2020版高中数学第一章三角函数1.1.1任意角导学案新人教A版必修4_152.doc

1.1.1 任意角
学习目标 1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.
知识点一角的相关概念
思考1 用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？
答案角的构成要素有始边、顶点、终边.
思考2 将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？
答案有顺时针和逆时针两种旋转方向.
思考3 如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？
答案不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角.
梳理
(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所成的图形.点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边.
(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：
类型定义
正角按逆时针方向旋转形成的角
负角按顺时针方向旋转形成的角
零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
知识点二象限角
思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？
答案终边可能落在坐标轴上或四个象限内.
梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.
象限角：终边在第几象限就是第几象限角；
轴线角：终边落在坐标轴上的角.
知识点三终边相同的角
思考1 假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们
与60°分别相差多少？
答案它们的终边相同.－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相差了－2个周角及1个周角.
思考2 如何表示与60°终边相同的角？
答案60°＋k·360°(k∈Z).
梳理终边相同角的表示：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
类型一任意角概念的理解
例1 (1)给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中正确说法的序号为 .(把正确说法的序号都写上)
(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是 .
答案(1)①(2)－120°
解析(1)锐角指大于0°小于90°的角，都是第一象限的角，所以①对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180°的角还有负角、零角，所以
②③④错误.
(2)分针每分钟转6°，由于顺时针旋转，所以20分钟转了－120°.
反思与感悟解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.
跟踪训练1 写出下列说法所表示的角.
(1)顺时针拧螺丝2圈；
(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角.
解(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°.
(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°.
类型二象限角的判定
例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角. 引申探究
确定α
n
(n ∈N *
)的终边所在的象限.
解 一般地，要确定αn
所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域，从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次标上1，2，3，4，…，4n ，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，αn
的终边所落在的区域，如此，αn
所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出. 反思与感悟 判断象限角的步骤： (1)当0°≤α<360°时，直接写出结果；
(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限.
跟踪训练2 下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来. (1)60°；(2)－21°.
解 (1)60°角是第一象限角，所有与60°角终边相同的角的集合S ＝{β|β＝60°＋
k ·360°，k ∈Z }，S 中适合－360°≤β<720°的元素是60°＋(－1)×360°＝－300°，
60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.
(2)－21°角是第四象限角，所有与－21°角终边相同的角的集合S ＝{β|β＝－21°＋
k ·360°，k ∈Z }，S 中适合－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°
＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°. 类型三 终边相同的角
命题角度1 求与已知角终边相同的角
例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角. (1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角.
解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z )，
(1)由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°，解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°≤k ·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k ·360°＜－9 310°，解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°.
反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值.
跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.
解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }. ∵－720°≤β＜360°，
即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )， ∴31136≤k ＜611
36(k ∈Z )，故取k ＝4，5，6. 当k ＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°； 当k ＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°； 当k ＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°. 命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合 例4 写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合.
解 终边在y ＝－3x (x <0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z }； 终边在y ＝－3x (x ≥0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝300°＋k ·360°，k ∈Z }.
因此，终边在直线y ＝－3x 上的角的集合是S ＝S 1∪S 2＝{α|α＝120°＋k ·360°，
k ∈Z }∪{α|α＝300°＋k ·360°，k ∈Z }，
即S ＝{α|α＝120°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝120°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝120°＋n ·180°，n ∈Z }.
故终边在直线y ＝－3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝120°＋n ·180°，n ∈Z }.
反思与感悟 求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x ≥0和x <0两种情况讨论，最后再进行合并. 跟踪训练4 写出终边在直线y ＝3
3
x 上的角的集合. 解 终边在y ＝
3
3
x (x ≥0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝30°＋k ·360°，k ∈Z }；
终边在y＝
3
3
x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}.
因此，终边在直线y＝
3
3
x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，
k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.
故终边在直线y＝
3
3
x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.
类型四区域角的表示
例5 如图所示.
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.
反思与感悟解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.
跟踪训练5 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.
解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成.
①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}.
②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}.
∴角α的集合应当是集合①与②的并集，即
S＝{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}
∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}
∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}.
1.下列说法正确的是( )
A.终边相同的角一定相等
B.钝角一定是第二象限角
C.第一象限角一定不是负角
D.小于90°的角都是锐角
答案 B
2.与－457°角终边相同的角的集合是( )
A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
答案 C
解析－457°＝－2×360°＋263°，故选C.
3.2 017°是第象限角.
答案三
解析因为2 017°＝5×360°＋217°，故2 017°是第三象限角.
4.与－1 692°终边相同的最大负角是 .
答案－252°
解析∵－1 692°＝－4×360°－252°，
∴与－1 692°终边相同的最大负角为－252°.
5.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.
解终边落在x轴上的角的集合：
S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；
终边落在y轴上的角的集合：
S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}.
∴终边落在坐标轴上的角的集合：
S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}
＝{β|β＝2k·90°或β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.
1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.
