方差分析—田间试验统计

因此误差平方和可以采用简单的办法计算
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SSe=SST-SSt=602-504=98。
进而可得均方：
SS t 504 MS t s 168.00 df t 3
2 t
SS e 98 MS e s 8.17 df e 12
2 e
将上述例子推广到一般，设有k组数据，每组皆 具n个观察值，则资料共有nk个观察值，其数据 分组如表6.1(P99)。
2 2 1
k
2
(14 21) (29 21) ] 504
2 2
SSt
Ti
n
2
72 92 56 116 C 7056 504 4
2 2 2 2
SST SS t SS e ,
DFT DFt DFe

本例中 自由度：
平方和:602=504+98 15=3+12
2
2
2 T22 92 202 24 2 262 22 2 20 n 4
2 药剂C内：SSe ( y3 j y3 ) y3 j
3
2
2 T32 56 102 152 17 2 14 2 26 n 4
药剂D内： SS e ( y 4 j y 4 ) y 4 j
SS t 需要注意的是， df 系样本平均数的方差，
t
是
2
n 的估值，而
SS e
df e
2 则是 的估值
为了进行正确的F 测验，必须使它们都是估
计同一参数
应为：

2 。因而，处理 (组间)平方和
SSt nSSt n ( yi y )
2 1
k
2 T i
n
C
SSt n ( yi y ) 4 [(18 21) (23 21)
5.1
方差分析的基本原理
5.1.1
5.1.2
自由度和平方和的分解
F分布与F测验

上章介绍了一个或两个样本平均数的假设测验方
法。本章将介绍k(k≥3)个样本平均数的假设测验方 法，即方差分析(analysis of variance)。这种方 法的基本特点是：将所有k个样本的观察值和平均数
作为一个整体加以考虑，把观察值总变异的自由度
学的实验设计和分析中的一个十分重要工具。
5.1.1

自由度和平方和的分解
方差是平方和除以自由度的商。要将一个试验资
料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先必
须将总自由度和总平方和分解为各个变异来源的相应 部分。因此，自由度和平方和的分解是方差分析的第 一步。
下面我们首先用一个例子来说明这一问题。
y
29 =21
1、总变异
把表中的全部观察值作为一个组看待
[即把4个处理(4组、每组有4个观察值)合并
成一组，共有16个观察值]，根据前面讲过的
计算平方和的公式 ，可以计算出总变异的平
方和和自由度
SST ( y i y ) 2 y 2 ( y ) 2 nk
2 336 182 212 322 602 4 4
[例5.1]以A、B、C、D4种药剂处理水稻种 子，其中A为对照，每处理各得4个苗高观 察值(cm)，试分解其自由度和平方和。
药剂 A B 18 20 苗高观察值 yi 21 24 20 26 13 22 总和Ti 72 92 平均数 18 23
C
D
10
28
15
27
17
29
14
32
56
116
14
T=336
其中：
( y ) 2 nk
T2 nk
称为矫正数，用C表示。
自由度
DFT=nk-1=4×4-1=15。
表中的每一个观察值，即包括有处理的
效应(不同药剂对苗高的影响)又受到误
差的影响。

2、误差效应

表中处理内(组内)各观察值之间，若不存在误
差，则各观察值应该相等，由于误差是客观存
在的，因而处理内(组内)各观察值之间必然是
和平方和分解为不同变异来源的自由度和平方和， 进而获得不同变异来源的总体方差估计值。

其中，扣除了各种试验原因所引起的变异后的
剩余变异提供了试验误差的无偏估计，作为假 设测验的依据。
上一章学习一个或两个样本平均数的假设测验方法本章将学习k≥3个样 本平均数的假设测验方法。在k≥3个样本能否用统计推断的方法进行两 两测验呢？回答是不可取的。主要原因是会提高犯第一类错误的概率。 例如，用一对一比较的方法检验5个平均数之间的相等性，共检验10对。 假设每一对检验接受无效假设的概率都是 1-α=0.95，而且这些检验都是 独立的，那末，10对都接受的概率是0.9510=0.60, α′=1-0.6=0.40,犯 第一类错误的概率明显增加。解决这一问题的一种统计方法，叫做方差 分析法。此法将所有k个样本的观察值和平均数作为一个整体加以考虑， 把观察值总变异的自由度和平方和分解为不同变异来源的自由度和平方 和，进而获得不同变异来源的总体方差估值。计算这些估值的适当的 F值， 就测验假设H0: µ1=µ2=µ3=……µk(各总体平均数相等），方差分析是科
2
4
2
T42 1162 2 2 2 2 28 27 29 32 14 n 4
从理论上讲，这4个误差平方和除以相应的 自由度得的误差均方都可以作为总体误差 方差的无偏估计值。但是，用它们的加权 平均值来估计总体误差方差，则效果更佳。 所以：
SS e ( yij yi ) 38 20 26 14 98
有差异的，因此，可以用组内(处理内)的差异
度量误差效应：
2 药剂A内： SSe ( y1 j y1 ) y1 j
1
2
2 T12 72 182 212 202 132 38 n 4
SS e ( y 2 j y 2 ) 2 y 2 j 药剂B内：
2 1 1
k
n
每个组内(处理内)的自由度为：n -1=4-1=3,
所以误差的自由度为：DFe=k(n-1)=4(4-1)=12
3、处理效应 如果没有处理效应，表中各个处理(组)平均数
yi
从理论上讲均应该相等， 因此可以用 y i
来度量处理效应。
SS t ( yi y ) ,
2 1
k
DFt (k 1)