高考数学考点13利用导数探求参数的范围问题试题解读与变式(2021年整理)

考点十三:利用导数探求参数的范围问题
【考纲要求】
（1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）;会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次）。

【命题规律】
利用导数探求参数的范围问题每年必考，有时出现在大题，有时出现在小题中，变化比较多.
不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数,借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．这也是2018年考试的热点问题.
【典型高考试题变式】 （一）利用单调性求参数的范围
例1。

【2016全国1卷(文）】若函数在上单调递增,则的取值范围是( ）． A ． B ． C ． D ．
【答案】C
1
()s i n 2s i n 3f x x x a x
=-+(),-∞+
∞a []
1,1-11,3⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,3⎡
⎤--⎢⎥⎣⎦
【方法技巧归纳】谈到必要条件的问题,如取,则转化为，因此直接选择C 选
项．这缘于运气好，若不然取，则式子恒成立；取，则
，此时只能排除
A 选项．此外,可在未解题之前取，此时
，则
,但此时，不具备在上单调递增，直接排除A ，B ，D 。

故选C ．
【变式1】【改编例题中条件，给定函数在给定区间上单调（并未告知单增还是单减），
求参数范围】【2018河北大名一中高三实验班第一次月考（理）】若函数在区间上为单调函数，则的取值范围是_______.
【答案】或
【解析】本题考查导数的运算、函数的性质，考查恒成立问题与转化思想、计算能力.在区间上, ，当函数在区间上为单调增函数时， 恒成立，则;当函数在区间上为单调减函数时, 恒成
立，则，所以或
【变式2】【改编例题中条件,给定函数不单调，求参数取值范围】【2017福建高三总复
习训练(文）】已知函数
在不单调，则的取值范围是
___。

c o s 1x =a
≤-
31c
o s 0x =c o s 1x =-31
≤
a 1
a =-()1
s i n 2s i n 3f x x x x =
--()21c o s 2c o s 3f x x x '=--()22
011033f '=--=-<(),-∞+
∞(
)l n f x k x x =-()1,∞+k
1k ≥0k ≤()
1,∞+1101,k x
x <<=-
(
)l n f x k x x =-()1,∞+1k x
≥1k ≥(
)l n f x k x x =-()1,∞+1
k x
≤0k ≤1k ≥0.k ≤()2
2l n 5fx xx x c =+-+(),1mm +m
【答案】
【解析】
令得或,则或，解得。

【变式3】【改编例题中条件,给定函数存在单调区间，求参数取值范围】【2017河北武
邑中学高三下学期期中考试（文）】已知函数，
（为常数）.
（1）函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数的
值；
（2）若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围；
（3)若， ,且，都有成立,求实数的取值范围.
【答案】(1）(2)（3）
试题解析：（1）因为，所以，因此,
所以函数的图象在点处的切线方程为，
由
得。

由,得。

()10,1,22⎡⎫
⋃⎪⎢
⎣⎭()
()()2
2121225225x x x x
fx x x x x --+-=+='-=()0
f x '=1
2x =2x =1
1
2
m m <<+21m m <<+()
10,1,22m ⎡⎫∈⋃⎪⎢⎣⎭()ln f x x =()21
2g x x b x
=-b
()f x ()()1,f x ()
g x b
()()()h
x f x g x =+b 2b ≥[]12,1,2x x ∀
∈12x x ≠()()()()1212fx
fx g x g x ->-
b
1b
=()
2,+∞2b =()ln
f x x =()1'f x x
=
()'11f =()
f x ()()1,1f 1y x =-2
1,{1,2y x y x bx =-=-()2
2120x b x -
++=()2
4180b ∆
=+
-=1b =
（还可以通过导数来求)
（2）因为 ，
所以,
由题意知在上有解,
因为，设,因为， 则只要解得，
所以的取值范围是。

(3）不妨设,
因为函数在区间上是增函数， 所以， 函数图象的对称轴为，且。

当时，函数在区间上是减函数,
所以， 所以， 等价于， 即， 等价于 在区间上是增函数，
等价于在区间上恒成立，
等价于
在区间上恒成立,所以，又，所以.
b
()()()h
x f x g x =+=21
ln 2x x bx
+-(0)
x >()211
'x b x hx x b
x x -+=+-=()'0h x <()0,+∞0x >()2
1ux
x b x =-+()010u =>2
0,{240,
b b >->2b >b
()2,+∞12x x >()ln f x x =[]1,2(
)()12f x f x >()
g x x b =2b >2b ≥()
g x []1,2()()12gx
gx <()()()()1212fx
fx g x g x ->-()()()()1221fx
fx g x g x ->-()()()()1122fx
g x fx g x +>+()()()h
x f x g x =+=21
ln 2x x bx
+-[]1,2()1'0
h x x b x =+-≥[]1,21b x x
≤+
[]1,22b ≤2b ≥2b =
（二）利用极值、最值求参数的取值范围
例2。

