1.4 等腰梯形的性质和判定(1)
1.4 等腰梯形的性质和判定(1)
1.4 等腰梯形的性质和判定(1) 教案 班级 姓名 学号九年级数学备课组教学目标：1、能证明等腰梯形的性质定理和判定定理。
2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力。
3、经历对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。
4、感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法。
教学重点：等腰梯形的性质和判定。
教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）． 教学过程：创设情境：我们曾用等腰三角形剪出了等腰梯形（如图），并探索得到等腰梯形的性质和判定。
现在我们来证明有关等腰梯形的一些结论。
1.什么叫梯形一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形.2.两种特殊的梯形直角梯形：有一个角是直角的梯形叫直角梯形等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形 3、根据等腰梯形的定义,一个图形要成为等腰梯形,首先它必须是_____,还要具备_____相等;二、等腰梯形的判定：1、定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．、2、定理的证明：已知：求证：分析：本题可 以从不同角度着手证明。
3、定理的书写格式：如图，∵______________________________∴______________________________三、等腰梯形的性质：定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。
EDCB ADCBA定理2、等腰梯形的两条对角线相等。
四、典型示例：1、 如图梯形ABCD 中，A D ∥BC ，M 是AD 的中点，∠MBC=∠MCB求证：四边形ABFE 是等腰梯形；2 在梯形ABCD 中，AD ∥BC AB ＝DC ＝AD ＝5 CA ⊥AB ，求BC 之长和∠D 的度数.3．已知：，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝40°，∠C ＝50°，M ，N 分别是BC ，AD 边的中点．BC ＞AD ．求证：MN=21（BC-AD ）4，△ABC 中AB ＝BC ，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，试说明四边形EBCD 是等腰梯形．五、巩固练习1.四边形的四个内角的度数比是2∶3∶3∶4，则这个四边形是（ ）A.等腰梯形B.直角梯形C.平行四边形D.不能确定2.在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于E ，且AE =AD ，BC =3AD ，则∠B 等于（ ） A.30° B.45° C.60° D.135°3.若等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，那么图中全等三角形共有_______对；若梯形ABCD 为一般梯形，那么图中面积相等的三角形共有_______对.4.梯形的上底长为5 cm ，将一腰平移到上底的另一端点位置后与另一腰和下底所构成的三角形的周长为20 cm ，那么梯形的周长为_______.5.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =50°，∠C =80°，AD =8，BC =11，则CD =_______.6.等腰梯形的腰长为5 cm ，上、下底的长分别为6 cm 和12 cm ，则它的面积为_______.7.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠B =90°，∠C =45°，CD =10 cm ，BC =2AD ，则梯形的面积为_______.8、四边形ABCD 是等腰梯形，A D ∥BC ，AB=DC ，PB=PC. 求证：PA=PDB CA M DA DCBP9、用一块面积为450c㎡的等腰梯形彩纸做风筝,为了牢固起见,用竹条做梯形的对角线,对角线恰好互相垂直,那么至少需要竹条_______㎝.10、已知等腰梯形ABCD、AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD＝3cm，BC＝7cm，求梯形的面积S.11、.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，则S 梯形ABCD是S△ABE的2倍吗？为什么？六、课堂小结１．我们今天学习了哪几种梯形是等腰梯形？２．在研究梯形问题时用了哪些方法将梯形问题转化为其他图形的问？七、布置作业。
