小学奥数六年级奥数天天练(高难度)

学而思奥数网天天练周练习（六年级）

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成绩：

答：

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第二题：求面积

右图中，ABCD是边长为1的正方形，A，E，F，G，H分别是四条边AB，BC，CD，DA的中点，计算图中红色八边形的面积。

第一题：阴影面积

如右图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC．当C点在什么位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC和BFC 的面积和最大。

答：

答：

第三题：正方形

如图所示，ABCD 是一边长为4cm 的正方形，E 是AD 的中点，而F 是BC 的中点。以C 为圆心、半径为4cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于G ，以F 为圆心、半径为2cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于H 点，若图中1S 和2S 两块面积之差为2π(cm )m n -（其中m 、n 为正整数），请问m n +之值为何？

第四题：追击问题

如下图，甲从A 出发，不断往返于AB 之间行走。乙从C 出发，沿C —E —F —D —C 围绕矩形不断行走。甲的速度是5米/秒，乙的速度是4米/秒，甲从背后第一次追上乙的地点离D 点____________米。

AC=80米，CD=EF=120米，CE=DF=30米，DB=100米

F E

D

C

B

A

第五题：平均数

有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数．将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数．那么这18个数的平均数是：_______．

答：答：

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第一题答案：

解答：

两弯月形面积＝

22211111

88822

AC BC AB AB BC AC BC πππ⨯+⨯-⨯+⨯⨯=⨯⨯本题即AC ×BC 何时有最大值.因为

222AC BC AB +=，当22AC BC =时，2

2

2

2

()AC BC AC BC ⨯=⨯有最大值，此

时AC ×BC 有最大值，即AC BC =时，阴影面积最大.

第二题答案：

解答：如图，易知蓝边正方形面积为15

，△ABD 面积为

18，△BCD 面积为1

20

， 所以△ABC 面积为113

82040

-=，可证

AE ∶EB ＝1∶4，

黄色三角形面积为△ABC 的

1

9

，等于1

120，由此可得，所求八边形的面积是：111451206

-⨯=. 至此，我们对各部分的面积都已计算出来，如下图所示.

【又解】设O 为正方形中心（对角线交点），连接OE 、OF ，分别与AF 、BG 交于M 、N ，设AF 与EC 的交点为P ，连接OP ，△MOF 的面积为正方形面积的

1

16

，N 为OF 中点，△OPN 面积等于△FPN 面积，又△OPN 面积与△OPM 面积相等，所以△OPN 面积为△MOF 面积的

13，为正方形面积的148

，八边形面积等于△OPM 面积的8倍，为正方

形面积的16

.

第三题答案：

解答：（法1）2

248FCDE S cm =⨯=，

21

444BCD S ππ=⨯⨯=扇形2(cm )，

221

=2=cm 4

BFH S ππ⨯⨯扇形（）

而

12=4--8

FCDE BCD BFH S S S S S ππ-=--扇形扇形3π8=-2(cm )，

所以3m =，8n =，3811m n +=+=． （法2）如右上图，

1S S +=

BFEA BFH

S S -扇形2422π48π⨯-⨯⨯÷=-2(cm )，

1244444164ABCD BCD

S S S S ππ+=-=⨯-⨯⨯÷=-扇形2(cm )，

所以，

12(8π)(164π)3π8S S -=---=-2(cm )，

故3811m n +=+=．

第四题答案：

解答：若甲要从背后追上乙，只有甲从

D C →时才有可能，且当甲到达D 时，在DC 上乙离D 的距离不能超过1201205424-÷⨯=米．

而甲第一次以上述行走方向到达D 时，要用(80120100100)580+++÷=秒，以后每隔(80120100)25120++⨯÷=秒到达一次． 乙走一圈的距离为(12030)2300+⨯=米． 设当甲第x 次以上述行走方向到达D 时，乙在DC 上离D 的距离不超过24米．

由于此时甲共走了[80120(1)]x +-秒，所以乙走了4[80120(1)]x ⨯+-米，而乙走的路程比300米的整数倍多出来的部分在302120180⨯+=米和18024204+=米之间，所以有4[80120(1)]x ⨯+-除以300的余数在180到204之间，即(480160)x -除以300的余数在180~204之间．

即480x 除以300的余数在40~64之间，也即180x 除以300的余数在40~64之间． 显然当2x =时，360300÷的余数为60，在40~64之间．

这时，乙走了4[80120(21)]800⨯+⨯-=米，离D 点800300218020-⨯-=米．那么当甲追上乙时离D 点20(54)5100÷-⨯=米．

第五题答案：

解答：一般而言，4个不同的数字共可组成4424P =个不同的4位数．

如果只能组成18个不同的4位数，说明其

中必有0，这样才会组成332118⨯⨯⨯= 个

不同的4位数．

在这四个不同的数中，则设最小的数

20a bc m =，倒数第二个则是20cb a n =，两

数正好是一对反序数．

根据完全平方数的特点，a 、c 两数必是1、4、5、6、9之中的两个，且b 在a 、c 之间． 可以分为以下4类：

⑴当4c =时，在1024、1034中，只有1024为完全平方数，但4201不是；

⑵当5c =时，在1025、1035、1045中没有完全平方数；

⑶当6c =时，在1026、1036、1046、1056、4056中也没有完全平方数；

⑷当9c =时，在形为109b 的数中，只有2331089=， 而2980199=，符合题意；在

形为409b 的数中，由于2633969=，2674489=，均不符合；

在形为509b 的数中，由于2735329=，不符合；

在形为609b 的数中，由于2775929=，不符合．

所以，符合条件的数只能是由1、0、8、9四个数组成的四位数．

求这18个数的和，有两种方法，一种是枚举法，另一种是概率法． 概率法的大致思路如下：对于没有0的四位数a ，b ，c ，d 排列成互不相同的四位数时，共有24个数，每个数字在每个数位上出现的概率是一样的，所以，每个数字在每个数位上都出现2446÷=次．则总和为：

()61111a b c d +++⨯⨯．

而其中如果有一个数是0，则在此基础上，