重积分习题
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2 y y 4 2 y
f ( x , y )dx dy
1
f ( x , y )dx dy
2
f ( x , y )dx
例6.16 交换累次积分
I d
2 4
பைடு நூலகம்
2 a cos 0
f ( cos , sin ) d
的次序
解
(a 0).
2 5
例6.7 计算 ( x y )d ,其中 D 由 x 2 y 2 x y 所确定.
D
解法1
( x y )d d
D 4
3 4
cos sin 0
(cos sin ) 2 d
解法2 令
1 x cos , 2 y 1 sin , 2
0
1 0
dx
例6.18
2 1
计算下列累次积分
x x
2) dx sin
3 ) dx
0 a a x
dy dx sin dy; 2 x 2y 2y a2 x2 1 dy; (a 0) 2 2 2 4a ( x y )
x
4
2
x
解 2）原式
dy
f (t ) e
8tdt
4t 2
8tf (t )
4t 2
[ 8te
e
8tdt
dt C ] (4t C )e
2
4t 2
由 f (0) 1 得 C 1,
f ( t ) (4t 1)e
2
4t 2
例6.23
设 f ( x, y ) 是定义在 0 x 1,0 y 1上的连续函数,
1 ab ( a b ) d 2D 2
解法2 排除法 取 f ( x ) 1
1 ab 原式 (a b)d 2D 2
2 2 x [ 1 yf ( x y )]d ,其中 D 是由 例6.4 计算
y x , y 1, x 1 围成的区域, f ( u) 为连续函数.
ydx
2 2 sin 0
yd dx ydy d
2 sin d
解法3
yd [( y 1) 1]d d 4 2
D D D
解法4
yd yS 4 2
D
x 2 , | x | | y | 1 , 1 例6.9 设二元函数 f ( x , y ) x 2 y 2 , 1 | x | | y | 2 ,
mS f ( x , y )d MS .
D D D
3) 中值定理: 若 f ( x, y ) 在 D 上连续,则
f ( x, y )d f ( , ) S
D
4. 计算 1) 直角坐标: 2) 极坐标: i) 适合用极坐标计算的被积函数: ii)适合用极坐标的积分域: 3) 利用奇偶性. ①若积分域 D 关于 y 轴对称, 则:
解法2
x2 y2 ( 2 2 )d a b D
y2 x2 ( 2 2 )d a b D
x2 y2 1 ( 2 2 )d [左端 + 右端] 2 a b D
1 1 1 ( 2 2 ) ( x 2 y 2 )d 2 a b D
4 R 1 1 1 2 R 1 1 3 ( 2 2 ) d d ( 2 2) 0 2 a 4 a b 0 b
1
1 x 0
2 xdy . 3
x2 y2 例6.2 设区域 D 为 x y R ,则 ( 2 2 )d _____ . a b D
2 2 2
解法1
x2 y2 ( 2 2 )d a b D
2 0
d
R 0
cos2 sin 2 3 R 4 1 1 ( 2 ) d ( 2 2) 2 4 a a b b
f (0,0) 1 ,求极限
x 0
lim
x2 0
dt
t x
f ( t , u)du
x3
解法1
x 0
lim
x 0
2
dt
t x
1 e
x 0
.
u2 0
f ( t , u)du
x3
1 e
x2 0
lim
du
0
x
f ( t , u)dt
x3
解法2
x2 0
1
2
y2 y
sin
x
dx 2y
3) d
4
0
2 a sin 0
4a
2 2
d
2 2
2
a
题型三 与二重积分有关的综合题：
例6.22 设 f (t ) 在 [0,) 上连续,且满足 1 4t 2 f ( t ) e f ( x 2 y 2 )dxdy 求 f ( t ). 2 x 2 y 2 4 t 2 解
1) I dy
0
2 0
1
2 y 2 y
x
f ( x , y )dx;
3) I dx 2 f ( x , y )dy;
x
解
1) I 0 dx 0 f ( x , y )dy
1
x2
1 dx 0
3) I dy
0 1 y y
2
2 x 2
f ( x , y )dy
解法1 直接法
a f ( x) b f ( y) a f ( y) b f ( x) d d f ( x) f ( y) f ( y) f ( x) D D
a f ( y) b f ( x) 1 a f ( x) b f ( y) d d ] 原式 [ 2 D f ( y) f ( y) f ( y) f ( x) D
D
2 f ( x , y )d f ( x , y )d D y 0 0
f ( x , y ) f ( x , y ) f ( x , y ) f ( x , y )
4) 利用对称性: 若 D 关于 y x 对称, 则
f ( x, y )d f ( y, x )d .`
A) C)
2 0
d
cos 0
f ( cos , sin ) d 可写成
B) D)
dy
0
1
y y2 0
1
f ( x , y )dx,
dy
0
1
1 y 2 0 x x2 0
f ( x , y )dx, f ( x , y )dy .
