图的k-全染色问题与Grbner基求解

第３９卷　第２期２０１９年６月
数学理论与应用
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡＬ　ＴＨＥＯＲＹ　ＡＮＤ　ＡＰＰＬＩＣＡＴＩＯＮＳ
Ｖｏｌ．３９Ｎｏ．２
Ｊｕｎ．２０１９图的ｋ－全染色问题与Ｇｒ ｂｎｅｒ基求解
熊雪玮１，３　刘培江２　王浩华１＊
（１．海南大学理学院数学系，海口，５７０２２８；２．广东财经大学统计与数学学院，广州，５１０３２０；
３．海南熊大教育咨询有限公司，海口，５７０２２０）
摘　要　对于任意给定的有限图和任一正整数ｋ，本文证明图的ｋ－全染色存在性问题等价于一个多元多项式方程组在１，２，…，ｋ
｛｝范围的求解问题，并通过使用Ｇｒ ｂｎｅｒ基给出一个图ｋ－全可染色的有效判别与求解方法，进而求得图的全可染色数与极小全染色方案．
关键词　图　ｋ－全染色　极小全染色　全染色数　Ｇｒ ｂｎｅｒ基
Ｔｈｅ　ｋ－ｔｏｔａｌ　Ｃｏｌｏｒｉｎｇ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ａｎｄ　Ｇｒ ｏｂｎｅｒ
Ｂａｓｉｓ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｇｒａｐｈｓ
Ｘｉｏｎｇ　Ｘｕｅｗｅｉ　１，３，Ｌｉｕ　Ｐｅｉｊｉｎｇ２，Ｗａｎｇ　Ｈａｏｈｕａ１＊
（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｈａｉｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｉｋｏｕ　５７０２２８，Ｃｈｉｎａ；
２．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｆｉｎａｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　５１０３２０，Ｃｈｉｎａ；
３．Ｈａｉｎａｎ　Ｘｉｏｎｇｄａ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｃｏｎｓｕｌｔｉｎｇ　Ｌｉｍｉｔｅｄ，Ｈａｉｋｏｕ　５７０２２８，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｆｏｒ　ａｎ　ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ　ｇｉｖｅｎ　ｆｉｎｉｔｅ　ｇｒａｐｈ　Ｇａｎｄ　ａｎ　ａｒｂｉｔｒａｒｙ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｉｎｔｅｇｅｒ　ｋ，ｉｔ　ｉｓ　ｓｈｏｗｎ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔ－ｅｎｃｅ　ｏｆ　ｋ－ｔｏｔａｌ　ｃｏｌｏｒｉｎｇ　ｏｆ　Ｇｉｓ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ａ　ｃｅｒｔａｉｎ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ　ｅｑｕａ－ｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈｉｎ　１，２，…，ｋ
｛｝．Ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｆ　ｃｈｅｃｋｉｎｇ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｋ－ｔｏｔａｌ　ｃｏｌｏｒｉｎｇ　ａｎｄ　ｆｉｎｄｉｎｇ　ｋ－ｔｏｔａｌｃｏｌｏｒｉｎｇｓ，ａｎｄ　ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌｙ　ｏｂｔａｉｎｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍｉｎｉｍａｌ　ｔｏｔａｌ　ｃｏｌｏｒｉｎｇ　ａｓ　ｗｅｌｌ　ａｓ　ｔｈｅ　ｔｏｔａｌ　ｃｈｒｏｍａｔｉｃ　ｎｕｍｂｅｒχ″（Ｇ），ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ｉｎ　ｔｅｒｍｓ　ｏｆ　Ｇｒ ｂｎｅｒ　ｂａｓｉｓ．
Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ　Ｇｒａｐｈ　ｋ－ｔｏｔａｌ　ｃｏｌｏｒｉｎｇ　Ｍｉｎｉｍａｌ　ｔｏｔａｌ　ｃｏｌｏｒｉｎｇ　Ｔｏｔａｌ　ｃｈｒｏｍａｔｉｃ　ｎｕｍｂｅｒ　Ｇｒ ｂｎｅｒ　ｂａｓｉｓ
１　引言
在图的全染色（Ｔｏｔａｌ　ｃｏｌｏｒｉｎｇ）问题研究中，熟知的ＴＣＣ猜想是，最大度为Δ的每个有限图都是（Δ＋２）－全可染的（［１］，［２］，［３］）．目前该猜想的研究已经取得了一系列成果（参见
国家自然科学基金（１１７６１０２５，１１９０１１１４），广东省教育厅青年创新人才类（２０１７ＫＱＮＣＸ０８１），广州市科技创新一般项目（２０１９０４０１００１０），中山大学广东省计算科学重点实验室开放课题基金资助（２０１８００１），海南省研究生创新科研课题项目（Ｈｙｓ２０１９－５９）．
通讯作者：王浩华（１９８１），男，教授，ｈｕａｚｉ８１１２＠ｈａｉｎａｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ．
收稿日期：２０１９年０３月２４日
图的ｋ－全染色问题与Ｇｒ ｂｎｅｒ基求解
［４］－［１１］）．对于任意给定的有限图Ｇ和任一正整数ｋ，本文证明Ｇ的ｋ－全可染问题等价于一个多元多项式方程组在｛１，２，…，ｋ｝范围的求解问题．注意到一个多元多项式方程组在｛１，２，…，ｋ｝范围的解（如果存在的话）只有有限多个，根据熟知的Ｇｒ ｂｎｅｒ基算法理论，我们就可通过计算出一个特殊的Ｇｒ ｂｎｅｒ基给出一个图ｋ－全可染的有效判别与求解途径，进而求得图的全染色数χ″（Ｇ）．由于多项式的Ｇｒ ｂｎｅｒ基的计算技术如今已经非常成熟，使用诸如Ｍａｐｌｅ，Ｍａｃａｕｌａｙ，ＣｏＣｏＡ等其中任何一个计算代数程序都可计算出由给定多项式组确定的理想的Ｇｒ ｂｎｅｒ基，况且目前更有像Ｆ４，Ｆ５这些最新发展的快速计算Ｇｒ ｂｎｅｒ基的算法面世．因此，本文得到的方法可直接有效地应用于任何一个有限图，从而为ＴＣＣ猜想的研究提供有效的帮助．
本文中考虑的图为任意有限图．
２　图的ｋ－全染色与多元多项式方程组的解
本节中图的全染色的基本概念参见［４］．有关一般图论的基本理论见［１］，［２］．
给定图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），其中Ｖ＝ｖ１，…，ｖｎ
｛｝是Ｇ的顶点集，Ｅ＝ｅ１，…，ｅｍ
｛｝是Ｇ的边集．定义１　若能用ｋ种颜色给集合Ｖ∪Ｅ中的元素进行染色，使得其中任意一对相邻或相关联的元素接受不同的颜色，则称这个图是ｋ－全可染的．
定义２　若图Ｇ是ｋ－全可染的，且不存在ｋ′（ｋ′＜ｋ），使得图Ｇ是ｋ′－全可染的，则称ｋ为图Ｇ的全可染数χ″（Ｇ）．
对于图Ｇ，我们对其顶点和边ｋ－染色的不同方案引入向量（Ｘ，Ｙ）ｋ＝（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｍ）Ｔ，其中
ｘｉ＝１，若顶点ｖｉ染颜色１，２，若顶点ｖｉ染颜色２，
ｋ，若顶点ｖｉ染颜色ｋ．
烅烄烆
ｙｊ＝１，若边ｅｊ染颜色１，２，若边ｅｊ染颜色２，
ｋ，若边ｅｊ染颜色ｋ．
烅烄烆
１２
数学理论与应用
按照ｋ－全染色的定义我们知道每个顶点、每条边的染色方案有ｋ种，也即对于图Ｇ中的任何一个顶点、任一条边，按照向量分量的定义，ｘｉ，ｙｊ的取值为｛
１，２，…，ｋ｝中的一个，也即ｘｉ，ｙｊ的取值是分别是方程
（ｘｉ－１）（ｘｉ－２）…（ｘｉ－ｋ）＝０，ｉ＝１，２，…，ｎ，（２．１）（ｙｊ－１）（ｙｊ－２）…（ｙｊ－ｋ）
＝０，ｊ＝１，２，…，ｍ（２．２
）的根．因为相邻的顶点不能染相同的颜色，故对任意一对相邻顶点ｖｉ与ｖｓ，它们的染色分别为ｘｉ和ｘｓ，满足｜ｘｉ－ｘｓ｜≥１．这就表明｜ｘｉ－ｘｓ｜的取值为｛１，２，…，ｋ－１｝中的一个，也即ｘｉ，ｘｓ的取值是方程
（｜ｘｉ－ｘｓ｜－１）（｜ｘｉ－ｘｓ｜－２）…（｜ｘｉ－ｘｓ｜
－（ｋ－１））＝０的根．直接验证可知上面的方程等价于多项式方程
（（ｘｉ－ｘｓ）２－１２）（（ｘｉ－ｘｓ）２－２２）…（（ｘｉ－ｘｓ）２－（
ｋ－１）２
）＝０．（２．３
）又因为相邻的边也不能染相同的颜色，故对任意一对相邻边ｅｊ与ｅｔ，它们的染色分别为ｙｊ和ｙｔ，满足｜ｙｊ－ｙｔ｜≥１．这就表明｜ｙｊ－
ｙｔ｜的取值为｛１，２，…，ｋ－１｝中的一个，也即ｙｊ，
ｙｔ的取值是方程（｜ｙｊ－ｙｔ｜－１）（｜ｙｊ－ｙｔ｜－２）…（｜ｙｊ－ｙ