【2014山东卷（理）】设函数
（为常数，是自然对数的底数）.
(Ⅰ）当时，求函数的单调区间； (Ⅱ）若函数在内存在两个极值点,求的取值范围.
【答案】（I ）的单调递减区间为，单调递增区间为。

（II)函数在内存在两个极值点时，k 的取值范围为。

【解析】
试题分析：(I ）函数的定义域为,
由可得,得到的单调递减区间为,单调递增区间为。

（II)分,，，时,讨论导函数值的正负，根据函数的单调性，明确极值点的有无、多少。

试题解析:（I)函数的定义域为，
由可得, 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增。

所以的单调递减区间为,单调递增区间为.
（II ）由（I)知,时，函数在内单调递减， 故在内不存在极值点；
当时，设函数， 因为，
当时，
22()(l n )
x e f x k x x x =-+k 2.71828e
=⋅⋅⋅0k ≤()f x ()f x (0,2)k
()f x (0,2)(2,)
+∞(0,2)2
(,)
2
e e ()y
f x =(0,)
+∞'()f x =
3
(2)()
x x e k x x --=
0k ≤0x
e k x -
>()f x (0,2)(2,)+∞0k ≤0k >01k <≤1k >()y f x =(0,)
+∞2'
42
221
()()x x
x e x e f x k x x x -=--+32
2(2)x x
x e e kx x x
--=-3
(2)()
x x e k x x --=
0k ≤0x
e k x -
>(0,2)x ∈'
()0
f x <()y f x =(2,)x
∈+∞'
()0f x >()y f x =()f x (0,2)(2,)+∞0k ≤()f x (0,2)()f x (0,2)0k >(),[0,)x
g
xek x x =-∈+∞'l n ()x x k
g x ekee =-=-01k <≤
当时，，单调递增， 故在内不存在两个极值点； 当时,
得时,，函数单调递减, 时，，函数单调递增，
所以函数的最小值为， 函数在内存在两个极值点；
当且仅当,
解得
，
综上所述，函数在内存在两个极值点时，k 的取值范围为。

【方法技巧归纳】转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点。

以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域,进而顺利解答.
【变式1】【改编函数条件，给定函数极大、极小值都有求参数范围】【2018河南驻马店正阳第二高级中学开学考（文）】已知函数既存在极大值又存在极小
值，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C 。

D 。

【答案】B 【解析】
函数既存在极大值，又存在极小值，， 方程
有两个不同的实数解，
，
解得
或
，实数
(0,2)x ∈'()0x
gx
e k =->()y g x =()
f x (0,2)1k >(0,l n )x
k ∈'
()0g x <()y g x =(l n,)x k ∈+∞'()0
g x >()y g x =()y g x =(l n )(1l n )g
k k k =-()f x (0,2)(0)0(ln )0(2)00ln 2
g g k g k >⎧⎪<⎪⎨
>⎪⎪
<<⎩2
2e e k <<
(0,2)2
(,)
2
e e
的取值范围是，故选B 。

【变式2】【改编函数条件，给定函数有最大值求参数范围】【2018海南八校联盟考试
(理）】已知函数
在区间上有最大值，则实数的取值范围是
( ）
A. B 。

C 。

D 。

【答案】B
(三）在不等式恒成立的条件下，求参数的取值范围
例3。

【2017天津，文19】设,.已知函数，.
（Ⅰ)求的单调区间； （Ⅱ)已知函数和的图象在公共点(x 0，y 0）处有相同的切线,
（i ）求证：在处的导数等于0；
(ii ）若关于x 的不等式在区间上恒成立，求b 的取值范围。

【答案】(Ⅰ）递增区间为，，递减区间为.（2)（ⅰ）在
处的导数等于0.（ⅱ)的取值范围是。

【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数
，再根据，求得两个极
值点的大小关系,，再分析两侧的单调性，求得函数的单调区间；（Ⅱ）（ⅰ）根据与有共同的切线，根据导数的几何意义建立方程，求得，得证;（Ⅲ）将
不等式转化为,再根据前两问可知是极大值点,由(I ）知在内单调递增,在
()213l n 2f x x x a x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()1,3a 1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭111,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
111,22⎛⎫ ⎪
⎝⎭1,52⎛⎫ ⎪
⎝⎭
,ab
∈R ||1a ≤32
()63(4)f xx x a ax b =---+()e ()x
gx f x =()f x ()y g x =e x
y =()f x 0
x x =()e x
g x ≤00[1,1]x
x -+(,)
a -∞(4,)a -+∞(),4a a -()f x 0x x =b
[7],1-()()()34f x x a x a '=---⎡⎤⎣⎦
1a ≤4
a a <-()
g x x
e
()00f x '=()1f x ≤0x 0x a
=()f x (,)1
a a -
内单调递减，从而在上恒成立，得
,，再根据导数求函数的取值范围。

