，连接OP ，OB ，因为PA PC =，所以AC OP ⊥.
因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =.
所以OP ⊥平面ABC ，又因为AB BC =，所以AC OB ⊥，于是以O 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，结合PAC ∆为等腰直角三角形，
4PA PC ==,ABC ∆为等边三角形，则()22,0,0A ，()
22,0,0C -，(0,0,22P ，()
2,6,0D ， 所以()42,0,0AC =-，(2,6,22PD =-， 所以cos ,424AC PD
AC PD AC PD ⋅-〈〉==⨯ 24
=-
故异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为24
.
【点睛】
本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力．
16．【解析】距离
14
【解析】 距离222(1)2314d =-++=
17．【解析】即
解析：12λλ<≠-且
【解析】
0a b a b ⋅<且与不共线 ，即2
12110,1
λλ---<≠⇒ 12λλ<≠-且 18．【分析】如图过作交于连接求出后利用公式可求体积【详解】如图过作交于连接在等腰直角三角形和等腰直角三角形中由于故而所以故因为底面又故
【点睛】本题考查三棱锥体积的计算求出点到面的距离是关键本题属于基础题 32 【分析】
如图，过D 作DE AC ⊥交AC 于E ，连接BE ，求出DE 后利用公式可求体积.
【详解】
如图，过D 作DE AC ⊥交AC 于E ，连接BE ，
在等腰直角三角形DAC 和等腰直角三角形ABC 中，
由于2,AC a BE DE ==，故2DE BE ==. 而BD a =，所以222BD DE BE =+，故DE BE ⊥，
因为BE AC E ⊥=，DE ⊥底面ABC ，
又212ABC S a ∆=，故23112232212
V a =⨯⨯=.
【点睛】
本题考查三棱锥体积的计算，求出点到面的距离是关键，本题属于基础题.
19．【解析】【分析】设出点的坐标根据题意列出方程组从而求得该点到原点的距离【详解】设该点的坐标因为点到三个坐标轴的距离都是1所以所以故该点到原点的距离为故填【点睛】本题主要考查了空间中点的坐标与应用空间 解析：
62
【解析】
【分析】 设出点的坐标(,,)x y z ，根据题意列出方程组，从而求得该点到原点的距离.
【详解】
设该点的坐标(,,)x y z
因为点到三个坐标轴的距离都是1
所以221x y +=，221y z +=，221x z +=， 所以22232
x y z ++= 2226=x y z ++ 6 【点睛】 本题主要考查了空间中点的坐标与应用，空间两点间的距离公式，属于中档题. 20．【解析】分析：设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解：设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛：本题主要考查空间两点的距离余弦定 解析：3)a
【解析】
分析：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，由余弦定理可得
22233cos 22
VC a a VDC =-∠，利用三角函数的有界性可得结果. 详解：设AB 的中点为D ，
连接,,VD CD VC ，则VD VC == VDC ∠是二面角V AB C --的平面角，
可得0,1cos 1VDC VDC π<∠<-<∠<，
在三角形VDC 中由余弦定理可得，
22
22cos VC VDC ⎫⎫=+-∠⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2233cos 22
a a VDC =-∠
22030VC a VC <<⇒<<，
即VC 的取值范围是()，
为故答案为()
.
点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题. 三、解答题
21．（1）证明见详解；（2【分析】
（1）证出BE DC ⊥，PD BE ⊥，由线面垂直的判定定理证出BE
⊥平面PCD ，再由面面垂直的判定定理即可证明.
（2）以D 为原点，以,,DF DC DP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面PDC 一个法向量以及平面PBC 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.
【详解】
（1）连接BD ，
由四边形ABCD 为菱形，60BCD ∠=︒， 则BD AD BC ==， 又
E 为CD 的中点，BE DC ∴⊥,
PD ⊥平面ABCD ，且BE ⊂平面ABCD ，
PD BE ∴⊥，
PD DC D ⋂=，
所以BE
⊥平面PCD ，BE ⊂平面PBE ，
∴平面PBE ⊥平面PCD .
