2012-2013学年湖北省武汉市东湖开发区九年级(上)期中数学试卷[1]

2012-2013学年湖北省武汉市东湖开发区九年级(上)期中数学试卷[1]
2012-2013学年湖北省武汉市东湖开发区九年级
（上）期中数学试卷
2012-2013学年湖北省武汉市东湖开发区九年级
（上）期中数学试卷
一、选择题：（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）二次根式的值是（）
A．3B．﹣3 C．9D．±3
2．（3分）下列计算正确的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）要使二次根式有意义，字母的取值范围是（）
A．x≥B．x≤C．x＞D．x＜
4．（3分）一元二次方程x2=x的根是（）
A．x=0 B．x=1 C．x1=0，x2=1 D．无实根
5．（3分）已知x=2是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣2a=0的一个解，则a的值为（）
A．0B．﹣1 C．1D．2
6．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣3=0，此方程可变形为（）
A．（x﹣3）2=3 B．（x﹣3）2=6 C．（x+3）
2=12
D
．（x﹣3）
2=12 7．（3分）下列图形中，中心对称图形有（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
8．（3分）下列图形中，由原图经旋转不能得到的图形是（）
A．B．C．D．
9．（3分）半径为
6的圆中，垂直平分半径的弦长为（）A．B．C．D．
10．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，∠A=40°，半径OE⊥AB，连接CE，则∠E=（）
A．5°B．10°C．15°D．20°
11．（3分）近几年来，国民经济和社会发展取得了新的成就，农民收入不断提高．据统计，某地区2005年﹣2008年农村居民人均年纯收入以相同的增长率x%逐年递增．如果2006年该地区农村居民人均年纯收入为2万元，下列判断：
①与上一年相比，2007年人均年纯收入增加的数量高于2005年人均年纯收入增加的数量；
②2005年人均年纯收入为2（1﹣x%）万元；
③2008年人均年纯收入为2（1+x%）2万元．
其中正确的是（）
A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③
12．（3分）已知：G是⊙O的半径OA的中点，OA=，GB⊥OA 交⊙O于B，弦AC⊥OB于F，交BG于D，连接DO并延长交⊙O于E．下列结论：
①∠CEO=45°；②∠C=75°；③CD=2；④CE=．
其中一定成立的是（）
A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）关于x的方程x2+3x﹣m=0的两根为x1和x2，则x1+x2=_________．
14．（3分）点A（﹣3，m）和点B（n，2）关于原点对称，则m+n=_________．
15．（3分）观察下列各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第10个图形中小圆点的个数为
_________．
16．（3分）（2011•宜宾）如图，在△ABC．中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④A1F=CE．其中正确的是_________（写出正确结论的序号）．
三、解答或证明（共9题，满分72分）
17．（6分）解方程：x2﹣4x﹣4=0．
18．（6分）计算：（﹣）÷+．
19．（6分）如图，A、B是⊙O上两点，C、D分别在半径OA、OB上，若AC=BD，求证：AD=BC．
20．（7分）（2012•合川区模拟）已知一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求此时m的值．
21．（7分）已知在平面直角坐标系中，Rt△ABC的位置如图所示（方格小正方形的边长为1）．
（1）把△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得△A1B1C1，A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1．请画出△A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标：A1_________，B1
_________，C1_________；
（2）线段AB、A1B1的中点分别为M、N，则△OMN的面积为_________平方单位．
22．（8分）（2011•芜湖）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．
23．（10分）某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少10个．
（1）设销售单价提高x元（x为正整数），写出每月销售量y （个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）假设这种篮球每月的销售利润为w元，试写出w与x 之间的函数关系式，并通过配方讨论，当销售单价定为多少元时，每月销售这种篮球的利润最大，最大利润为多少元？