1 0
dx f ( x , y )dy ,
2a cos 是圆 x 2 y 2 2ax
2a 0 2a 2a
I
d d
arccos
2a
4
f ( cos , sin ) d f ( cos , sin ) d
arccos
2a
arccos
2a
例6.17 累次积分
( x y )d 2 xd 2 xS
D D
例6.8 计算 以及曲线
ydxdy ,其中 D 是由
D
x 2, y 0, y 2
x 2 y y 2 所围成.
解法1 解法2
ydxdy 0 dy 2
D
0 2 D 2 0
2
2 y y2
解
D
D1
x 2 y 2 2 y d
( 2 y x 2 y 2 )d ( x 2 y 2 2 y )d
D2
( 2 y x 2 y 2 )d [ ( x 2 y 2 2 y )d ( x 2 y 2 2 y )d ]
y x f ( x y ), f ( ), f ( ); x y
2 2
D
2 f ( x , y )d ; f ( x , y )d Dx 0 0;
f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y )
② 若积分域关于 x 轴对称, 则
3
D
解
2 2 x [ 1 yf ( x y )]dxdy D
xdxdy xyf ( x 2 y 2 )dxdy
D D
2 2 xyf ( x y )dxdy 0 （利用奇偶性) D
xdxdy dx 3 xdy
D 1 x
1
1
2 2t 2t 1 1 1 2 2 f ( x y )dxdy d f ( )d 2 f ( )d 0 0 0 2 2 2 2t 1 4t 2 f ( t ) e 2 f ( )d 0 2
x y 2 4 t 2
2
f (t ) 8te
例6.3 设区域 D( x , y ) | x 2 y 2 4, x 0, y 0, f ( x ) 为 D 上正
a f ( x) b f ( y) d ____ . 值连续函数, a , b 为常数,则 f ( x) f ( y) D ab ab A) ab B) C) (a b) D) 2 2
3x2 x 2 f (c , x ) lim x 0 3x2 1 1 f (0,0) 3 3
计算二重积分 f ( x , y )d , 其中 D {( x, y ) || x | | y | 2}.
D
解
原式=
4 dx
0 1 1 x 0
x 2 dy 4 2 d
0
2 sin cos 1 sin cos
d
1 d 2 4 0 sin cos 3
D D
特别的： f ( x )d f ( y )d
D D
题型一 计算二重积分
例6.1 计算 (| x | ye )d , 其中 D 由曲线 | x | | y | 1
x2 D
所围成. 解 原式 x d 4 xd
D D1
4 dx
0
D1 D D1
( x 2 y 2 2 y )d 2 ( 2 y x 2 y 2 )d
D D1
2 0
d d 2 d
3 0 0
2
2 sin 0
( 2 sin 2 )d 9
题型二
累次积分交换次序及计算
例6.15 交换下列累次积分次序
y d
2 D
2a 0
dx
y( x ) 0
1 2a 3 y dy y ( x )dx 3 0
2
1 2 3 a (1 cos t ) 3 a(1 cos t )dt 3 0
例6.12
计算
D
x 2 y 2 2 y d ,其中 D 由 x 2 y 2 4 所确定.
2
d dd
( x y )d
D
0
d
1 2
0
( cos sin 1)d d
0
2
1 2
0
d
2
解法3 解法4
1 1 ( x y )d [( x ) ( y ) 1]d 2 2 D D
重 积 分
1. 定义:
f ( x, y )d lim f (
D d0 k 1
n
k
, k ) k
2. 几何意义: 3. 性质: 1) 比较定理: 若 f ( x, y) g( x, y), 则
f ( x, y )d g( x, y )d .
2) 估值定理: 若 f ( x, y ) 在 D上连续,则
1 4 2 3 2 0
d sin(
4
)
1 4 2 ln( 2 1) 3
例6.10
x a( t sin t ) (0 t 2 ) 计算 y d ,其中 D 由 y a(1 cos t ) D
2
与 y 0 围成.