ｔ｜－（ｋ－１））＝０的根．直接验证可知上面的方程等价于多项式方程
（（ｙｊ－ｙｔ）２－１２）（（ｙｊ－ｙｔ）２－２２）…（（ｙｊ－ｙ
ｔ）２－（ｋ－１）２）＝０．（２．４
）对相关联的元素不能染相同的颜色，故对任意一对相关联的顶点ｖｉ与边ｅｊ，对应的染色为ｘｉ和ｙｊ，满足｜ｘｉ－ｙｊ｜≥１．这就表明｜ｘｉ－ｙｊ｜的取值为｛１，２，…，ｋ－１｝中的一个，也即ｘｉ，ｙｊ的取值是方程
（｜ｘｉ－ｙｊ｜－１）（｜ｘｉ－ｙｊ｜－２）…（｜ｘｉ－ｙｊ｜
－（ｋ－１））＝０的根．直接验证可知上面的方程等价于多项式方程
（（ｘｉ－ｙｊ）２－１２）（（ｘｉ－ｙｊ）２－２２）…（（ｘｉ－ｙｊ）２－（
ｋ－１）２）＝０．（２．５
）综合式（２．１）－（２．５），我们得到关于ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｍ的多元多项式方程组（Ｓｋ）（ｘｉ－１）（ｘｉ－２）…（ｘｉ－ｋ）＝０，１≤ｉ≤ｎ，（ｙｊ－１）（ｙｊ－２）…（ｙｊ－ｋ）
＝０，１≤ｊ≤ｍ，（（ｘｉ－ｘｓ）２－１２）（（ｘｉ－ｘｓ）２－２２）…（（ｘｉ－ｘｓ）２－（ｋ－１）２
）＝０， ｖｉ与ｖｓ相邻，（（ｙｊ－ｙｔ）２－１２）（（ｙｊ－ｙｔ）２－２２）…（（ｙｊ－ｙｔ）２－（ｋ－１）２）＝０， ｅｊ与ｅｔ相邻，（（ｘｉ－ｙｊ）２－１２）（（ｘｉ－ｙｊ）２－２２）…（（ｘｉ－ｙｊ）２－（ｋ－１）２）＝０， ｖｉ与ｅｊ相关联．
烅
烄
烆２２
图的ｋ－全染色问题与Ｇｒ ｂｎｅｒ基求解
下面的定理给出方程组（Ｓｋ）的解与图Ｇ的ｋ－全染色方案的对应关系．
定理１　方程组（Ｓ
ｋ
）每个解对应图Ｇ的一个ｋ－全染色；反之亦然，且该对应是一一对应．
证明　“ ”取方程组（Ｓ
ｋ）的任意一个解，记作（Ｘ，Ｙ）０＝（ｘ
１
，ｘ
２
，…，ｘ
ｎ
，ｙ
１
，ｙ
２
，…，
ｙｍ）Ｔ．（Ｘ，Ｙ）０是方程组的解，也就是方程（２．１）－（２．５）的根，故由ｋ－全染色的定义知道该解对应一个ｋ－全染色方案，即对ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｍ的取值进行分类，取值相同的归于一类，染一种颜色．因为有ｋ种不同的取值，也就能得到ｋ类，染ｋ种不同的颜色．按此分类染色就可得到一个ｋ－全染色方案．
“ ”取图Ｇ的一个ｋ－全染色方案，记１，２，…，ｋ
｛｝为该ｋ种染色对应的取值．因为ｋ－全染色中相邻元素和相关联元素不能染相同的颜色，故该染色方案对应的染色向量（Ｘ，Ｙ）１＝
（ｘ
１，ｘ
２
，…，ｘ
ｎ
，ｙ
１
，ｙ
２
，…，ｙ
ｍ
）Ｔ是分别满足方程（２．１）－（２．５）的，也即满足方程组（Ｓ
ｋ
），从
而染色向量（Ｘ，Ｙ）１是方程组（Ｓｋ）的一个解．
容易看出以上给出的对应是既单且满的．
３　图的ｋ－全染色存在性的Ｇｒ ｂｎｅｒ基判别给定具有ｎ个顶点、ｍ条边的图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），Ｇ显然有极小全染色．但是对于任意一个１
≤ｋ≤｜Ｖ｜＋｜Ｅ｜＝ｎ＋ｍ，一个自然的问题是：Ｇ是否有含ｋ种颜色的全染色方案？上节中我们证明了图Ｇ的ｋ－全染色方案的存在问题完全等价于一个多元多项式方程组在０，１，２，…，ｋ
｛｝范围的求解问题，且由定理１可知存在图Ｇ的ｋ－全染色方案的集合与多元多
项式方程组（Ｓｋ）的解的集合之间的一个一一对应．本节中我们用经典的判别多项式方程组
解的存在性的Ｇｒ ｂｎｅｒ基方法（参见［３］）来给出Ｇ是否为ｋ－全可染的一个有效判别．
定理２　对于给定的ｋ，其中１≤ｋ≤｜Ｖ｜＋｜Ｅ｜＝ｎ＋ｍ，考察下面由复数域Ｃ上多项式
确定的方程组：
（Ｓ
ｋ）
（ｘ
ｉ－１
）（ｘ
ｉ－２
）…（ｘ
ｉ－ｋ
）＝０，１≤ｉ≤ｎ，
（ｙ
ｊ－１
）（ｙ
ｊ－２
）…（ｙ
ｊ－ｋ
）＝０，１≤ｊ≤ｍ，
（（ｘ
ｉ－ｘｓ
）２－１２）（（ｘ
ｉ－ｘｓ
）２－２２）…（（ｘ
ｉ－ｘｓ
）２－（ｋ－１）２）＝０， ｖ
ｉ
与ｖｓ相邻，
（（ｙ
ｊ－ｙｔ
）２－１２）（（ｙ
ｊ－ｙｔ
）２－２２）…（（ｙ
ｊ－ｙｔ
）２－（ｋ－１）２）＝０， ｅ
ｊ
与ｅｔ相邻，
（（ｘ
ｉ－ｙｊ
）２－１２）（（ｘ
ｉ－ｙｊ
）２－２２）…（（ｘ
ｉ－ｙｊ
）２－（ｋ－１）２）＝０， ｖ
ｉ
与ｅ
ｊ
相邻．烅
烄
烆
（１）图Ｇ是ｋ－全可染得当且仅当方程组（Ｓ
ｋ
）有解．
３
２
数学理论与应用
（２）若方程组（Ｓｋ）有解，则（Ｓｋ）的所有解给出Ｇ的所有ｋ－全染色方案．