24．（10分）如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在线段AB上，CF⊥CE，CE=CF，EF交AC于G，连接AF．
（1）填空：线段BE、AF的数量关系为_________，位置关系为_________；
（2）当=时，求证：=2；
（3）若当=n时，=，请直接写出n的值．
25．（12分）在直角坐标系中，正方形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴上，A点的坐标为（0、4）．
（1）将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°，得到正方形
ODEF，边DE交BC于G．求G点的坐标；
（2）如图，⊙O1与正方形ABCO四边都相切，直线MQ切⊙O1于点P，分别交y轴、x轴、线段BC于点M、N、Q．求证：O1N平分∠MO1Q．
（3）若H（﹣4、4），T为CA延长线上一动点，过T、H、A三点作⊙O2，AS⊥AC交O2于F．当T运动时（不包括A 点），AT﹣AS是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由．
2012-2013学年湖北省武汉市东湖开发区九年级
（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）二次根式的值是（）
A．3B．﹣3 C．9D．±3
考
点：
二次根式的性质与化简．
分
析：
根据二次根式的性质计算．
解答：解：=|3|=3．故选A．
点
评：
此题主要考查二次根式的性质：=|a|．
2．（3分）下列计算正确的是（）A．B．C．D．考
点：
二次根式的混合运算．
专计算题．
题：
分析：根据二次根式的性质化简可对A、B进行判断；根据二次根式有意义的条件和二次根式的乘法可对B进行判断；根据平方差公式可对C 进行判断．
解答：解：A、=，所以A选项错误；
B 、=×，所以B选项错误；
C、（﹣2）（+2）=3﹣4=﹣1，所以C选项错误；
D、===2，所以D 选项正确．
故选D．
点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
3．（3分）要使二次根式有意义，字母的取值范围是（）
A．x≥B．x≤C．x＞D．x＜
考
点：
二次根式有意义的条件．
分
析：
二次根式的被开方数应为非负数，列不等式求解．
解答：解：由题意得：1﹣2x≥0，解得x≤，
故选B．
点评：主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子（a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
4．（3分）一元二次方程x2=x的根是（）
A．x=0 B．x=1 C．x1=0，x2=1 D．无实根
考
点：
解一元二次方程-因式分解法．
专
题：
计算题．
分析：先移项得到x2﹣x=0，再把方程左边分解因式得到x（x ﹣1）=0，原方程转化为x=0或x﹣1=0，然后解两个一元一次方程即可．
解答：解：∵x2﹣x=0，∴x（x﹣1）=0，∴x=0或x﹣1=0，∴x1=0，x2=1．
故选C．
点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程
即可得到一元二次方程的解．也考查了分式的值为零的条件以及一元二次方程的解．
5．（3分）已知x=2是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣2a=0的一个解，则a的值为（）
A．0B．﹣1 C．1D．2
考
点：
一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
专
题：
方程思想．
分
析：
把方程的解代入方程，可以求出字母系数a的值．
解答：解：∵x=2是方程的解，∴4﹣2﹣2a=0
∴a=1．
故本题选C．
点评：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．
6．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣3=0，此方程可变形为（）
A．（x﹣3）2=3 B．（x﹣3）2=6 C．（x+3）
2=12 D．（x﹣3）
2=12
考
点：
解一元二次方程-配方法．
分析：在本题中，把常数项﹣3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方．
解答：解：由原方程移项，得
x2﹣6x=3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣6x+9=12，
配方，得
（x﹣3）2=12．
故选D．
点评：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7．（3分）下列图形中，中心对称图形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个
考
点：
中心对称图形．
分
析：
根据中心对称图形的定义和各图形的特点即可解决．
解
答：
解：只有图形⑤绕正五边形的中心旋转72°后与原图形重合，是旋转对称图形，