解
f ( x , y )dx dy
1
f ( x , y )dx dy
2
f ( x , y )dx
例6.16 交换累次积分
I d
2 4
பைடு நூலகம்
2 a cos 0
f ( cos , sin ) d
的次序
解
(a 0).
2 5
例6.7 计算 ( x y )d ,其中 D 由 x 2 y 2 x y 所确定.
D
解法1
( x y )d d
D 4
3 4
cos sin 0
(cos sin ) 2 d
解法2 令
1 x cos , 2 y 1 sin , 2
0
1 0
dx
例6.18
2 1
计算下列累次积分
x x
2) dx sin
3 ) dx
0 a a x
dy dx sin dy; 2 x 2y 2y a2 x2 1 dy; (a 0) 2 2 2 4a ( x y )
x
4
2
x
解 2）原式
dy
f (t ) e
8tdt
4t 2
8tf (t )
4t 2
[ 8te
e
8tdt
dt C ] (4t C )e
2
4t 2
由 f (0) 1 得 C 1,
f ( t ) (4t 1)e
2
4t 2
例6.23
设 f ( x, y ) 是定义在 0 x 1,0 y 1上的连续函数,
1 ab ( a b ) d 2D 2
解法2 排除法 取 f ( x ) 1
1 ab 原式 (a b)d 2D 2
2 2 x [ 1 yf ( x y )]d ,其中 D 是由 例6.4 计算
y x , y 1, x 1 围成的区域, f ( u) 为连续函数.
ydx
2 2 sin 0
yd dx ydy d
2 sin d
解法3
yd [( y 1) 1]d d 4 2
D D D
解法4
yd yS 4 2
D
x 2 , | x | | y | 1 , 1 例6.9 设二元函数 f ( x , y ) x 2 y 2 , 1 | x | | y | 2 ,
mS f ( x , y )d MS .
D D D
3) 中值定理: 若 f ( x, y ) 在 D 上连续,则
f ( x, y )d f ( , ) S
D
4. 计算 1) 直角坐标: 2) 极坐标: i) 适合用极坐标计算的被积函数: ii)适合用极坐标的积分域: 3) 利用奇偶性. ①若积分域 D 关于 y 轴对称, 则:
解法2
x2 y2 ( 2 2 )d a b D
y2 x2 ( 2 2 )d a b D
x2 y2 1 ( 2 2 )d [左端 + 右端] 2 a b D
1 1 1 ( 2 2 ) ( x 2 y 2 )d 2 a b D
4 R 1 1 1 2 R 1 1 3 ( 2 2 ) d d ( 2 2) 0 2 a 4 a b 0 b
1
1 x 0
2 xdy . 3
x2 y2 例6.2 设区域 D 为 x y R ,则 ( 2 2 )d _____ . a b D
2 2 2
解法1
x2 y2 ( 2 2 )d a b D
2 0
d
R 0
cos2 sin 2 3 R 4 1 1 ( 2 ) d ( 2 2) 2 4 a a b b
f (0,0) 1 ,求极限
x 0
lim
x2 0
dt
t x
f ( t , u)du
x3
解法1
x 0
lim
x 0
2
dt
t x
1 e
x 0
.
u2 0
f ( t , u)du
x3
1 e
x2 0
lim
du
0
x
f ( t , u)dt
x3
解法2
x2 0
1
2
y2 y
sin
x
dx 2y
3) d
4
0
2 a sin 0
4a
2 2
d
2 2
2
a
题型三 与二重积分有关的综合题：
例6.22 设 f (t ) 在 [0,) 上连续,且满足 1 4t 2 f ( t ) e f ( x 2 y 2 )dxdy 求 f ( t ). 2 x 2 y 2 4 t 2 解
1) I dy
0
2 0
1
2 y 2 y
x
f ( x , y )dx;
3) I dx 2 f ( x , y )dy;
x
解
1) I 0 dx 0 f ( x , y )dy
1
x2
1 dx 0
3) I dy
0 1 y y
2
2 x 2
f ( x , y )dy
解法1 直接法
a f ( x) b f ( y) a f ( y) b f ( x) d d f ( x) f ( y) f ( y) f ( x) D D
a f ( y) b f ( x) 1 a f ( x) b f ( y) d d ] 原式 [ 2 D f ( y) f ( y) f ( y) f ( x) D
D
2 f ( x , y )d f ( x , y )d D y 0 0
f ( x , y ) f ( x , y ) f ( x , y ) f ( x , y )
4) 利用对称性: 若 D 关于 y x 对称, 则
f ( x, y )d f ( y, x )d .`
A) C)
2 0
d
cos 0
f ( cos , sin ) d 可写成
B) D)
dy
0
1
y y2 0
1
f ( x , y )dx,
dy
0
1
1 y 2 0 x x2 0
f ( x , y )dx, f ( x , y )dy .