（II ）(i ）因为
，由题意知,
所以,解得.
所以，在处的导数等于0.
（ii)因为，，由，可得. 又因为, ,故为的极大值点，由（I ）知。

另一方面，由于，故， 由(I ）知在内单调递增，在内单调递减, 故当时，
在上恒成立，从而在上恒成立. 由,得，. 令,,所以
， 令,解得（舍去)，或.
因为，,，故的值域为。

所以，的取值范围是.
()
,1aa +(
)()1f x f a ≤=[
1,1]a a -+32
261b a a =-+11a -≤
≤()e (()())x x x g 'f f 'x =+0000()e ()e x
x x x g g'⎧=⎪⎨=⎪⎩0000
000()e e e (()())e x x x x f f f x 'x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩00()1()0
f 'x x f =⎧⎨=⎩()f x 0
x x =()e x g x ≤00[11],x
x x ∈-+e 0x >()1f x ≤0()1f x =0()0f'x =0x ()f x 0x a
=||1a ≤14a
a +<-()f x (,)1
a a -(),1aa +0x a =()()1f f x a ≤=[1,1]
a a -+()e x g x ≤00,[
11]x x -+32()63()14a a f a a a a b =---+=32261b a a =-+11a -≤≤32()261tx x x =-+[1,1]x ∈-2()612t 'x x x =-()0t'x =2x =0x =(1)7t -
=-(1)3t =-(0)1t =()t x [7],1-b
[7],1-
【方法技巧归纳】本题本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式,并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，避免讨论,第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切点处的导数相等的条件，前两问比较容易入手，但第三问，需分析出 ，同时根据单调性判断函数的最值，涉及造函数解题较难，这一问思维巧妙，有选
拔优秀学生的功能.
【变式1】【改编例题中函数模型，求参数的最值】【2014全国2卷(理）改编】已知函数=. (1）讨论的单调性；
（2）设，当时，,求的最大值.
【答案】（1）函数在R 上是增函数;（2）2.
【解析】试题分析：本题第（1)问,判断函数的单调，关键是判断导数的正数;对第（2）问，可构造函数。

试题解析:(1）因为，当且仅当时等号成立，所以函数在R 上
是增函数； （2)因为=， 所以=。

(1）当时， ,等号仅当时成立，所以在R 上单调递增，而，所以
对任意，； （2）当时，若满足,即时，,而
，
因此当
时，，
综上,的最大值为2。

【变式2】【改编例题条件，在不等式有解条件下,求参数的取值范围】【2014全国1卷
（文）】设函数,曲线处的切线斜率为0 0x a
=()
f x 2x x
e e x --
-()
f x ()()()24g
x f x b f x =-0x >()0g x >b
()f x ()g x =
(2)4()f x b f x -'1()20
x
x f x e e =+-≥0x =()f x ()g x =
(2)4()f x b f x -224()(84)x x x x
e
e b e e b x -----+-'
()g x =222[2()(42)]x x x x e e b e e b --+-++-2(2)(22)x x x x e e e e b --+-+-+2b ≤'
()0g x ≥0x =()g x (0)0g =0x >()0g x >2b >x
2
22x x
e e b -<+
<-0l n (x b <<'
()0g x <(0)0g
=0l n (x b <≤()0g x <b
()()2
1l n 12a f x ax x b x a -=+-≠()()()11y
f x f =在点，
（1）求b;（2)若存在使得
，求a 的取值范围。

【答案】（1);（2）.
【解析】
试题分析:（1）根据曲线在某点处的切线与此点的横坐标的导数的对应关系,可先对函数
进行求导可得：,利用上述关系不难求得，即可得;（2）由第
（1）小题中所求b ，则函数完全确定下来,则它的导数可求出并化简
得:
根据题意可得要对与的大小关系进行分类讨论,则可分以下三类：(ⅰ）若
，则
，故当时，
,在单调递增,所以，存在，使得
的充要条件为
，即，所以。