（2）取AB 的中点F ，连接DF ，则DF DC ⊥，
以D 为原点，以,,DF DC DP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图：
设1PD CD ==，则()0,0,1P ，()0,1,0C ，31,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，3F ⎫
⎪⎝⎭，
3,0,02DF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,1PC =-，31,122PB ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
由DF DC ⊥，DF DP ⊥，DC DP D ⋂=，
所以DF ⊥平面PDC ，即32DF ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
为平面PDC 一个法向量，
设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =，
则00n PC n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即0
1
02y z x y z -=⎧+-=， 令1y =，可得1z =
，x =3,1,13n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
设二面角B PC D --所成角为θ，且为锐角，
11
cos cos ,1n DF n DF n DF
θ
⋅==
=
==
所以二面角B PC D --. 【点睛】 思路点睛：
解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角. 22．（1）答案见解析；（2【分析】
（1）先证线线平行，即1//BF C E ，再得出线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，求出面11AC E 的法向量为n 和向量1CB ，求出这两个向量的夹角的余弦，从而得到1BC 与平面11AC E 所成角的正弦值. 【详解】
（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，1BB 与1CC 平行且相等. 因为E ，F 分别为侧棱1BB ，1CC 的中点，所以BE 与1FC 平行且相等， 所以四边形1BEC F 是平行四边形， 从而1//BF C E .
因为1C E ⊂平面11AC E ，BF ⊄平面11AC E ，所以//BF 平面11AC E .
（2）解：以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
C xyz -，
设1BC =，则()12,0,2A ，()10,0,2C ，()0,1,1E ，()10,1
,2B . ()112,0,0C A =，()10,1,1EC =-，()10,1,2CB =.
设平面11AC E 的法向量为(),,n x y z =， 则1110n C A n EC ⋅=⋅=，即20,
0,
x y z =⎧⎨-+=⎩
令1y =，得()0,1,1n =. 所以1310
cos
,1052
CB n =
=⨯， 故1BC 与平面11AC E 310
【点睛】
本题考查了立体几何中的线面平行的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 23．（1）证明见解析；（2）2λ=. 【分析】
（1）要证平面PAB ⊥平面ABC ，只需证明PD ⊥平面ABC ，通过勾股定理可知
PD CD ⊥，即可证明；（2）已知二面角的角度，求参数的值，建立出平面直角坐标系，
借助法向量即可. 【详解】
（1）证明：连接CD ，
∵2PA PB ==2AB =，D 为AB 的中点，∴PD AB ⊥，1PD =， 同理可得CD AB ⊥，2CD =，
∵2225PC PD CD =+=，∴PD CD ⊥， ∵AB
CD D =，∴PD ⊥平面ABC ；∴PD ⊂平面PAB ，
∴平面PAB ⊥平面ABC ；
（2）以D 为坐标原点，向量DB ，DC ，DP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，
由题意得(0,0,0)D ，(1,0,0)A -，(0,2,0)C ，(0,0,1)P ，(1,0,0)B ，10,1,2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭E ，
∵BF FC λ=，∴22,,011AF AB BF λλλλ+⎛⎫
=+=
⎪++⎝⎭
， 设()111,,m x y z =是平面ACE 的一个法向量，则0
0m AE m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴
11
11110220
x y z x y ⎧
++=⎪⎨
⎪+=⎩， 令11y =-，则11
2
2x z =⎧⎨=-⎩，∴(2,1,2)m =--，
设()222,,n x y z =是平面AEF 的一个法向量，则0
0n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，
∴2222210222011x y z x y λλλλ⎧
++=⎪⎪⎨+⎪+=⎪++⎩
，
令2(2)y λ=-+，则22
242x z λλ=⎧⎨=-⎩，∴(2,2,42)n λλλ=---，
∵二面角A DF P --的大小为45°， ∴22
cos 45cos ,||91220
m n m n m n λλ︒
⋅=<>===-+‖，
∴2λ=或2
3
λ=-（舍去）. 【点睛】
本题以三棱锥为载体，考查了平面与平面垂直的判定，以及根据已知的二面角值求参，关键点在于如何正确的建立坐标系. 24．(1)证明见解析；(2)
1010
.
【分析】
(1)证明线面平行，用线面平行的判定定理，在面PAB 内找一条直线与MN 平行； (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角． 【详解】
(1)在四棱锥P ABCD -中， 取PA 的中点E ，连接EB 、EM ， 因为M 是PD 的中点， 所以EM
AD ，且12
EM AD =．
又因为底面ABCD 是正方形，N 是BC 的中点， 所以BN AD ∥，且1
2
=
BN AD ， 所以EM BN ∥且=EM BN ， 所以四边形MNBE 是平行四边形． 所以MN BE ∥． 由于EB ⊂平面PAB ，
MN ⊄平面PAB ，
所以//MN 平面PAB .