其余的图形绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．即①②③④一共有4个是中心对称图形．故选：B．
点
评：
本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．和正奇边形有关的一定不是中心对称图形．
8．（3分）下列图形中，由原图经旋转不能得到的图形是（）
A．B．C．D．
考
点：
旋转的性质．
专计算题．
题：
分析：选项A与原图轴对称，不能通过旋转得到，选项B、C、D可由原图分别顺时针旋转90°，180°，360°得到．
解答：解：A、与原图轴对称，不能通过旋转得到；
B、C、D可由原图分别顺时针旋转90°，180°，360°得到．
故选A．
点评：本题考查了旋转性质的运用．关键是把每个选项中的图形与原图进行比较，确定旋转角．
9．（3分）半径为6的圆中，垂直平分半径的弦长为（）A．B．C．D．
考
点：
垂径定理．
分析：首先根据题意画出图形，然后由垂径定理与勾股定理，求得答案．
解答：解：根据题意，画出图形，如右图
由题意知，OA=6，OD=CD=3，OC⊥AB，∴AD=BD，
在Rt△AOD中，AD==3，
∴AB=2AD=6．
故选B．
点评：此题考查了垂径定理与勾股定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
10．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，∠A=40°，半径OE
⊥AB，连接CE，则∠E=（）
A．5°B．10°C．15°D．20°
考
点：
三角形的外接圆与外心．
分析：先利用已知条件解出各段弧的角度，连接OC，求出
∠EOC的角度，再利用等腰三角形的性质，解出∠E．
解答：解：如图，连接OC．
∵半径OE⊥AB，
∴弧BE的角度=弧AB的角度=（180°﹣60°﹣40°）×=80°，
弧BC的角度=80°，
∴∠EOC=160°，
∴∠E=（180°﹣160°）=10°，故选B．
点评：考查了圆周角以及圆心角的计算方法，以及等腰三角形中各内角的计算．
11．（3分）近几年来，国民经济和社会发展取得了新的成就，农民收入不断提高．据统计，某地区2005年﹣2008年农村居民人均年纯收入以相同的增长率x%逐年递增．如果2006年该地区农村居民人均年纯收入为2万元，下列判断：
①与上一年相比，2007年人均年纯收入增加的数量高于2005年人均年纯收入增加的数量；
②2005年人均年纯收入为2（1﹣x%）万元；
③2008年人均年纯收入为2（1+x%）2万元．
其中正确的是（）
A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③
考
点：
由实际问题抽象出一元二次方程．
专
题：
增长率问题．
分析：两年的增长率相同，但增长的基数不同，基数大的增长的量就大；
先求得2007的人均年纯收入为2×（1+x），2008年的人
均年纯收入是在2007年的人均纯收入基础上增加的为2×（1+x）（1+x），化简即可．
解答：解：①∵2005年﹣2008年是农村居民人均年纯收入以相同的增长率x%逐年递增，那么2007年人均年纯收入增加的数量高于2005年人均年纯收入增加的数量，正确；
②2005年的人均纯收入为2
÷（1﹣x%）万元，错误；
③2008年的人均年纯收入是在2007年的人均纯收入基
础上增加的为2（1+x%）（1+x%）=2（1+x%）2万元，正确；
正确的有①③，故选B．
点
评：
易错点是理解求表示单位1的量用除法计算；重点应掌握若变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．12．（3分）已知：G是⊙O的半径OA的中点，OA=，GB⊥OA 交⊙O于B，弦AC⊥OB于F，交BG于D，连接DO并延长交⊙O于E．下列结论：
①∠CEO=45°；②∠C=75°；③CD=2；④CE=．
其中一定成立的是（）
A．①②③④B ．①②④C．①③④D．②③④
考点：垂径定理；全等三角形的性质；全等三角形的判定；圆周角定理；解直角三角形．
分析：①据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得
∠OBG=30°，∠BOG=60°；可求得∠OAF=30°，连接OC，证明OC⊥OD，可得△OCE为等腰直角三角形，可得∠CEO=45°；
②∠C=∠ECO+∠OCD，说明∠OCF=30°即可得出
∠C=75°；
③利用直角△COD的余弦函数，由∠OCD=30°，可求出CD=2；
④利用直角三角形的勾股定理，在△CEO中，可求得CE=．
解答：解：∵G是⊙O的半径OA的中点，OA=，∴OG=，
∵OB=OC=OE=OA=，
∴OG=OB，
∴∠OBG=30°，∠BOG=60°，
∴∠A=30°，
∵DG=DG，∠DGO=∠DGA=90°，OG=GA，∴△DGO≌△DGA（SAS），
∴∠DOG=30°；
同理可证得∠DOF=30°，
∴∠ODF=60°．
又∵同理可证△COF≌△AOF，∴∠OCF=30°．
∴∠OCF+∠ODF=90°，
∴∠DOC=90°，
∴OC⊥OD，
又∵OC=OE，
∴∠OCE=∠CEO=45°，故①结论成立；
∴∠C=∠OCF+∠OCE=30°+45°=75°，故②结论成立；
∵在直角△COD中，=，
∵OC=，
∴CD=2，故③结论成立；