(ⅱ）若,则
，故当
时，；当时，，在单调递减，在
单调递增。

所以，存在,使得
的充要条件为,无解则
不合题意。

（ⅲ)若，则
.综上，a 的取值范围是。

试题解析：（1），
由题设知，解得.
（2）的定义域为,由（1）知，，
(ⅰ）若
，则，故当时，,在单调递增，
01,
x ≥()01
a f x a <
-1b =1)(1,)
+∞'()(1)a
f x ax b x =+--'
(1)0f =1b =()f x '
1()(1)1()(1)
1a a a fx a x x x x x a -=+--=---1a a -1
1
2
a ≤
11a a ≤-(1,)x ∈
+∞'
()0f x >()f x (1,)+∞01x ≥0()1
a
f x a <
-(1)1
a
f a <-112
1a a
a --<
-11<1
1
2a <<11a a >-(1,
)1a
x a
∈-'
()0
f x <(,)1a
x a ∈+∞-'
()0
f x >()f x (1,
)
1a a
-(,)1a
a
+∞-01x ≥0()1
a f x a <
-()11
a a f a a <
--1a >11(1)1221a a a f a ---=-=<
-1)(1,)
+∞'()(1)a f x ax b
x =+--'
(1)0f =1b =()f x (0,)
+∞2
1()l n 2a f x a x x x
-=+-'
1()(1)1()(1)
1a a a fx a x x x x x a -=+--=---1
2a ≤11a a ≤-(1,)x ∈+∞'
()0
f x >()f x (1,)
+∞
所以，存在，使得
的充要条件为
，即，
所以.
【变式3】【改编例题条件，双变量问题求参数的取值范围】【2018湖南永州高三上学期一模（文）】已知函数,
，其中为自然对数的底数。

(1）讨论函数在区间
上的单调性；
(2）已知
，若对任意
，有
，求实数的取值范围。

【答案】（1)
见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）对函数进行求导可得，分为，，
和
四种情形，根据导数与0的关系可判断出其单调性;（2)将题意转化为恒成立，利用导数判断单调性求出最值即可。

试题解析：（1），①当时,，，在上单调递增，
②当时，,
,
在
上单调递增，③当时，
时,
，在
上单调递增，时，
,
在
上单调递减,④当
时，
，
，在
01x ≥0()1
a f x a <
-(1)1
a f a <
-112
1a a
a --<
-11<
上单调递增，综上所述，当或时，在上单调递增，当时，在上
单调递增，在上单调递减
（2)
，依题意，时，恒成立.已知
，则当时，
，
在
上单调递减，而在上单调递增，，
，得
,当
时，
，
与
在
上均单调递增，，
，，得与矛盾，综上所述,实数的取值范围是
【变式4】【改编例题条件，函数中的恒成立与存在性的综合问题】【2018河北石家庄
二中八月模拟考试(理)】已知函数。

(Ⅰ）求的单调区间；
(Ⅱ）若，若对任意,存在,使得 成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） 的单调递减区间是，单调递增区间时；（2)。

【解析】试题分析:（1)求导，由得减区间，由得增区间； （2）当时， ，又，所以对任意，存在
，使得成立， 存在，使得成立， 存在,使得成立， 的图象与直线有交点， 方程
在上有解.
()36
2
l n 21x x f x x -=-+()
f x ()()()2
2
l n g
x x t x a t =-+-()11,x ∈+∞()()2,,0,t x ∈-∞+∞∈+∞()()1
2f x gx ≥a ()
f x 1,22⎛⎫ ⎪
⎝⎭()
10,,2,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎤
-∞ ⎥
⎝⎦()()()
()
2
2121x x f x x x --=
+'()0f x '<()0
f x '>1
x >()0
f x ≥()0
g x ≥()11,x
∈+∞()()2,,0,t x ∈-∞+∞∈+∞()()12f x gx ≥⇔()()2,,0,t x ∈-∞+∞∈+∞()20g x ≤⇔()(
)2,,0,t x ∈-∞+∞∈+∞()20g x =l n y x ⇔=y a x
=⇔ln x
a x
=()0,+∞
试题解析：
（Ⅰ）因为
， 所以，
因为的定义域为，当时，
或时，
所以的单调递减区间是，单调递增区间时.
(Ⅱ）由（Ⅰ）知， 在上单调递减，在上单调递增，所以当时
,
又, 所以对任意，存在，使得成立， 存在，使得成立， 存在,使得成立，
因为 表示点与点之间距离的平方， 所以存在，使得成立,
的图象与直线有交点,
方程
在上有解,
设
，则，
当时， 单调递增，当时, 单调递减， 又，所以的值域是，
所以实数的取值范围是.
【数学思想】
()36
2
l n 21x x f x x -=-+()()()()()()
2
222
21229252111x x x x f x x x x x x x ---+=+'=-=++()f x ()0,+∞1
2
2
a <<()0f x '<1
02
x <<
2x >()0
f x '>()
f x 1,22⎛⎫
⎪
⎝⎭()
10,,2,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭()f x ()1,2()2,+∞1x >()()20f x f ≥=()()()2
2
l n 0g
x x t x a t =-+-≥()11,x
∈+∞()()2,,0,t x ∈-∞+∞∈+∞()()12f x gx ≥⇔
()()2,,0,t
x ∈-∞+∞∈+∞()20g x ≤⇔
()()2,,0,t
x ∈-∞+∞∈+∞()20g x =(
)()2
2
l n x t x a t -+-(),ln x x (),t at ()()2,,0,t
x ∈-∞+∞∈+∞()20g x =l n y x ⇔=y a x
=⇔
ln x
a x
=
()0,+∞()ln x h x x
=
()2
1ln x h x x -'=
()0,x e ∈()()0,h
x hx '>(),x e ∈+∞()()0,h x hx '<()()
1,0,h e x h x e =→→-∞()h x 1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
a 1,e ⎛⎤
-∞ ⎥
⎝⎦
数形结合思想
数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段,形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形,以形想数,做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