（３）令Ｉ是方程组（Ｓｋ）中方程左端多项式在多元多项式环Ｒ＝Ｃ［ｘ１，…，ｘｎ］中生成的理想．则方程组（Ｓｋ）有解当且仅当理想Ｉ的Ｇｒ ｂｎｅｒ基不含非零常数．
证明　（１）由定理１知图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）有ｋ－全染色方案当且仅当方程组（Ｓｋ）有解．（２）由定理１与上面（１
），该结论是显然的．（３）由于方程组（Ｓｋ）解的存在性与理想Ｉ的Ｇｒ ｂｎｅｒ基给出的方程组的解的存在性是等价的，而Ｃ是代数闭域，因此该结论由著名的Ｈｉｌｂｅｒｔ零点定理与熟知的Ｇｒ ｂｎｅｒ基的性质（［３
］）即可得到．４　求图的ｋ－全染色方案，全可染色数及极小全可染方案的
Ｇｒ ｂｎｅｒ基方法
本节根据第三节定理２给出求图的ｋ－全染色、极小全可染方案及全可染色数χ″（Ｇ）的Ｇｒ ｂｎｅｒ基方法．
４．１　求图的ｋ－全染色方案的计算方法
根据前面的讨论，在方程组（Ｓｋ）有解的情况下，只要解方程组（Ｓｋ）即可得到图Ｇ的所有ｋ－全可染方案．求解多元多项式的方法虽然很多，但是注意到方程组（Ｓｋ）如果有解，则它的坐标的取值范围是１，２，…，ｋ｛｝且解的个数一定是有限的．这样，由［３］可知，在某个消元单项式序下，例如在单项式序
ｘ１ ｘ２ … ｘｎ－１ ｘｎ ｙ１ ｙ２ … ｙｍ－１ ｙｍ
下理想Ｉ的一个约化Ｇｒ ｂｎｅｒ基给出与方程组（Ｓｋ）等价的方程组为：
４２
图的ｋ－全染色问题与Ｇｒ ｂｎｅｒ基求解
（Ｓ′ｋ）ｘγ１１＋ｇ１（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｍ）＝０，ｘγ２２＋ｇ２（
ｘ２，…，ｘｎ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｍ）＝０，
ｘγｎ－１ｎ－１＋ｇｎ－１（
ｘｎ－１，ｘｎ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｍ）＝０，ｘγｎｎ＋ｇｎ（ｘｎ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｍ）＝０，ｙγｎ＋１１＋ｇｎ＋１（ｙ１，ｙ２，…，ｙｍ）＝０，ｙγｎ＋２２＋ｇｎ＋２（ｙ２，…，ｙｍ－１，ｙｍ）
＝０，
ｙγｎ＋
ｍ－１ｍ－１＋ｇｎ＋ｍ－１（ｙｍ－１，ｙｍ）＝０，ｙγｎ＋
ｍｍ＋ｇｎ＋ｍ（ｙｍ）
＝０，ｇｍ＋ｎ＋１（ｘ１，…，ｘｎ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｍ）＝０，ｇｍ＋ｎ＋２（ｘ１，…，ｘｎ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｍ）＝０，
ｇｔ（ｘ１，…，ｘｎ，ｙ１，ｙ２，…，ｙｍ）＝０．烅
烄
烆
因此，在某个消元单项序下计算出理想Ｉ的一个约化Ｇｒ ｂｎｅｒ基后就可采用回代的方法求出图Ｇ的所有ｋ－全可染方案．在实际应用定理２和这一结论时，我们只需先调用ＭＡＰＬＥ计算Ｇｒ ｂｎｅｒ基的程序便可判断一个图Ｇ是否是ｋ－全可染的．若是，再调用求解方程组的程序对方程组（Ｓ′ｋ）
进行求解即可得到Ｇ的所有ｋ－全可染方案．４．２　求图的全可染色数及极小全可染方案的计算方法
一个图的ｋ－全可染色方案（如果存在的话）不一定是唯一的．但由于每个有限图中顶点个数和边数之和是有限的，故ｋ－全可染的染色数ｋ有最小值，而该最小值就是该图的全可染色数χ″（Ｇ）．以下我们根据定理２给出求图Ｇ的全可染色数χ″（Ｇ）的一种方法．
定理３　ｋ是图Ｇ的全可染色数χ″（Ｇ）当且仅当方程组（Ｓｋ）有解而方程组（Ｓｋ－１）无解．证明　“ ”若ｋ是图Ｇ的全可染色数χ″（Ｇ），则说明图Ｇ全染色方案中包含ｋ种颜色的染色方案，由定理２（１）的结论我们得知方程组（Ｓｋ）有解；而由全可染色数的定义，图Ｇ中全染色方案中包含的染色颜色数最少为ｋ，故图Ｇ中不存在颜色数为ｋ－１的全染色，所以方程组（Ｓｋ－１）无解．
“ ”若方程组（
Ｓｋ）有解而方程组（Ｓｋ－１）无解，由定理２（１）的结论知，图Ｇ是ｋ－全可染的，但不是（ｋ－１
）－全可染的，也就说明图Ｇ中全可染方案所包含的颜色数最小只能为ｋ，５
２
数学理论与应用
因此根据全可染色数的定义ｋ是图Ｇ的全可染色数χ″（Ｇ）．
由定理３可以得到一个全可染色数χ″（Ｇ）的一个解决方案，即我们可以通过采用由小到大的次序计算图的全可染色数χ″（Ｇ），进而得到图Ｇ的极小全可染色方案．