∵在直角△COE中，CE===，∴④结论成立；
综上所述，故选A．
点
评：
本题为综合考查题目，此类问题的解法是据已知条件，分别对每一个结论进行推理论证，最后得出结论来进行判断．
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）关于x的方程x2+3x﹣m=0的两根为x1和x2，则x1+x2=﹣3．
考
点：
一元二次方程的解．
分析：由于方程x2+3x﹣m=0的两根为x1和x2，所以直接利用根与系数的关系即可得到两根之和．
解答：解：∵方程x2+3x﹣m=0的两根为x1和x2，∴x1+x2=﹣3．
故答案为﹣3．
点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
14．（3分）点A（﹣3，m）和点B（n，2）关于原点对称，则m+n=1．
考
点：
关于原点对称的点的坐标．
分析：根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可得出m、n的值，代入可得出代数式的值．
解解：∵点A（﹣3，m）和点B（n，2）关于原点对称，
答：∴m=﹣2，n=3，
故m+n=3﹣2=1．
故答案为：1．
点
评：
本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，注意掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
15．（3分）观察下列各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第10个图形中小圆点的个数为
91．
考
点：
规律型：图形的变化类．
分
析：
根据图形逐个进行分析，第一个图形小圆点的个数为
1+1×0，第二个图形小圆点的个数为1+2×1，…那么第n个图形的小圆点的个数为1+n×（n﹣1），则第10个图形的小圆点的个数为91．
解
答：
解：通过分析图形可得：
∵第一个图形小圆点的个数为1+1×0，
第二个图形小圆点的个数为1+2×1，
第三个图形小圆点的个数为1+3×2，
第四个图形小圆点的个数为1+4×3，
∴第n个图形的小圆点的个数为n2﹣n+1，
∴第10个图形的小圆点的个数=n2﹣n+1=100﹣
10+1=43．
故答案为：91．
点
评：
此题主要考查了通过分析图形的变化总结规律，关键是通过归纳与总结，得到第n个图形的小圆点的个数为n2﹣n+1．
16．（3分）（2011•宜宾）如图，在△ABC．中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④A1F=CE．其中正确的是①②④（写出正确结论的序号）．
考
点：
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
专
题：
压轴题．
分
析：
①两个不同的三角形中有两个角相等，那么第三个角也
相等；
②根据两边及一边的对角对应相等的两三角形不一定全
等，进而得不到△ADE与△CDF全等，可得结论A1E 与CF不一定全等；
③∠CDF=α，而∠C与顺时针旋转的度数不一定相等，所以DF与FC不一定相等；
④用角角边证明△A1BF≌△CBE后可得A1F=CE．
解答：解：①∠C=∠C1（旋转后所得三角形与原三角形完全相等）
又∵∠DFC=∠BFC1（对顶角相等）
∴∠CDF=∠C1BF=α，故结论①正确；
②∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠A1=∠C，A1B=CB，∠A1BF=∠CBE，
∴△A1BF≌△CBE（ASA），
∴BF=BE，
∴A1B﹣BE=BC﹣BF，
∴A1E=CF，故②正确；
③在三角形DFC中，∠C与∠CDF=α度不一定相等，所以DF与FC不一定相等，
故结论③不一定正确；
④∠A1=∠C，BC=A1B，∠A1BF=∠CBE
∴△A1BF≌△CBE（ASA）
那么A1F=CE．
故结论④正确．
故答案为：①②④．
点评：本题考查旋转的性质，其中涉及三角形全等的定理和性质：角角边证明三角形全等，全等三角形对应边相等．
三、解答或证明（共9题，满分72分）17．（6分）解方程：x2﹣4x﹣4=0．
考
点：
解一元二次方程-公式法．
分
析：
求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
解答：解：a=1，b=﹣4，c=﹣4，
b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣4）=32＞0，x=，
x1=2+2，x2=2﹣2．
点评：本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．
18．（6分）计算：（﹣）÷+．
考
点：
二次根式的混合运算．
分
析：
先去括号，再计算除法，最后计算加减法．
解答：解：原式=
=
=．
点评：本题主要考查了二次根式的混合运算，在计算时，先去括号，再计算乘除，最后计算加减．
19．（6
分）如图，A、B是⊙O上两点，C、D分别在半径
OA、OB上，若AC=BD，求证：AD=BC．
考
点：
全等三角形的判定与性质；圆的认识．
专
题：
证明题．
分析：由AC=BD知，OC=OD，可得△OAD≌△OBC，即可证得AD=BC．
解答：证明：∵OA=OB，AC=BD，
∴OC=OD．