苏科版九年级数学上册第一单元《图形与证明》(1)小结+测试题
数学九年级（上）第一章知识点归纳总结1.1 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。
1.2 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。
角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半。
1.3 平行四边形的性质与判定：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
定理1：平行四边形的对边相等。
定理2：平行四边形的对角相等。
定理3：平行四边形的对角线互相平分。
判定——从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
3两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
从角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
矩形的性质与判定：定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形。
定理1：矩形的4个角都是直角。
定理2：矩形的对角线相等。
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：1有三个角是直角的四边形是矩形。
2对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形的性质与判定：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
定理1：菱形的4边都相等。
定理2：菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
判定：1四条边都相等的四边形是菱形。
2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形的性质与判定：正方形的4个角都是直角，4条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。
判定：1有一个角是直角的菱形是正方形。
等腰梯形的性质及证明
等腰梯形的性质及证明等腰梯形是一种特殊的梯形，其两边腰长相等。
在这篇文章中，我们将讨论等腰梯形的性质以及如何证明这些性质。
首先，我们来看一下等腰梯形的定义。
1.基角：等腰梯形的两个底边之间的角被称为基角。
2.腰角：等腰梯形的两个腰边与底边之间的角被称为腰角。
3.顶角：等腰梯形的两个腰边之间的角被称为顶角。
现在，我们来讨论等腰梯形的性质：性质1：等腰梯形的两个底边平行。
证明：我们可以利用反证法来证明这个性质。
假设等腰梯形的两个底边不平行，那么根据平行线的性质，腰边与底边之间的对应角也不相等。
这与等腰梯形的定义相矛盾，因此我们可以得出结论：等腰梯形的两个底边平行。
性质2：等腰梯形的两个腰边相等。
证明：我们可以利用切线与弦的性质来证明这个性质。
首先，我们将等腰梯形的两个腰边延长，并在延长线上取两个点，使得两个延长线与底边相交。
然后，连接这两个点与等腰梯形的垂线相交的点，得到两个三角形。
根据三角形的性质，我们知道，当两个角是等腰三角形的顶角时，这两个三角形是等腰三角形。
根据等腰三角形的定义，我们可以得出结论：等腰梯形的两个腰边相等。
性质3：等腰梯形的基角相等。
证明：我们可以利用同位角的性质来证明这个性质。
首先，我们将等腰梯形的两个底边延长，并在延长线上取两个点，使得两个延长线与腰边相交。
然后，连接这两个点与等腰梯形的垂线相交的点，得到两个三角形。
根据三角形的性质，我们知道，当两个角是等腰三角形的腰角时，这两个三角形是等腰三角形。
根据等腰三角形的定义，我们可以得出结论：等腰梯形的基角相等。
性质4：等腰梯形的对角线互相垂直。
证明：我们可以利用直角三角形的性质来证明这个性质。
首先，我们可以通过等腰梯形的两个腰边延长线的交点连接两个顶角，形成一个直角三角形。
根据直角三角形的性质，直角三角形的两条边互相垂直。
因此，我们可以得出结论：等腰梯形的对角线互相垂直。
性质5：等腰梯形的对边相等。
证明：我们可以利用同位角的性质来证明这个性质。
等腰梯形的性质与判定
等腰梯形的性质与判定等腰梯形是指具有两条平行边且两组对边相等的四边形。
在几何学中，等腰梯形是一种特殊的多边形，具有一些独特的性质和判定方法。
本文将探讨等腰梯形的性质以及如何判定一个四边形是否为等腰梯形。
一、等腰梯形的性质1.等腰梯形的两底角相等：等腰梯形的两底角（非对顶角）相等。
证明如下：连接等腰梯形的两个非平行边，可以得到两个全等的三角形，根据三角形的性质可知，两个三角形的对应角相等，因此两底角相等。