(2)因为底面ABCD 是正方形，所以AB ⊥AD ． 又因为PA ⊥平面ABCD ，
所以可以以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴， 如图建立空间直角坐标系，
则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ,(0,0,2)P ，(0,1,1)M ,(2,1,0)N ． (2,2,2),(2,0,0)PC CD −−→
−−→
=-=-，
设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =，
有：0,0,m PC m CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,
x y z x +-=⎧⎨=⎩，令1y =，则=1z ， 所以(0,1,1)m =．
(2,0,1)MN =-，
设直线MN 与平面PCD 所成角为θ， 有：sin cos ,MN m θ==
MN m MN m
⋅⋅
()
02+10+111010
25
⨯⨯⨯-⋅． 所以直线MN 与平面PCD 10 【点睛】
立体几何解答题的基本结构：
(1)第一问一般是几何位置关系的证明，通常用判定定理；
(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算． 25．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）22
6
+ 【分析】
（Ⅰ）由线面垂直证得线线垂直；
（Ⅱ）根据条件证得ED ，EA ，EP 两两垂直，以此建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值. 【详解】
解：（Ⅰ）因为60APB APD ∠∠==︒，PD PB =， 所以APB APD △≌△，所以AD AB =. 取BD 的中点E ，连接AE ，PE ， 所以AE BD ⊥，PE BD ⊥， 又AE PE E ⋂=,所以BD ⊥平面PAE . 又AP ⊂平面PAE ，所以AP BD ⊥.
（Ⅱ）在APB △中，根据余弦定理得2222cos6028AB AP PB AP PB =+-⋅⋅⋅︒=， 所以27AB =，
又因为2BE =，所以26AE =，23PE =， 所以222AP AE PE =+，即AE PE ⊥.
又因为PE DB ⊥，AE DB E ⋂=，AE ，DB ⊂平面ABCD ， 所以PE ⊥平面ABCD .
如图，以E 为原点，分别以ED ，EA ，EP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，
则()
0,26,0A ，()2,0,0D ，(
0,0,23P ，()
0,23,0C -，
()2,26,0AD =-，(
2,0,2
3DP =-，(0,2
3,23PC =--.
设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，
则0,0,n AD n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2260,2230,
x y x z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则6x =2z =， 所以(
6,1,2n =
.
设PC 与平面PAD 所成角为θ，
232622
sin cos ,6326
PC n θ++==
=⨯， 所以PC 与平面PAD 所成角的正弦值为22
6
+. 【点睛】
利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：
（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).
（2）通过平面的法向量来求.若直线l 与平面α的夹角为θ，直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角为β，则2
π
θβ=
-或2
π
θβ=-
，故有sin cos l n l n
θβ⋅==
⋅.
26．（1）证明见解析（2）22（3）155
【分析】
(1)由PB PD =可得出PO BD ⊥，再由菱形性质可得AC BD ⊥，即可证明BD ⊥平面
POC ，可得PC BD ⊥；
（2）先证明OP ⊥平面ABCD ，可以O 为原点，以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角；
（3）由（2）利用向量法求二面角的余弦值. 【详解】
（1）设,AC BD 交点为O ,连接PO ，
ABCD 是边长为2的菱形，
,AC BD O ∴⊥是,AC BD 的中点， ,PD O B BD P P =∴⊥，
又PO ⊂平面POC ,AC ⊂平面 POC ，PO
AC O =，
BD ∴⊥平面POC ，
PC ⊂平面POC ，
.C BD P ∴⊥
（2）
60,2,A D B D A A B ︒===∠
ABD ∴是等边三角形，
又AB PB PD ==
PBD ∴是等边三角形，
3P OA O ∴==
222OP PA OA +∴=， OA OP ∴⊥
又,OP OB OA OB O ⊥⋂=
OP ∴⊥平面ABCD ，
以O 为原点，以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图:
则(1,0,0),3,0),3)B C P ，
(0,3,3PC ∴=-，
而3,0)OC →
=是平面 PBD 的一个法向量， 设直线PC 与平面PBD 所成角为θ， 则||2
sin 63
|||||
PC OC PC OC θ→→
→
→
⋅=
=
=⋅ 所以直线PC 与平面PBD 2
(3)由（2）知(3,0)BC →
=-,(0,3,3PC =- 设平面BPC 的法向量n (x,y,z)→
=，
则.0
.0
n PC n BC ⎧=⎨
=⎩, 33030
y z x ⎧=⎪∴⎨-+=⎪⎩, 令1y =，得3,1x z ==， 所以(3,1,1)n →
=，
又BD ⊥平面EPC ,
(1,0,0)m ∴=是平面 EPC 的一个法向量，
3cos ,||||15m n m n m n ⋅∴〈〉=
==
⋅⋅
∴二面角B PC E --
【点睛】
关键点点睛：根据题目所给条件，利用平面几何知识证明OA OP ⊥，再根据OP OB ⊥，证明OP ⊥平面ABCD ，得以O 为原点，以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系是解题的关键所在.。