又∵∠COB=∠DOA，OA=OB，∴△OAD≌△OBC，
∴AD=BC．
点
评：
本题考查了全等三角形性质及其判定，是基础题．
20．（7分）（2012•合川区模拟）已知一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求此时m的值．考
点：
根的判别式；一元二次方程的解．
专
题：
计算题．
分析：（1）方程x2﹣4x+k=0有两个实数根，即知△≥0，解可求k的取值范围；
（2）结合（1）中k≤4，且k是符合条件的最大整数，可知k=4，把k=4代入x2﹣4x+k=0中，易解x=2，再把x=2代入x2+mx﹣1=0中，易求m．
解答：解：（1）∵方程x2﹣4x+k=0有两个实数根，∴△≥0，
即16﹣4k≥0，
解得k≤4；
（2）∵k≤4，且k是符合条件的最大整数，∴k=4，
解方程x2﹣4x+4=0得x=2，
把x=2代入x2+mx﹣1=0中，可得
4+2m﹣1=0，
解得m=﹣．
点评：本题考查了根的判别式、解不等式，解题的关键是知道△≥0⇔方程有两个实数根．
21．（7分）已知在平面直角坐标系中，Rt△ABC的位置如图所示（方格小正方形的边长为1）．
（1）把△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得△A1B1C1，A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1．请画出△A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标：A1（﹣5，1），B1（﹣1，5），C1（﹣1，1）；
（2）线段AB、A1B1的中点分别为M、N，则△OMN的面积为9平方单位．
考点：作图-旋转变换．
专
题：
作图题；网格型．
分析：（1）已知了旋转中心，旋转方向和旋转角度，可先连接OA、OB、OC，分别按要求旋转得到对应的点A1、A2、A3；再顺次连接上述三点，即可得到所求作的三角形，然后根据三点的位置，来确定它们的坐标；
（2）由图可得到M、N的坐标，此时发现MN∥x轴，因此以MN为底，M点（或N点）的纵坐标为高，即可得到△A1B1C1的面积．
解答：解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
由图可知：A1（﹣5，1）、B1（﹣1，5）、C1（﹣1，1）．
（2）由图知：M（3，3）、N（﹣3，3）；
∴△OMN的面积：S=×6×3=9．
点评：在旋转变换作图中，一定要注意几个关键点：旋转中心、旋转方向和旋转角度，确定了上述三个要点，作图问题就能准确解答．
22．（8分）（2011•芜湖）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．
考
点：
切线的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理．
专
题：
几何综合题；压轴题．
分
析：
（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为⊙O 的切线；
（2）过O作OF⊥AB，则
∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩
形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5﹣x）2+（6﹣x）2=25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB 的长．
解
答：
（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC=FD，OF=CD．
∵DC+DA=6，
设AD=x，则OF=CD=6﹣x，
∵⊙O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5﹣x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．即（5﹣x）2+（6﹣x）2=25，
化简得x2﹣11x+18=0，
解得x1=2，x2=9．
∵CD=6﹣x大于0，故x=9舍去，
∴x=2，
从而AD=2，AF=5﹣2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6．
点
评：
本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．
23．（10分）某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少10个．
（1）设销售单价提高x元（x为正整数），写出每月销售量y （个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）假设这种篮球每月的销售利润为w元，试写出w与x 之间的函数关系式，并通过配方讨论，当销售单价定为多少元时，每月销售这种篮球的利润最大，最大利润为多少元？
考
点：
二次函数的应用．
分
析：
（1）用原来的销售量去掉随着销售单价提高而减少的销售量就可得出函数关系式；
（2）根据销售利润是销售量与销售一个获得利润的乘
积，建立二次函数，进一步用配方法解决求最大值问题．
解
答：
解：（1）由题意得：
y=500﹣10x．（2分）
（2）w=（50﹣40+x）（500﹣10x）（4分）