５　一个计算实例
最后，我们给出一个实际例子来说明上节给出的方法的有效性．考察有限图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），其中顶点集Ｖ＝ｖ１，ｖ２，ｖ３，ｖ４｛｝，边集Ｅ＝ｅ１，ｅ２，ｅ３，ｅ４，ｅ５｛｝
．
图１
以下我们应用前面得到的计算方法来分别计算图Ｇ的ｋ－全可染、极小全可染色数以及极小全可染方案．
对ｋ采用从大到小的次序来计算ｋ－全可染（ｋ＞１）：２－全可染情形：
（Ｓ２）（ｘ１－１）（ｘ１－２）＝０，（ｘ２－１）（ｘ２－２）＝０，（ｘ３－１）（ｘ３－２）＝０，（ｘ４－１）（ｘ４－２）＝０，（ｙ１－１）（ｙ１－２）＝０，（ｙ２－１）（ｙ２－２）＝０，（ｙ３－１）（ｙ３－２）＝０，（ｙ４－１）（ｙ４－２）＝０，（ｙ５－１）（ｙ５－２）＝０，（ｘ１－ｘ２）２
－１＝０，（ｘ１－ｘ４）２
－１＝０，（ｘ２－ｘ３）２
－１＝０，（ｘ２－ｘ４）２
－１＝０，（ｘ３－ｘ４）２－１＝０，（ｙ１－ｙ２）２－１＝０，（ｙ１－ｙ３）２－１＝０，（ｙ１－ｙ５）２－１＝０，（ｙ３－ｙ５）２－１＝０，（ｙ４－ｙ５）２－１＝０，（ｙ２－ｙ３）２－１＝０，（ｙ３－ｙ４）２－１＝０，（ｙ２－ｙ４）２－１＝０，（ｘ１－ｙ１）２－１＝０，（ｘ１－ｙ２）２－１＝０，（ｘ２－ｙ１）２－１＝０，（ｘ２－ｙ３）２－１＝０，（ｘ２－ｙ５）２－１＝０，（ｘ３－ｙ５）２－１＝０，（
ｘ３－ｙ４）２－１＝０，（ｘ４－ｙ２）２－１＝０，
（ｘ４－ｙ３）２－１＝０，
（ｘ２－ｙ４）２－１＝０．
烅
烄
烆通过ＭＡＰＬＥ计算Ｇｒ ｂｎｅｒ基的程序计算得到理想ＩＳ２
的一个约化Ｇｒ ｂｎｅｒ基：Ｇ２＝６２
图的ｋ－全染色问题与Ｇｒ ｂｎｅｒ基求解
｛１｝，包含非零常数，所以由定理２（３）的结论知方程组（Ｓ２）是无解的，故该图不存在２－全染色．
３－全可染情形：（Ｓ３）（ｘ１－１）（ｘ１－２）（ｘ１－３）＝０，（ｘ２－１）（ｘ２－２）（ｘ２－３）＝０，（ｘ３－１）（ｘ３－２）（ｘ３－３）＝０，（ｘ４－１）（ｘ４－２）（ｘ４－３）＝０，（ｙ１－１）（ｙ１－２）（ｙ１－３）＝０，（ｙ２－１）（ｙ２－２）（ｙ２－３）＝０，（ｙ３－１）（ｙ３－２）（ｙ３－３）＝０，（ｙ４－１）（ｙ４－２）（ｙ４－３
）＝０，（ｙ５－１）（ｙ５－２）（ｙ５－３
）＝０，（（ｘ１－ｘ２）２－１）（（ｘ１－ｘ２）２
－４）＝０，
（（ｘ１－ｘ４）２－１）（（ｘ１－ｘ４）２－４）＝０，（（ｘ２－ｘ３）２－１）（（ｘ２－ｘ３）２
－４）＝０，（（ｘ２－ｘ４）２－１）（（ｘ２－ｘ４）２－４）＝０，（（ｘ３－ｘ４）２－１）（（ｘ３－ｘ４）２－４）＝０，（（ｙ１－ｙ２）２－１）（（ｙ１－ｙ２）２－４）＝０，（（ｙ１－ｙ３）２－１）（（ｙ１－ｙ３）２－４）＝０，（（ｙ１－ｙ５）２－１）（（ｙ１－ｙ５）２－４）＝０，（（ｙ３－ｙ５）２－１）（（ｙ３－ｙ５）２
－４
）＝０，（（ｙ４－ｙ５）２－１）（（ｙ４－ｙ５）２－４）＝０，（（ｙ２－ｙ３）２－１）（（ｙ２－ｙ３）２－４）＝０，（（ｙ３－ｙ４）２－１）（（ｙ３－ｙ４）２－４）＝０，（（ｙ２－ｙ４）２－１）（（ｙ２－ｙ４）２－４）＝０，（（ｘ１－ｙ１）２－１）（（ｘ１－ｙ１）２－４）＝０，（（ｘ１－ｙ２）２－１）（（ｘ１－ｙ２）２－４）＝０，（（ｘ２－ｙ１）２－１）（（ｘ２－ｙ１）２－４）＝０，（（ｘ２－ｙ３）２－１）（（ｘ２－ｙ３）２－４）＝０，（（ｘ２－ｙ５）２－１）（（ｘ２－ｙ５）２－４）＝０，（（ｘ３－ｙ５）２－１）（（ｘ３－ｙ５）２－４）＝０，（（ｘ３－ｙ４）２－１）（（ｘ３－ｙ４）２－４）＝０，（（ｘ４－ｙ２）２－１）（（ｘ４－ｙ２）２－４）＝０，（（ｘ４－ｙ３）２－１）（（ｘ４－ｙ３）２－４）＝０，（（ｘ２－ｙ４）２－１）（（ｘ２－ｙ４）２－４）＝０．烅烄
烆
通过ＭＡＰＬＥ计算Ｇｒ ｂｎｅｒ基的程序计算得到理想ＩＳ３
的一个约化Ｇｒ ｂｎｅｒ基：Ｇ２＝｛１｝，包含非零常数，所以由定理２（３）的结论知方程组（Ｓ３）是无解的，故该图也不存在３－全染色．
４－全可染情形：
７
２
数学理论与应用
（Ｓ４）（（ｘ１－ｘ２）２－１）（（ｘ１－ｘ２）２－４）（（ｘ１－ｘ２）２
－９）＝０，（ｘ１－１）（ｘ１－２）（ｘ１－３）（ｘ１－４）＝０，（（ｘ１－ｘ４）２－１）（（ｘ１－ｘ４）２－４）（（ｘ１－ｘ４）２
－９）＝０，（ｘ２－１）（ｘ２－２）（ｘ２－３）（ｘ２－４）＝０，（（ｘ２－ｘ３）２－１）（（ｘ２－ｘ３）２－４）（（ｘ２－ｘ３）２