1 0
dx f ( x , y )dy ,
2a cos 是圆 x 2 y 2 2ax
2a 0 2a 2a
I
d d
arccos
2a
4
f ( cos , sin ) d f ( cos , sin ) d
arccos
2a
arccos
2a
例6.17 累次积分
( x y )d 2 xd 2 xS
D D
例6.8 计算 以及曲线
ydxdy ,其中 D 是由
D
x 2, y 0, y 2
x 2 y y 2 所围成.
解法1 解法2
ydxdy 0 dy 2
D
0 2 D 2 0
2
2 y y2
解
D
D1
x 2 y 2 2 y d
( 2 y x 2 y 2 )d ( x 2 y 2 2 y )d
D2
( 2 y x 2 y 2 )d [ ( x 2 y 2 2 y )d ( x 2 y 2 2 y )d ]
y x f ( x y ), f ( ), f ( ); x y
2 2
D
2 f ( x , y )d ; f ( x , y )d Dx 0 0;
f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y )
② 若积分域关于 x 轴对称, 则
3
D
解
2 2 x [ 1 yf ( x y )]dxdy D
xdxdy xyf ( x 2 y 2 )dxdy
D D
2 2 xyf ( x y )dxdy 0 （利用奇偶性) D
xdxdy dx 3 xdy
D 1 x
1
1
2 2t 2t 1 1 1 2 2 f ( x y )dxdy d f ( )d 2 f ( )d 0 0 0 2 2 2 2t 1 4t 2 f ( t ) e 2 f ( )d 0 2
x y 2 4 t 2
2
f (t ) 8te
例6.3 设区域 D( x , y ) | x 2 y 2 4, x 0, y 0, f ( x ) 为 D 上正
a f ( x) b f ( y) d ____ . 值连续函数, a , b 为常数,则 f ( x) f ( y) D ab ab A) ab B) C) (a b) D) 2 2
3x2 x 2 f (c , x ) lim x 0 3x2 1 1 f (0,0) 3 3
计算二重积分 f ( x , y )d , 其中 D {( x, y ) || x | | y | 2}.
D
解
原式=
4 dx
0 1 1 x 0
x 2 dy 4 2 d
0
2 sin cos 1 sin cos
d
1 d 2 4 0 sin cos 3
D D
特别的： f ( x )d f ( y )d
D D
题型一 计算二重积分
例6.1 计算 (| x | ye )d , 其中 D 由曲线 | x | | y | 1
x2 D
所围成. 解 原式 x d 4 xd
D D1
4 dx
0
D1 D D1
( x 2 y 2 2 y )d 2 ( 2 y x 2 y 2 )d
D D1
2 0
d d 2 d
3 0 0
2
2 sin 0
( 2 sin 2 )d 9
题型二
累次积分交换次序及计算
例6.15 交换下列累次积分次序
y d
2 D
2a 0
dx
y( x ) 0
1 2a 3 y dy y ( x )dx 3 0
2
1 2 3 a (1 cos t ) 3 a(1 cos t )dt 3 0
例6.12
计算
D
x 2 y 2 2 y d ,其中 D 由 x 2 y 2 4 所确定.
2
d dd
( x y )d
D
0
d
1 2
0
( cos sin 1)d d
0
2
1 2
0
d
2
解法3 解法4
1 1 ( x y )d [( x ) ( y ) 1]d 2 2 D D
重 积 分
1. 定义:
f ( x, y )d lim f (
D d0 k 1
n
k
, k ) k
2. 几何意义: 3. 性质: 1) 比较定理: 若 f ( x, y) g( x, y), 则
f ( x, y )d g( x, y )d .
2) 估值定理: 若 f ( x, y ) 在 D上连续,则
1 4 2 3 2 0
d sin(
4
)
1 4 2 ln( 2 1) 3
例6.10
x a( t sin t ) (0 t 2 ) 计算 y d ,其中 D 由 y a(1 cos t ) D
2
与 y 0 围成.
解