2.等腰梯形的对顶角互补：等腰梯形的两对顶角互补（角的和为180度）。
证明如下：连接等腰梯形的两个对角，可以得到两个对顶的全等三角形，根据全等三角形的性质可知，两个对顶角互补。
3.等腰梯形的对边平行：等腰梯形的两条对边平行。
证明如下：连接等腰梯形的两个对顶点和两个底边的中点，可以得到一对全等的三角形和一对等腰三角形。
根据全等三角形的性质可知，两个底边的中点连线平行于顶点连线，即证得两对边平行。
二、判定一个四边形是否为等腰梯形1.判定条件一：两底边相等且两腰边相等。
如果一个四边形的两条底边相等且两条腰边相等，那么这个四边形就是等腰梯形。
这个判定条件基于等腰梯形的定义，即两组对边相等。
2.判定条件二：两底角相等。
如果一个四边形的两个底角相等，那么这个四边形可能是等腰梯形。
这个判定条件基于等腰梯形的性质之一，即两底角相等。
但需要注意的是，仅满足该条件并不能确定一个四边形为等腰梯形，因为它可能是其他类型的四边形，如矩形或平行四边形。
3.判定条件三：对角线平分一个角。
如果一个四边形的对角线能够平分其中一个角，那么这个四边形就是等腰梯形。
这个判定条件基于等腰梯形的性质之一，即对角线平分一个角。
总结起来，判定一个四边形为等腰梯形的充分条件是：两底边相等且两腰边相等，或者两底角相等，或者对角线能够平分一个角。
但需要注意的是，这些条件并不一定都是必要条件，因为其他类型的四边形也可能满足这些条件。
结论等腰梯形是具有两条平行边且两组对边相等的四边形。
等腰梯形的性质与判定 课件 1
D
C
已知：等腰梯形ABCD中，AD//BC， ∠B=60°，AD=15，AB=45， 求BC的长。 A
D
B
C
• 例2. 求证：等腰梯形上底的中点与下底两 端点距离相等。 • 已知如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB＝DC，M是AD的中点。求证:MB=MC • 思路点拨：要证BM＝CM，只需证 • ABM≌△DCM。 M
四边形ABCD 为梯形
腰 梯 形
梯形ABCD
C
B A
┓
AB=CD 梯形ABCD
C
梯形ABCD 为等腰梯形
直 角 梯 形
D
∠B=Rt∠
梯形ABCD 为直角梯形
B
等腰梯形除具有一般梯形的性质外，还具有哪些性质？
1、等腰梯形的两腰相等
2、等腰梯形在同一底上的两个角相等
逆命题：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
B
C
1.如图:等腰梯形ABCD中,AB=CD,AD∥BC,E是 梯形外一点,且EA=ED.求证:BE=CE. A D
B
E
C
2.已知:如图,在等腰梯形ABCD中, AD∥BC,AB=DC,对角线AC与BD相交于 点O,且∠BOC=120°,AD=1cm,BC=3cm. 求梯形的面积S.
A O B C D
性质判定两腰相等的梯形是等腰梯形同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形对角线相等的梯形是等腰梯形等腰梯形的两腰相等等腰梯形同一底上的两个角相等等腰梯形的对角线相等你学过梯形中常见的辅助线作法有哪些
新人教八年级（下）
梯
形
┐
等腰梯形的判定1
求证：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形 已知：梯形ABCD中，AD//BC，∠B= ∠C 求证： AB=DC
八年级数学等腰梯形的判定1
性质一：等腰梯形同一底上的两个角相等。 性质二：等腰梯形的对角线相等。 逆命题： 同一底上的两个角相等的梯形
是等腰梯形。
逆命题：对角线相等的梯形是等腰梯形。
逆命题： 同一底上的两个角相等的梯形 是等腰梯形。 A D
已知: 在梯形ABCD 中， AD//BC,
∠ B= ∠ C.
B (3) C
（2 ）
3、已知: 在梯形ABCD 中，AD//BC, E为BC中点，EF 垂直 A B， EG垂直CD，EF=EG。 求证： 梯形ABCD为等腰梯形？ A F B E D G C
逆命题：对角线相等的梯形为等腰梯形。
已知: 在梯形ABCD 中， AD//BC,AC=BD
求证： 梯形ABCD为等腰梯形。 A D
∠ACB= ∠DBC.
求证: 梯形ABCD是等腰梯形
A O B C D
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判定一:同一底上的两角相等的梯形为
等腰梯形。
判定二:对角线相等的梯形为等腰梯形.
A B
D C
A B
A B
D
C D C B
A
D
C A B D B
A
D C
C
请各位老师提出宝贵意见
三寸人间 / 三寸人间
求证 : 梯形ABCD为等 腰梯形. (1) (2)
已知:
在梯形ABCD 中，AD//BC, ∠ B= ∠ C.
求证 :
梯形ABCD为等腰梯形.Fra bibliotekA DB
E
C
已知:
在梯形ABCD 中，AD//BC, ∠ B= ∠ C.