－９）＝０，（ｘ３－１）（ｘ３－２）（ｘ３－３）（ｘ３－４）＝０，（（ｘ２－ｘ４）２－１）（（ｘ２－ｘ４）２－４）（（ｘ２－ｘ４）２
－９）＝０，（ｘ４－１）（ｘ４－２）（ｘ４－３）（ｘ４－４）＝０，（（ｘ３－ｘ４）２－１）（（ｘ３－ｘ４）２－４）（（ｘ３－ｘ４）２－９）＝０，（ｙ１－１）（ｙ１－２）（ｙ１－３）（ｙ１－４）＝０，（（ｙ１－ｙ２）２－１）（（ｙ１－ｙ２）２－４）（（ｙ１－ｙ２）２－９）＝０，（ｙ２－１）（ｙ２－２）（ｙ２－３）（ｙ２－４）＝０，（（ｙ１－ｙ３）２－１）（（ｙ１－ｙ３）２－４）（（ｙ１－ｙ３）２－９）＝０，（ｙ３－１）（ｙ３－２）（ｙ３－３）（ｙ３－４）＝０，（（ｙ１－ｙ５）２－１）（（ｙ１－ｙ５）２－４）（（ｙ１－ｙ５）２－９）＝０，（ｙ４－１）（ｙ４－２）（ｙ４－３）（ｙ４－４）＝０，（（ｙ３－ｙ５）２－１）（（ｙ３－ｙ５）２－４）（（ｙ３－ｙ５）２－９）＝０，（ｙ５－１）（ｙ５－２）（ｙ５－３）（ｙ５－４）＝０，（（ｙ４－ｙ５）２－１）（（ｙ４－ｙ５）２－４）（（ｙ４－ｙ５）２－９）＝０，（（ｙ２－ｙ３）２－１）（（ｙ２－ｙ３）２－４）（（ｙ
２－ｙ３）２－９）＝０，（（ｙ３－ｙ４）２－１）（（ｙ３－ｙ４）２－４）（（ｙ３－ｙ４）２
－９）＝０，（（ｙ２－ｙ４）２－１）（（ｙ２－ｙ４）２－４）（（ｙ２－ｙ４）２
－９）＝０，（（ｘ１－ｙ１）２－１）（（ｘ１－ｙ１）２－４）（（ｘ１－ｙ１）２
－９）＝０，（（ｘ１－ｙ２）２－１）（（ｘ１－ｙ２）２－４）（（ｘ１－ｙ２）２
－９）＝０，（（ｘ２－ｙ１）２－１）（（ｘ２－ｙ１）２－４）（（ｘ２－ｙ１）２－９）＝０，（（ｘ２－ｙ３）２－１）（（ｘ２－ｙ３）２－４）（（ｘ２－ｙ３）２－９）＝０，（（ｘ２－ｙ５）２－１）（（ｘ２－ｙ５）２－４）（（ｘ２－ｙ５）２－９）＝０，（（ｘ３－ｙ５）２－１）（（ｘ３－ｙ５）２－４）（（ｘ３－ｙ５）２－９）＝０，（（ｘ３－ｙ４）２－１）（（ｘ３－ｙ４）２－４）（（ｘ３－ｙ４）２
－９）＝０，（（ｘ４－ｙ２）２－１）（（ｘ４－ｙ２）２－４）（（ｘ４－ｙ２）２
－９）＝０，（（ｘ４－ｙ３）２－１）（（ｘ４－ｙ３）２－４）（（ｘ４－ｙ３）２－９
）＝０，（
（ｘ２－ｙ４）２
－１）（（ｘ２－ｙ４）２
－４）（（ｘ２－ｙ４）２
－９）＝０．烅
烄
烆通过ＭＡＰＬＥ计算Ｇｒ ｂｎｅｒ基的程序计算得到理想ＩＳ４
的一个约化Ｇｒ ｂｎｅｒ基：Ｇ４＝｛ｙ４５－１０ｙ３５＋３５ｙ２５－５０ｙ５＋２４，ｙ３４＋ｙ２４ｙ５－１０ｙ２４＋ｙ２５ｙ４－１０ｙ４ｙ５＋３５ｙ４＋ｙ３
５－１０ｙ２５＋３５ｙ５－５０，ｙ２３＋ｙ３ｙ４＋ｙ３ｙ５－１０ｙ３＋ｙ２４＋ｙ４ｙ５－１０ｙ４＋ｙ２５－１０ｙ５＋３５，ｙ２
２＋ｙ２ｙ３＋
ｙ２ｙ４－１０ｙ２－ｙ３ｙ５－ｙ４ｙ５－ｙ２
５＋１０ｙ５，－４７４０＋１８ｙ１＋１６２６ｙ２＋１６２６ｙ３＋３２３４ｙ４＋７８９２ｙ５
＋１３３５ｙ３ｙ２５＋３６６ｙ２ｙ３ｙ４ｙ２５－３９００ｙ２５－２７５０ｙ３ｙ５－６００ｙ２
４－５５００ｙ４ｙ５－６００ｙ２ｙ３－１２００ｙ３ｙ４－１２００ｙ２ｙ４＋５６５ｙ３５－１９０ｙ３ｙ３５－４８０ｙ２４ｙ２５－３８０ｙ４ｙ３５＋２０２０ｙ３ｙ４ｙ５－９６０ｙ４ｙ２ｙ２５－１０５ｙ２４ｙ２ｙ３＋１０１０ｙ３ｙ２ｙ５＋２４０ｙ２４ｙ３－３９５ｙ５ｙ２ｙ２４＋１０１０ｙ２４ｙ５＋２６７０ｙ２５ｙ４＋１０ｙ３５ｙ２４ｙ２ｙ３－２５ｙ２４ｙ３ｙ３５－
８２
图的ｋ－全染色问题与Ｇｒ ｂｎｅｒ基求解
２５ｙ３５ｙ２ｙ２４＋１８３ｙ２４ｙ３ｙ２５－７９０ｙ２ｙ３ｙ４ｙ５＋２０２０ｙ５ｙ２ｙ４－９６０ｙ３ｙ４ｙ２５－４８０ｙ３ｙ２ｙ２５＋１３４ｙ３５ｙ３ｙ４＋２４０ｙ２ｙ２４＋６７ｙ３ｙ２ｙ３５＋１３３５ｙ２ｙ２５＋１８３ｙ２５ｙ２ｙ２４－２７５０ｙ２ｙ５－７５ｙ５２ｙ２４ｙ２ｙ３＋１３４ｙ４ｙ２ｙ３５－１９０ｙ２ｙ３５－５０ｙ３ｙ２ｙ３５ｙ４＋４８０ｙ２ｙ３ｙ４－３９５ｙ２４ｙ３ｙ５＋６７ｙ３５ｙ２４＋１６７ｙ５ｙ２４ｙ２ｙ３，ｘ４＋ｙ２＋ｙ３＋ｙ４－１０，ｘ３－ｙ３，４５６０＋１８ｘ２－１６２６ｙ２－１６０８ｙ３－３２３４ｙ４－７８７４ｙ５－１３３５ｙ３ｙ２５－３６６ｙ２ｙ３ｙ４ｙ２５＋３９００ｙ２５＋２７５０ｙ３ｙ５＋６００ｙ２４＋５５００ｙ４ｙ５＋６００ｙ２ｙ３＋１２００ｙ３ｙ４＋１２００ｙ２ｙ４－５６５ｙ３５＋１９０ｙ３ｙ３５＋４８０ｙ２４ｙ２５＋３８０ｙ４ｙ３５－２０２０ｙ３ｙ４ｙ５＋９６０ｙ４ｙ２ｙ２５＋１０５ｙ２４ｙ２ｙ３－１０１０ｙ３ｙ２ｙ５－２４０ｙ２４ｙ３＋３９５ｙ５ｙ２ｙ２４－１０１０ｙ２４ｙ５－２６７０ｙ２５ｙ４－１０ｙ３５ｙ２４ｙ２ｙ３＋２５ｙ２４ｙ３ｙ３５＋２５ｙ３５ｙ２ｙ２４－１８３ｙ２４ｙ３ｙ２５＋７９０ｙ２ｙ３ｙ４ｙ５－２０２０ｙ５ｙ２ｙ４＋９６０ｙ３ｙ４ｙ２５＋４８０ｙ３ｙ２ｙ２５－１３４ｙ３５ｙ３ｙ４－２４０ｙ２ｙ２４－６７ｙ３ｙ２ｙ３５－１３３５ｙ２ｙ２５－１８３ｙ２５ｙ２ｙ２４＋２７５０ｙ２ｙ５＋７５ｙ２５ｙ２４ｙ２ｙ３－１３４ｙ４ｙ２ｙ３５＋１９０ｙ２ｙ３５＋５０ｙ３ｙ２ｙ３５ｙ４－４８０ｙ２ｙ３ｙ４＋３９５ｙ２４ｙ３ｙ５－６７ｙ３５ｙ２４－１６７ｙ５ｙ２４ｙ２ｙ３，ｘ１－ｙ３｝．由Ｇ４给出与方程组（Ｓ４）等价的方程组（Ｓ′４）：
（Ｓ′
４）
ｘ１－ｙ３＝０，
１８ｘ２－１６２６ｙ２－１６０８ｙ３－３２３４ｙ４－７８７４ｙ５－１３３５ｙ３ｙ２５－３６６ｙ２ｙ３ｙ４ｙ２５＋３９００ｙ２５，
＋２７５０ｙ３ｙ５＋６００ｙ２４＋５５００ｙ４ｙ５＋６００ｙ２ｙ３＋１２００ｙ３ｙ４＋１２００ｙ２ｙ４－５６５ｙ３５＋１９０ｙ３ｙ３５，
＋４８０ｙ２４ｙ２５＋３８０ｙ４ｙ３５－２０２０ｙ３ｙ４ｙ５＋９６０ｙ４ｙ２ｙ２５＋１０５ｙ２４ｙ２ｙ３－１０１０ｙ３ｙ２ｙ５－２４０ｙ２４ｙ３，
＋３９５ｙ５ｙ２ｙ２４－１０１０ｙ２４ｙ５－２６７０ｙ２５ｙ４－１０ｙ３５ｙ２４ｙ２ｙ３＋２５ｙ２４ｙ３ｙ３５＋２５ｙ３５ｙ２ｙ２４－１８３ｙ２４ｙ３ｙ２５，
＋７９０ｙ２ｙ３ｙ４ｙ５－２０２０ｙ５ｙ２ｙ４＋９６０ｙ３ｙ４ｙ２５＋４８０ｙ３ｙ２ｙ２５－１３４ｙ３５ｙ３ｙ４－２４０ｙ２ｙ２４－６７ｙ３ｙ２ｙ３５，－１３３５ｙ２ｙ２５－１８３ｙ２５ｙ２ｙ２４＋２７５０ｙ２ｙ５＋７５ｙ２５ｙ２４ｙ２ｙ３－１３４ｙ４ｙ２ｙ３５＋１９０ｙ２ｙ３５＋５０ｙ３ｙ２ｙ３５ｙ４，－４８０ｙ２ｙ３ｙ４＋３９５ｙ２４ｙ３ｙ５－６７ｙ３５ｙ２４－１６７ｙ５ｙ２４ｙ２ｙ３＋４５６０＝０，
ｘ３－ｙ３＝０，
ｘ４＋ｙ２＋ｙ３＋ｙ４－１０＝０，
１８ｙ１＋１６２６ｙ２＋１６２６ｙ３＋３２３４ｙ４＋７８９２ｙ５＋１３３５ｙ３ｙ２５＋３６６ｙ２ｙ３ｙ４ｙ２５－３９００ｙ２５，
－２７５０ｙ３ｙ５－６００ｙ２４－５５００ｙ４ｙ５－６００ｙ２ｙ３－１２００ｙ３ｙ４－１２００ｙ２ｙ４＋５６５ｙ３５－１９０ｙ３ｙ３５，
－４８０ｙ２４ｙ２５－３８０ｙ４ｙ３５＋２０２０ｙ３ｙ４ｙ５－９６０ｙ４ｙ２ｙ２５－１０５ｙ２４ｙ２ｙ３＋１０１０ｙ３ｙ２ｙ５＋２４０ｙ２４ｙ３，
－３９５ｙ５ｙ２ｙ２４＋１０１０ｙ２４ｙ５＋２６７０ｙ２５ｙ４＋１０ｙ３５ｙ２４ｙ２ｙ３－２５ｙ２４ｙ３ｙ３５－２５ｙ３５ｙ２ｙ２４＋１８３ｙ２４ｙ３ｙ２５，
－７９０ｙ２ｙ３ｙ４ｙ５＋２０２０ｙ５ｙ２ｙ４－９６０ｙ３ｙ４ｙ２５－４８０ｙ３ｙ２ｙ２５＋１３４ｙ３５ｙ３ｙ４＋２４０ｙ２ｙ２４＋６７ｙ３ｙ２ｙ３５，＋１３３５ｙ２ｙ２５＋１８３ｙ２５ｙ２ｙ２４－２７５０ｙ２ｙ５－７５ｙ５２ｙ２４ｙ２ｙ３＋１３４ｙ４ｙ２ｙ３５－１９０ｙ２ｙ３５－５０ｙ３ｙ２ｙ３５ｙ４，＋４８０ｙ２ｙ３ｙ４－３９５ｙ２４ｙ３ｙ５＋６７ｙ３５ｙ２４＋１６７ｙ５ｙ２４ｙ２ｙ３－４７４０＝０，
ｙ２２＋ｙ２ｙ３＋ｙ２ｙ４－１０ｙ２－ｙ３ｙ５－ｙ４ｙ５－ｙ２５＋１０ｙ５＝０，
ｙ２３＋ｙ３ｙ４＋ｙ３ｙ５－１０ｙ３＋ｙ２４＋ｙ４ｙ５－１０ｙ４＋ｙ２５－１０ｙ５＋３５，
ｙ３４＋ｙ２４ｙ５－１０ｙ２４＋ｙ２５ｙ４－１０ｙ４ｙ５＋３５ｙ４＋ｙ３５－１０ｙ２５＋３５ｙ５－５０＝０，
ｙ４５－１０ｙ３５＋３５ｙ２５－５０ｙ５＋２４＝０．
烅
烄
烆
９
２
数学理论与应用
调用ＭＡＰＬＥ中求解方程组的程序对方程组（Ｓ′４）
进行求解得到所有的４－全染色：（２，３，２，１，４，３，２，４，１），（４，３，４，１，１，２，４，３，２），（４，１，４，２，３，１，４，３，２），（１，４，１，２，２，３，１，４，３），（１，２，１，４，３，２，１，３，４），（３，１，３，４，４，２，３，１，２），（３，４，３，２，１，４，３，１，２），（２，４，２，１，１，３，２，４，３）
，（３，２，３，１，４，２，３，４，１），（３，２，３，４，１，２，３，１，４），（４，１，４，３，２，１，４，２，３），（３，１，３，４，２，１，３，２，４）