2.关于终边相同的角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 注意：(1)α为任意角；
(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；
(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；
(4)k∈Z这一条件不能少.
课时作业
一、选择题
1.把－1 485°化成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )
A.315°－5×360°
B.45°－4×360°
C.－315°－4×360°
D.－45°－10×180°
答案 A
解析可以估算－1 485°介于－5×360°与－4×360°之间.
∵0°≤α＜360°，∴k＝－5，则α＝315°.
2.若α是第四象限角，则180°－α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
答案 C
解析可以给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.
3.设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )
A.A＝B
B.B＝C
C.A＝C
D.A＝D
答案 D
解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案.
4.时针走过了2小时40分，则分针转过的角度是( )
A.80°
B.－80°
C.960°
D.－960°
答案 D
解析分针转过的角是负角，且分针每转一周是－360°，故共转了－360°×(2＋40
60
)＝－960°.
5.若α与β的终边关于x轴对称，则α可以用β表示为( )
A.2kπ＋β(k∈Z)
B.2kπ－β(k∈Z)
C.kπ＋β(k∈Z)
D.kπ－β(k∈Z)
答案 B
解析∵α与β的终边关于x轴对称，
∴α＋β＝2kπ(k∈Z)，
∴α＝2kπ－β(k∈Z).故选B.
6.设集合A＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}，集合B ＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，则( )
A.A∩B＝∅
B.A B
C.B A
D.A＝B
答案 D
解析对于集合A，
α＝45°＋k·180°＝45°＋2k·90°
或α＝135°＋k·180°＝45°＋90°＋2k·90°
＝45°＋(2k＋1)·90°.
∵k∈Z，
∴2k表示所有的偶数，2k＋1表示所有的奇数，
∴集合A＝{α|α＝45°＋n·90°，n∈Z}，
又集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，
∴A＝B.故选D.
二、填空题
7.已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是 .
答案240°
解析与α＝－3 000°终边相同的角的集合为
{θ|θ＝－3 000°＋k·360°，k∈Z}，
令－3 000°＋k ·360°>0°，解得k >25
3，
故当k ＝9时，θ＝240°满足条件.
8.如图，终边落在OA 的位置上的角的集合是 ；终边落在OB 的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是 ；终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 .
答案 {α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z } {315°，－45°} {α|－45°＋k ·360°≤α≤120°＋k ·360°，k ∈Z } 解析 终边落在OA 的位置上的角的集合是 {α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z }. 终边落在OB 的位置上的角的集合是 {α|α＝315°＋k ·360°，k ∈Z }， 取k ＝0，－1得α＝315°，－45°. 故终边落在OB 的位置上，
且在－360°～360°内的角的集合是{315°，－45°}. 终边落在阴影部分的角的集合是
{α|－45°＋k ·360°≤α≤120°＋k ·360°，k ∈Z }. 9.若α＝k ·360°＋45°，k ∈Z ，则α
2是第 象限角.
答案 一或三
解析 ∵α＝k ·360°＋45°，k ∈Z ， ∴α
2＝k ·180°＋22.5°，k ∈Z . 当k 为偶数，即k ＝2n ，n ∈Z 时，
α
2＝n ·360°＋22.5°，n ∈Z ，∴α
2
为第一象限角； 当k 为奇数，即k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，
α
2＝n ·360°＋202.5°，n ∈Z ，∴α
2
为第三象限角. 综上，α
2
是第一或第三象限角.
10.集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°<β<180°}，则A ∩B
＝ .
答案 {－126°，－36°，54°，144°} 解析 当k ＝－1时，α＝－126°； 当k ＝0时，α＝－36°； 当k ＝1时，α＝54°； 当k ＝2时，α＝144°.
∴A ∩B ＝{－126°，－36°，54°，144°}. 三、解答题
11.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s 到达第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处，求θ.
解 ∵0°<θ<180°，且k ·360°＋180°<2θ<k ·360°＋270°，k ∈Z ， 则一定有k ＝0，于是90°<θ<135°. 又∵14θ＝n ·360°(n ∈Z )， ∴θ＝
n ·180°
7
，从而90°<
n ·180°
7
<135°，
∴72<n <21
4，∴n ＝4或5. 当n ＝4时，θ＝720°7；
当n ＝5时，θ＝900°
7
.
12.已知角β的终边在直线3x －y ＝0上. (1)写出角β的集合S ；
(2)写出集合S 中适合不等式－360°<β<720°的元素.
解 (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合分别为
S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，
S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，
所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }
＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }.
(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ·180°<720°，n ∈Z .解得－73<n <113
，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1，0，1，2，3.
所以集合S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为
60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；
60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.
13.已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小.
解 由题意可知，
α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z .
∵α，β为锐角，∴0°＜α＋β＜180°.
取k ＝1，得α＋β＝80°. ①
α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z .
∵α，β为锐角，∴－90°＜α－β＜90°.
取k ＝－2，得α－β＝－50°，
② 由①②得α＝15°，β＝65°.。