【利用导数探求参数的范围问题注意点】
（1)研究函数问题应竖立定义域优先原则；(2) 任意，指的是区间内的任意一
个自变量；存在，指的是区间内存在一个自变量,故本题是恒成立问题和有解问题
的组合。

【典例试题演练】
1．【2018云南师大附中高考适应性月考卷二（理)】已知函数
,
，如果对于任意的
,都有
成立，则实数的取值范围
为（ ） A.
B. C.
D.
【答案】C
1(0,2]x ∈2(0,2]x
∈
2．【2018山西五校第一次联考（理)】已知，若对任意的，不等式恒成立,则
的最大值为（ )
A 。

B. 3 C. D.
【答案】A
【解析】令
，易得与互为反函数 与关于直线 对称原命题等价于 在上恒成立。

记
，记 ，同理可得，综上的最大值为 ，故选A 。

3．【2017辽宁大连八中模拟考试(理）】设函数在上存在导函数，对
任意的实数
都有
，当时，。

若
，则实数的取值范围是( ）
A. B 。

C. D.
【答案】A
0λ>()0,x ∈
+∞l n 0x
e x λλ-
≥λ
e
2
e
3
e
()(),l n x
f x e gx x λλ==()f x ()
g x ⇒
()
f x ()
g x y x =⇒
l n x
e x x λλ
≥≥()0,+∞()x
h x e x λ
=-⇒()'h x =
()()()()
110l n 0,l n ,'0;l n ,,'0x e x x h x x h x λλλλλλλ
λ
-=⇒=⇒∈∈+∞()()l n m i n
l n l n l n 0h x h e e λλλλλλλλλ
⇒==-=-≥⇒≤()l n x x x ϕλ=-e λ≤λ
e
()f x R
()f x 'x
()()2
4f x x f x =--(),0x ∈-∞()1
42f x x
+'<()()
3
132f m f m m +≤-++m
1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭3,2
⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭[)1,-+∞[)2,-+∞
4．【2018安徽合肥高三调研性检测(理）】已知函数,若有且仅有一个整
数，使，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因，故由题设问题转化为“有且仅有一个整数使得或”。

因为
，所以当时, ,函数
单调
递增;当时， ，函数单调递减，即函数在处取
最大值，由于，因此由题设可知，解之得，应填答案。

5．【207广西柳州铁路一中月考（文）】已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是_____
【答案】
【解析】由题意,y ′=ln x +1−2mx 令f ′（x )=ln x −2mx +1=0得ln x =2mx −1，
函数有两个极值点,等价于f ′(x ）=ln x −2mx +1有两个零点， 等价于函数y =ln x 与y =2mx −1的图象有两个交点，
()ln x a x
f x x
-=
k
()()2
0f k f k ⎡⎤->⎣⎦a
11l n 21l n 3123a -≤<-()ln x
f x a x
=
-k
()1
f k >()0
f k <()2
1ln x f x x -'=
0x e <<()0
f x '>()ln x f x a x
=-x e >()0
f x '<()ln x f x a x
=
-()ln x f x a x
=
-x e =23e <<()()
21
{
31f f ≤>11
l n 21l n 3123a -≤<-11
l n 21l n 3123a -≤<-()
()l n f x x xm x =-m
10,2⎛⎫
⎪
⎝⎭
()
()l n f x x xm x =-
，
当m =时，直线y =2mx −1与y =ln x 的图象相切，
由图可知，当0〈m 〈时，y =ln x 与y =2mx −1的图象有两个交点，
则实数m 的取值范围是（0， )，
故答案为：(0， ）.
6．【2018贵州遵义四中第一次月考(理）】已知函数在内
存在最小值,则的取值范围为__________．
【答案】 【解析】由题 ，令可得 或 ，当时在上恒成立， 在上单调递增,在内不存在最小值;当时
在和上单调递增,在 上单调递减,根据题意此时 得到;当时在和上单调递增,在 上单调递减,根据题意此时 得到；综上的取值范围为 7．【2018河北邢台第一次月考（文）】已知函数
的图象在点
12
1
2
1
21
2
()()
322
113f x x x a x
=++-()0,1a (
)()2,11,2--⋃()()
22
21f x x x a =+'+-()0
f x '=1x a =-
1x a =--0a =()0f x '≥R
()
f x R
()0,10a >()
f x (),1a -
∞--()1,a -+∞()1,1a a ---011a <-<12a <<0a <()
f x ()1
,a -+∞(),1a -∞--()1,1a a ---0
11a <--<21a -<<-a (
)()2,11,2--⋃()()3
l n ,fxxm x n m n R =++∈
处的切线方程为。