，（３，４，３，１，２，４，３，２，１），（４，１，４，３，３，２，４，１，２），（４，３，４，２，１，３，４，１，２），（４，３，４，２，２，１，４，３，１），（２，１，２，４，３，１，２，３，４），（１，４，１，３，３，２，１，４，２），（１，３，１，２，４，３，１，４，２），（２，４，２，３，１，４，２，１，３），（４，３，４，１，２，３，４，２，１），（１，３，１，２，２，４，１，３，４），（１，２，１，３，４，２，１，４，３），（４，２，４，３，３，１，４，２，１），（２，４，２，３，３，１，２，４，１），（１，４，１，３，２，４，１，２，３），（３，１，３，２，４，１，３，４，２），（２，１，２，３，３，４，２，１，４），（２，４，２，１，３，４，２，３，１），（３，４，３，１，１，２，３，４，２），（１，２，１，４，４，３，１，２，３），（４，２，４，３，１，２，４，１，３），（４，２，４，１，３，２，４，３，１），（３，４，３，２，２，１，３，４，１），（４，２，４，１，１，３，４，２，３），（３，１，３，２，２，４，３，１，４）
，（３，２，３，１，１，４，３，２，４），（１，４，１，２，３，４，１，３，２），（２，１，２，３，４，１，２，４，３），（２，３，２，１，１，４，２，３，４）
，（２，３，２，４，１，３，２，１，４），（１，３，１，４，２，３，１，２，４），（２，１，２，４，４，３，２，１，３），（２，３，２，４，４，１，２，３，１），（１，３，１，４，４，２，１，３，２），（３，２，３，４，４，１，３，２，１），（４，１，４，２，２，３，４，１，３），（１，２，１，３，３，４，１，２，４）．方程组（Ｓ４）有解而方程组（Ｓ３）无解，由定理３的结论知图Ｇ的全染色数χ″（Ｇ）为４．所有的４－全染色就是该图的极小全染色方案．
作者衷心感谢李会师教授的指导和帮助．
参考文献
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，２０１０，３１０：２３７２－２３７９．［６］Ｓｈｅｎ　Ｌ，Ｗａｎｇ　Ｙ　Ｑ．Ｏｎ　ｔｈｅ　７ｔｏｔａｌ　ｃｏｌｏｒａｂｉｌｉｔｙ　
ｏｆ　ｐｌａｎａｒ　ｇｒａｐｈｓ　ｗｉｔｈ　ｍａｘｉｍｕｍ　ｄｅｇｒｅｅ　６ａｎｄ　ｗｉｔｈｏｕｔ　４－０３
图的ｋ－全染色问题与Ｇｒ ｂｎｅｒ基求解
ｃｙｃｌｅｓ［Ｊ］．Ｇｒａｐｈｓ　Ｃｏｍｂｉｎ，２００９，２５：４０１－４０７．［７］Ｄｕ　Ｄ　Ｚ，Ｓｈｅｎ　Ｌ，Ｗａｎｇ　
Ｙ　Ｑ．Ｐｌａｎａｒ　ｇｒａｐｈｓ　ｗｉｔｈ　ｍａｘｉｍｕｍ　ｄｅｇｒｅｅ　８ａｎｄ　ｗｉｔｈｏｕｔ　ａｄｊａｃｅｎｔ　ｔｒｉａｎｇｌｅｓ　ａｒｅ　９－ｔｏｔａｌｌｙ
－ｃｏｌｏｒａｂｌｅ［Ｊ］．Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　Ａｐｐｌ　Ｍａｔｈ，２００９，１５７：２７７８－２７８４．［８］Ｓｈｅｎ　Ｌ，Ｗａｎｇ　Ｙ　Ｑ，Ｗａｎｇ　Ｗ　Ｆ，ｅｔ　ａｌ．Ｏｎ　ｔｈｅ　９ｔｏｔａｌ　ｃｏｌｏｒａｂｉｌｉｔｙ　
ｏｆ　ｐｌａｎａｒ　ｇｒａｐｈｓ　ｗｉｔｈ　ｍａｘｉｍｕｍ　ｄｅｇｒｅｅ　８ａｎｄ　ｗｉｔｈｏｕｔ　ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｎｇ　
ｔｒｉａｎｇｌｅｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌ　Ｍａｔｈ　Ｌｅｔｔ，２００９，２２：１３６９－１３７３．［９］Ｋｏｗａｌｉｋ　Ｌ，Ｓｅｒｅｎｉ　Ｊ　Ｓ，Ｓｋｒｅｋｏｖｓｋｉ　Ｒ．Ｔｏｔａｌ　ｃｏｌｏｕｒｉｎｇ　
ｏｆ　ｐｌａｎｅ　ｇｒａｐｈｓ　ｗｉｔｈ　ｍａｘｉｍｕｍ　ｄｅｇｒｅｅ　ｎｉｎｅ［Ｊ］．ＳＩＡＭＪ　Ｄｉｓｃｒｅｔｅ　
Ｍａｔｈ，２００８，２２：１４６２－１４７９．［１０］Ｓｈｅｎ　Ｌ，Ｗａｎｇ　
Ｙ　Ｑ．Ｔｏｔａｌ　ｃｏｌｏｒｉｎｇｓ　ｏｆ　ｐｌａｎａｒ　ｇｒａｐｈｓ　ｗｉｔｈ　ｍａｘｉｍｕｍ　ｄｅｇｒｅｅ　ａｔ　ｌｅａｓｔ　８（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）［Ｊ］．ＳｃｉＣｈｉｎａ　Ｓｅｒ　
Ａ，２００８，３８：１３５６－１３６４．［１１］Ｌｉｕ　Ｂ，Ｈｏｕ　Ｊ　Ｆ，Ｌｉｕ　Ｇ　Ｚ．Ｌｉｓｔ　ｅｄｇｅ　ａｎｄ　ｌｉｓｔ　ｔｏｔａｌ　ｃｏｌｏｒｉｎｇｓ　ｏｆ　ｐｌａｎａｒ　ｇｒａｐ
ｈｓ　ｗｉｔｈｏｕｔ　ｓｈｏｒｔ　ｃｙｃｌｅｓ［Ｊ］．Ｉｎ－ｆｏｒｍ　Ｐｒｏｃｅｓｓ　Ｌｅｔｔ，２００８，１０８：３４７－３５１．１３。