(江苏专用)2019高考数学二轮复习专题六数列第19讲数列中的推理与证明课件

4.已知函数f(x)=x3+x,等差数列{an}满足f(a2-1)=2, f(a2 016-3)=-2,Sn是其前n项和,
则S2 = 017
.
答案 4 034
解析 因为函数f(x)=x3+x是奇函数,且f(a2-1)=2,f(a2 016-3)=-2,所以a2-1=-(a2 - 016
3),即a2+a2 016=4,又{an}是等差数列,所以S2 = 017 2
3.如图,在平面直角坐标系中,分别在x轴与直线y= 3 (x+1)上从左向右依次取 3
点Ak、Bk,k=1,2,…,其中A1是坐标原点,使△AkBkAk+1都是等边三角形,则△A10B10
A11的边长是
.
答案 512 解析 设△AnBnAn+1(n∈N*)的边长为an,则a1=1,an+1=2an,即数列{an}是首项为 1、公比为2的等比数列,则△A10B10A11的边长a10=29=512.
2.数列{an}为等比数列,且a1+1,a3+4,a5+7成等差数列,则公差d=
.
答案 3
解析 设等比数列{an}的公比为q(q≠0),因为a1+1,a3+4,a5+7成等差数列,则a1 +1+a5+7=2(a3+4),即a1+a1q4=2a1q2,解得q2=1,则公差d=(a3+4)-(a1+1)=a1q2+3-a1= 3.
因此,当2≤n≤m+1时,数列
q
n1 2 n 1

单调递增,
故数列

q
n1 2 n 1
的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ大值为 qmm
2
.
②设f(x)=2x(1-x),当x>0时,
f '(x)=(ln 2-1-xln 2)2x<0, 所以f(x)单调递减,从而f(x)<f(0)=1.
解析 (1)证明:由Tn=n2,得bn=Tn-Tn-1=2n-1(n≥2),
由于b1=1符合上式,所以bn=2n-1(n∈N*).
假设存在{bn}的连续三项bk-1,bk,bk+1(k∈N*,k≥2)成等比数列,
则 bk2 =bk-1bk+1,即(2k-1)2=(2k-3)(2k+1).
可得4k2-4k+1=4k2-4k-3,与1≠-3矛盾,所以假设不成立,
第19讲 数列中的推理与证明
第19讲 数列中的推理与证明
1.已知数列{an}满足an+2=an+1-an,且a1=2,a2=3,Sn为数列{an}的前n项和,则S2 = 017 .
答案 2 解析 由题意可得a1=2,a2=3,a3=1,a4=-2,a5=-3,a6=-1,a7=2,a8=3,a9=1,…,则数列 {an}是以6为周期的周期数列,且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,所以S2 017=336(a1+a2+…+ a6)+a1=2.
qn
当2≤n≤m+1时,
n q n 1
= q(n
n
1)
1
≤ 2 n
1
1 n

=f 1n
<1,
n 1
因此,当2≤n≤m+1时,数列
q n
n1 1
单调递减,
故数列

q n
n1 1
的最小值为 qm .
m
因此,d的取值范围为
1
b1.
因为q∈(1, m 2 ],则1<qn-1≤qm≤2,
从而 qn1 2
n 1
b1≤0,
q n
n1
1
b1>0,对n=2,3,…,m+1均成立.
因此,取d=0时,|an-bn|≤b1对n=2,3,…,m+1均成立.
下面讨论数列

q
n1 2 n 1
的最大值和数列
.
(2)由条件知:an=b1+(n-1)d,bn=b1qn-1.
若存在d∈R,使得|an-bn|≤b1(n=2,3,…,m+1)均成立, 即|b1+(n-1)d-b1qn-1|≤b1(n=2,3,…,m+1),
即当n=2,3,…,m+1时,d满足 qn1 2
n 1
b1≤d≤
q n
n1

b1
(qm m
2)
,
b1qm m

.
【方法归纳】 数列中的不等关系大致有不等式的证明、不等式恒成立与 有解问题、参数的取值范围问题.数列中的不等式证明可利用比较法、构造 函数等方法.数列中的否定性命题的证明一般利用反证法,即反设、归谬、存 真.
1-1 (2018徐州铜山第三次模拟)已知数列{an}的首项a1=a(a>0),其前n项和为 Sn,设bn=an+an+1(n∈N*).数列{bn}的前n项和为Tn,满足Tn=n2. (1)求证:数列{bn}的任意连续三项不成等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)若∀n∈N*,且n≥2,不等式(an-1)(an+1-1)≥2(1-n)恒成立,求a的取值范围.


q n
n1 1
的最小值(n=2,3,…,m+1).
①当2≤n≤m时,qn 2 - qn1 2 = nqn qn nqn1 2 =n(qn qn1) qn 2 ,
n n 1
n(n 1)
n(n 1)
1
当1<q≤ 2m 时,有qn≤qm≤2,从而n(qn-qn-1)-qn+2>0.
从而数列{bn}的任意连续三项不成等比数列.
解析 (1)由条件知:an=(n-1)d,bn=2n-1. 因为|an-bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立, 即|(n-1)d-2n-1|≤1对n=1,2,3,4均成立,
即1≤1,1≤d≤3,3≤2d≤5,7≤3d≤9,得 7 ≤d≤ 5 .
3
2
因此,d的取值范围为 73 ,
5 2

017(a1 2
a2
017 )
=2
017(a2 2
a2
016 )
=
4 034.
题型一 数列中的不等关系
例1 (2018江苏,20,16分)设{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,{bn}是首项 为b1,公比为q的等比数列. (1)设a1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|≤b1对n=1,2,3,4均成立,求d的取值范围; (2)若a1=b1>0,m∈N*,q∈(1, m 2 ],证明:存在d∈R,使得|an-bn|≤b1对n=2,3,…,m+1 均成立,并求d的取值范围(用b1,m,q表示).