（1）若在上是单调函数,求的取值范围；
(2)证明：当时， .
【答案】（1） （2）见解析 【解析】试题分析:（1）函数
的图象在点处的切线方程为,得出，得出m 的值， 在上是单调函数，利用子集的
思想得解。

(2)证明：当时， ，可证出即可。

(2）证明：由(1)知.
设
则
， 令得；令得。

∴.
∵,∴，∴，∴ , ∴。

()()
1,1f 12
y =()
f x (),1a a +a
0x >()()3233x
fx x x x e >-++-{}
[)01,⋃+∞()()3
l n ,fxxm x n m n R =++∈()()1,1f 12
y =()'10f =()f x (),1a a +0x >()()3233x fx x x x e >-++-(
)()m i n
m a x
f x h x
>()()m i n 112f x f ==()()3233(0)x
h x xx x e x =-++->()()2'362x
h x x x x e =-++-()()23x x e x =-+()'0h x >02x <<()'0
h x <2x >()()2
m a x 24h x h e ==+2.8e <2
8e <2412e +
<()()m i n m a x f x h x >()()3233x
fx x x x e >-++-
8．【2018河南豫南九校第二次质量考评数学（文）】已知函数.（1)若在处的切线是，求实数的值；
（2)当时，函数有且仅有一个零点，若此时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析:(1）若在处的切线是得出解得a;
（2）有且仅有一个零点即方程（）有唯一的实数根,分离
（，即直线与函数(）的图象有唯一的交点，构造函数研究单调性得出最值即得解。

试题解析:
(1），（）
，
由已知，∴
(2）由已知（）
即方程（）有唯一的实数根
所以（）
即直线与函数（)的图象有唯一的交点
构造函数(）
（）
令，，
而，∴；,，；，，
∴，;，且,;，
所以
已知可化为
（
）的最小值
（
） 所以在上减,在
上增
所以
综上实数的取值范围是
9．【2017辽宁大连八中模拟考试（理)】已知函数
,函数。

（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若，求证:不等式： . 【答案】(1)略（2） （3）略
（Ⅱ) 即在上恒成立 设
,考虑到
,在上为增函数 ， 当时，
()1
x f x e a -=+()
l n ,g x a x x aR =+∈()y g x =(
)()1f x gx ≥+[)1,+∞()1,x ∈
+∞1
2l n 1x e x x -->-+0a
≤(
)()1f x gx ≥+1
l n 10x e x a a x --
+--≥[)1,+∞()1
l n 1x F xe x a a x -=-+--()10F =()
11x F x e a x --'=-[)1,+∞111,0x x e x
-≥-≥∴
0a ≤()0
F x '≥
在上为增函数， 恒成立
当时， ， 在上为增函数
,在上， ， 递减， ，这时不合题意，
综上所述,
（Ⅲ)要证明在上， 只需证明 由（Ⅱ）当a=0时,在上, 恒成立 再令 在上， ， 递增，所以 即，相加，得 所以原不等式成立。

10．【2018江西名校模拟考试第一次五校联考 数学（理）】已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求曲线
在处的切线方程； (2)若存在
，满足
，求的取值范围。

【解析】试题分析:(1）由求得
切线方程为;(2）将问题转化为在上有解，令
，
，再由求得，
在
()F x [)1,+∞()0
F x ≥0a >()10F '<()'F x '[)1,+∞()01,x ∃∈
+∞()01,x ()0F x '<()F x ()0
F x <0a ≤[)1,+∞1
2l n 1x e x x --
>-+(
)()1
l n1l n 0x e x x x ---+->[)1,+∞1
l n 10x e x --
-≥()l n Gx
x x =-[)1,+∞()11
10
x Gx x x ='-=-≥()
G x ()()110G
x G ≥=>110{ 0
x e ln x x ln x ---≥->(
)()1
l n1l n 0x e x x x ---+->()2l n x
f x a
x b x =-+()(),e f e 3y
a x
b =-+()32
y x be x x =--+2x =2
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦
()1
29f e e
≤+a ()3f e a e e =-+3231b e y xx y x '==+=+2| 13x y ='=⇒1316y
x =-11
ln 9a x x
≥
-2
,e e ⎡⎤⎣⎦
()11ln 9h x x x
=
-
()
((()
2
2
2
l n l n ,h '9l n x x x e e x x x ⎡⎤∈=⎣
⎦
2
e x e
≤≤()l 0
h x '<⇒()11
ln 9h x x x
=
-
上递减
. 试题解析:
（1）由，得. 所以， ，则，故所求切线方程为 即。