=5000+400x﹣10x2（6分）
=﹣10（x﹣20）2+9000（8分）
当x=20时，w有最大值，50+20=70，
即当销售单价定为70元时，每月销售这种篮球的利润最大，最大利润为9000元．（10分）
点评：利用二次函数解决实际问题，抓住基本数量关系，写出函数关系式，用配方法解决求最值问题．
24．（10分）如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在线段AB上，CF⊥CE，CE=CF，EF交AC于G，连接AF．
（1）填空：线段BE、AF的数量关系为BE=AF，位置关系为BE⊥AF；
（2）当=时，求证：=2；
（3）若当=n时，=，请直接写出n的值．
考
点：
旋转的性质；全等三角形的判定与性质．
专
题：
证明题；探究型．
分析：（1）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF⊥CE，可推出∠ECB=∠ACF，且CE=CF，由此可得
△ECB≌△FCA，即得BE=AF，∠CBE=∠CAF，且∠CBE+∠CAB=90°，故∠CAF+∠CAB=90°，即
BE⊥AF；
（2）作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，可得出
GM=GN，从而有S△AEG=2S△AFG，即证=2；
（3）根据（2）的推理过程，知S△AEG=nS△AFG，则，即可求得n的值．
解答：（1）解：∵∠ACB=90°，CF⊥CE，
∴∠ECB=∠ACF．
又AC=BC，CE=CF，
∴△ECB≌△FCA．
∴BE=AF，∠CBE=∠CAF，
又∠CBE+∠CAB=90°，
∴∠CAF+∠CAB=90°，
即BE=AF，BE⊥AF．
（2）证明：作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，
∵△ACF可由△BCE绕点C顺时针方向旋转90°而得
到，
∴AF=BE，∠CAF=∠CBE=45°．∴AE=2AF，∠CAF=∠CAB，
∴GM=GN ．
∴S △AEG=2S
△AFG
，
∴EG=2GF，
∴=2．
（3）解：由（2），得当=n时，S△AEG=nS△AFG，则，
∴当n=时，=．
点评：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、旋转的性质，能够从特殊推广到一般发现规律．
25．（12分）在直角坐标系中，正方形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴上，A点的坐标为（0、4）．
（1）将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°，得到正方形
ODEF，边DE交BC于G．求G点的坐标；
（2）如图，⊙O1与正方形ABCO四边都相切，直线MQ切⊙O1于点P，分别交y轴、x轴、线段BC于点M、N、Q．求证：O1N平分∠MO1Q．
（3）若H（﹣4、4），T为CA延长线上一动点，过T、H、A三点作⊙O2，AS⊥AC交O2于F．当T运动时（不包括A 点），AT﹣AS是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由．
考
点：
正多边形和圆．
专
题：
证明题；探究型．
分析：（1）求出旋转角∠AOD、∠FOC的度数为30°，进而求出∠GOC的度数，再利用三角函数求出G点坐标；（2）由切线长定理证得∠MO1Q=90°，由切线长定理或其他方法证得∠NO1Q=45°，O1N平分∠MO1Q；（3）在AT上取点V，使TV=AS，构造出全等三角形△HTV≌△HSA ，判断出△HA V为等腰直角三角形，求得AT﹣AS=A V=为定值．
解答：解：（1）连接OG，
∵∠AOD=∠FOC=30°，由轴对称可得∠DOG=∠COG=30°，
又∴OC=4，
∵CG=OC•tan∠COG=4×=，（2分）
∴G（4，）；（3分）
（2）∵BQ∥AM，
∴∠BQM+∠AMQ=180°，
根据切线长定理，∠O 1QM+∠Q1MQ=180°×=90°，∴∠MO1Q=180°﹣90°=90°，（5分）
由切线长定理∠NO1Q=45°，
∴O1N平分∠MO1Q．（7分）
（3）AQ﹣AF的值是定值为4，（8分）
在AT上取点V，使TV=AS，即AT﹣AS=A V，
∵AS⊥AC，
∴∠THS=∠TAS=90°，
∵H（﹣4、4），A（0、4），
∴AH⊥AO；
又∵∠OAC=45°，
∴∠TAH=45°，（9分）
∵∠THS=∠TAS=90°，
∴∠TSH=45°，
∴HT=HS；
又∠HTV=∠HAS，TV=AS，
∴△HTV≌△HSA，（11分）
∴△HA V为等腰直角三角形，
∴AT
﹣AS=A
V=，AH=4．（12分）
点评：（1）此题不仅要熟悉旋转角，还要知道旋转不变性，并联系特殊三角形用勾股定理解答；
（2）运用切割线定理是解答此题的关键；
（3）构造全等三角形，比作辅助线难度要大，但确是一种有效的解题方法．
参与本试卷答题和审题的老师有：bjy；lanchong；王岑；gsls；zhangCF；73zzx；wdyzwbf；zcx；zhqd；zjx111；sjzx；shenmeng；WWF；CJX；kuaile；nhx600；libaojia；gbl210；HJJ；zyc；dbz1018；438011（排名不分先后）
菁优网
2013年12月18日。