（2），即,
所以问题转化为在上有解。

令
， ,
则
因为,
所以, , 从而, ， 所以,即函数
在上递减，
因此,。

要使
在
上有解，必须有，即
所以的取值范围为
11．【2018江苏常州横林高级中学高三月考（理）】已知函数
，实数为常数）． （1）若
，且函数
在上的最小值为0，求的值；
2
,e e ⎡⎤⎣⎦
⇒
()()
222m i n
11112929h x h e a e e ==-≥-()23fee
a eba ee =-+=-+
b e =3
y x x
=+2
31y
x '=+2
| 13x y ='=()()821
32y x -+=
-1316y
x =-()1
29f x e
≤
+1
22l n 9x a x e e x -+≤+11ln 9a x x
≥-2
,e e ⎡⎤⎣⎦
()11ln 9h x x x
=
-2
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦
()()()()((()2
222222
l l l n 9119l n 9l n 9l n x x h x x xx x x x x --=+='=2
e x e
≤≤1
l n 2x ≤≤3e l
230-<l n 0x >()0
h x '<()11
ln 9h x x x
=
-2,e e ⎡⎤⎣⎦
()()
2
2m i n
1129hx h e e ==-11
ln 9a x x
≥
-2
,e e ⎡⎤⎣⎦()m
i n a h x ≥2
11
29a e
≥-a
211,29e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣
⎭()
2
l n (0fx xm x n x x =++>,m n ()2
300n m m +=>()f x [)1,x ∈+∞m
（2）若对于任意的实数,函数在区间上总是减函数，对每个
给定的，求的最大值．
【答案】(1）；（2）。

【解析】试题分析：（1）先求导，求函数在已知区间上的极值，注意极值点是否在定义域内,进行分类讨论，确定最小值，列出关于的方程即可得结果；（2）函数在区间上单
调递减，转化为导函数小于等于0恒成立，再转化为二次函数根的分布问题.
试题解析：（1）当时， ． 则．
令,得
（舍），．
①当〉1时，
∴当时，
． 令，得．
②当时, ≥0在上恒成立, 在上为增函数，当时， ． 令,得（舍）． 综上所述，所求为．
[]1,2,1a
ba ∈-=()f x ()
,a b n
m
()h n 2
3
e
()6,6,{
32, 6.n
n h n n n --<=--≥m
2
30n
m +=()
22
3l n fx x m x m x =+-()
()()222
233232x m x m m x m x m
fx x m x x x +-+-='=+-=()0f x '=32
m x =-
x m =m
x m
=()22
23l n m i n f x mm m =-2
2
2
3l n 0m m m -=2
3
e m =01m <
≤()f x '[)1,x ∈+∞()f x [)1,x ∈+∞1x =(
)m i n 1f x m =+10m
+=1m =-m
2
3
e
（2） ∵对于任意的实数, ， 在区间上总是减函数，
则对于x ∈（1,3)， ＜0，
∴在区间［1,3］上恒成立．
设g (x ）= ，∵，∴g (x ) 在区间[1，3］上恒成立．
由g (x )二次项系数为正，得 即 亦即
∵ =，
∴ 当n ＜6时,m ≤，当n ≥6时,m ≤,
∴ 当n ＜6时，h (n )= ，当n ≥6时，h (n )= ，
即
12．【2017天津市滨海新区八校联考（理科）】已知函数。

（1）若函数在定义域单调递增,求实数的取值范围；
（2）令， ，讨论函数的单调区间；
（3）如果在（1）的条件下， 在内恒成立，求实数
的取值范围. 【答案】（1）（2）见解析(3） []1,2a ∈1b a -=()f x ()
,a b ()
2
22n x m xn f x xm x x ='++
=++()0
f x '≤2
2
x m x n ++0x >0≤()()10,
{
30,
g g ≤≤20,{ 3180,
m n m n ++≤++≤2,{ 6.
3m n n m ≤--≤--(
)2n --63n ⎛⎫
--- ⎪⎝⎭()22
4633n n -=--6
3
n --2
n --6
3
n --2
n --()6,6,{
32, 6.n
n h n n n --<=--≥()2
1l n 2f x x
b x x =++()
f x b
()()
2
12a gx f x b x x +=--a R
∈()
g x ()2
21312f x x x x ≤
+-+(]
0,1x ∈b
2
b ≥-21b -≤
≤-
试题解析：(1)
,因为在定义域单调递增，所以恒成立
即
而（当且仅当时等号成立），故即为所求.
（2),
①若， ，则在单调递增
②若，令， , ,
则在单调递增，在
单调递减
（3）由题意,须对任意恒成立，
设，
∵，
，∴
， ,
∴即在上单调递增， 若对任意恒成立，
()1
f x x b x =++
'()f x ()0
f x '≥110x b b x x x ⎛⎫
++≥⇒≥-+ ⎪
⎝⎭12x x +≥=1x x
=
2
b ≥-()2l n 2a g x x x =-()1
g x a x
x ='-0a ≤()0g x '≥()
g x ()0,+∞0a >()0g x '>2
10a
x -<21
x a
<
()
g x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎭2
2113l n 1022x b x x x x --+++-≤
(]0,1x ∈()
22113l n122h x x b x x x x =--+++-()()33
111133h x x b x b x x x x ⎛
⎫=-++++=-+++ ⎪⎝⎭'2
b ≥-01x <≤1
x x -≥31b +≥3
1
0x >()0h x '>()h x (]0,1x ∈()()m a x 11h
x h b ==+()
22113l n1022h x x b x x x x =--+++-≤(]
0,1x ∈
则应令 综上所述， 即为所求. 13．【2018贵州省贵阳市第一中学高三上学期适应性月考（一）(理)】设
，。

（1)令,求
的单调区间;
（2)已知
在处取得极大值，求实数的取值范围。

【答案】(1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）先求导数得,再求函数导数，根据讨论导数是否变号,
进而确定单调区间(2）根据讨论单调性，确定极值取法：当时，时,单调递减，时
单调递增，在
处取得极小值；当
时，
时
单调递
减，当时，
时，
单调递增,时
单调递减，在
处取得极大
值。

试题解析：（Ⅰ）由
可得,
则，
当时，时，，函数单调递增，
当
时,
时,
，函数
单调递增,
时，
，函数
单调递减.
所以当时，函数
的单调递增区间为
，
当
时，函数的单调递增区间为
，单调递减区间为。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，。

①当
时，
单调递增，
()m a x 01h
x b ≤⇒≤-21b -≤
≤-
所以当时，单调递减， 当时，
单调递增，
所以在
处取得极小值，不合题意. ②当时，
，由（Ⅰ）知
在内单调递增， 可得当时,
，
时，
,
所以在(0,1）内单调递减，在内单调递增，
所以在
处取得极小值，不合题意。

③当时，即
，在(0，1)内单调递增，在
内单调递减，
所以当时，
,
单调递减，不合题意.
④当时，即 当时,
，
单调递增,
当时，
，
单调递减,
所以
在处取得极大值，合题意。

综上可知，实数a 的取值范围为。

14．【2018吉林省百校联盟九月联考数学（文)】已知函数,
．
（1）求函数的单调递增区间；
（
2
）
若
，
，且
,
，
，求实数的取值范围．
【答案】（1） 函数的单调递增区间为；（2） .
【解析】试题分析：（1)
， 解得，从而得到增区间；(2）， , 等价于对恒成立，或
()()2x
f x x e =-()0,x ∈+∞()f x ()()
2
2x g x fx e a x =+-()h x x
=1
x ∀2
x ()()()()11220g xh x g xh x ⎡⎤⎡⎤-->⎣⎦⎣⎦a
()
f x ()1,+∞(],1-∞()()10x
f x x e =->'1x >1x ∀2
x ()()()()11220g xh x g xh x ⎡⎤⎡⎤-->⎣⎦⎣⎦()()0gx
hx ->()0,x ∈+∞()()0gx hx -<
对恒成立，而,只需研究
的符号情况即可.
试题解析:
（1)依题意， ，
令，解得，故函数的单调递增区间为．
(2)当，对任意的，都有； 当时,对任意的，都有； 故对恒成立，或对恒成立, 而，设函数
, ． 则对恒成立，或对恒成立，
， ①当时，∵，∴，∴恒成立，
∴在上单调递增， ，
故在上恒成立，符合题意．
②当时，令，得，令,得， 故在上单调递减，所以， 而,设函数， , 则
,令，则
（）恒成立， ∴在上单调递增，∴恒成立， ∴在上单调递增,∴ 恒成立， 即，而,不合题意．
综上，故实数的取值范围为.
()0,x ∈+∞()()()1x g x h x x e a x -=--()1x
px e a x =--()()()'21x x x
fx e x e xe =+-=-()'0f x >1x >()f x ()1,+∞()()110gx
hx ->()20,x ∈+∞()()220gx hx ->()()110gx
hx -<()20,x ∈+∞()()220gx h x -<()()0gx
hx ->()0,x ∈+∞()()0gx hx -<()0,x ∈+∞()()()
1x g x h x x e a x -=--()1x
px e a x =--()0,x ∈+∞()0p x >()0,x ∈
+∞()0p x <()0,x ∈+∞()'x
p x e a =-1a ≤()0,x ∈
+∞1x
e >()'0p x >()p x ()0,x ∈
+∞()00p =()0
p x >()0,+∞1a >()'0
p x =ln x a =()'0
p x <0
l n x a <<()p x ()0,ln a ()()l n 00p
a p <=()21a p a e a =--()2
1a a e a ϕ=--()1,a ∈+∞()'2a a e a ϕ=-()2a H a e a =-()'2a
Ha e =->()1,a ∈+∞()'a ϕ()1,+∞()()''120a e ϕ
ϕ>=->()a ϕ()1,+∞()a ϕ()120e ϕ>
=->()0
p a >()ln 0p a <a
(],1-∞。