求证 :
梯形ABCD为等腰梯形.
A
等腰梯形判定定理
等腰梯形判定定理等腰梯形判定定理等腰梯形是一种特殊的梯形，它的两条底边长度相等，且两侧斜边长度也相等。
在几何学中，我们经常需要判断一个四边形是否是等腰梯形，因此需要掌握等腰梯形判定定理。
一、基本定义1. 梯形：具有两个平行底边和两个斜边的四边形。
2. 等腰梯形：具有两个底边相等且两侧斜边也相等的梯形。
二、判定条件一个四边形是等腰梯形的充分必要条件是它的任意一组对角线平分另一组对角线。
三、证明过程假设ABCD为一个四边形，AC和BD为其对角线。
如果AC和BD被平分，则其交点O为中心点。
连接OA, OB, OC, OD.由于AO=OC，BO=OD，因此△AOB≌△COD。
又因为AB∥CD（即AB和CD平行），所以∠BOA=∠DOC（同旁内角）。
而由于△AOB≌△COD，所以∠OAB=∠OCD（同旁内角）。
因此，在△AOB和△COD中，有：∠OAB=∠OCD∠BOA=∠DOC由此可得，四边形ABCD的两组对角线被平分，因此它是等腰梯形。
反之，如果已知一个四边形的两组对角线被平分，则可以通过上述证明过程得出它是等腰梯形。
四、应用举例1. 判断以下四边形是否为等腰梯形：解：连接AC和BD，交点为O。
由于AO=OC，BO=OD，因此△AOB≌△COD。
又因为AB∥CD（即AB和CD平行），所以∠BOA=∠DOC（同旁内角）。
而由于△AOB≌△COD，所以∠OAB=∠OCD（同旁内角）。
因此，在△AOB和△COD中，有：∠OAB=∠OCD∠BOA=∠DOC因此，四边形ABCD的两组对角线被平分，故它是等腰梯形。
2. 已知一个等腰梯形的上底长为8cm，下底长为12cm，斜边长为10cm。
求其高和面积。
解：由等腰梯形的性质可知，在该等腰梯形中：上底长=下底长=8cm斜边长=10cm由此可得，该等腰梯形的高为：h=sqrt(10^2-(12-8)^2)=6cm其面积为：S=(8+12)×6/2=60cm²五、总结等腰梯形判定定理是几何学中的一个基本定理，掌握了该定理，可以帮助我们准确判断一个四边形是否是等腰梯形，并求解其高和面积。
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明等腰梯形是指具有两边边长相等的梯形。
在等腰梯形的性质定理和判定定理中，我们会探讨一些关于其边长，角度，和对角线的性质。
下面，我将解释等腰梯形的性质定理和判定定理，并给出它们的证明。
性质定理1：等腰梯形的两个底角是相等的。
证明：考虑一个等腰梯形ABCD，其中AB和CD是底边，BC和AD是斜边。
假设∠A和∠B是两个底角。
首先，我们可以根据等腰梯形的性质，得到AB=CD。
接着，我们可以通过等边三角形来证明∠BAD≌∠CBA。
因为AB=CD，所以三角形ABC和三角形DCA是等边三角形。
因此，∠ABC≌∠CDA和∠CAB≌∠DAC。
我们可以通过相邻角的和等于180度的原理，得到∠BAD+∠ABC+∠CAB=180度和∠CBA+∠CDA+∠DAC=180度。
由于∠ABC≌∠CDA和∠CAB≌∠DAC，所以∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠BAD+∠CDA+∠DAC。
因此，根据相等的角度和等于相等的角度之和，我们得到∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠CBA+∠CDA+∠DAC。
将等腰梯形的性质AB=CD和∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠CBA+∠CDA+∠DAC代入其中，我们可以得到∠BAD=∠CBA。
因此，等腰梯形的两个底角是相等的。
性质定理2：等腰梯形的两个对角线相等。
证明：考虑一个等腰梯形ABCD，其中AB和CD是底边，BC和AD是斜边。
我们需要证明AC=BD。
我们已经知道∠BAD=∠CBA。
因此，∠BAD和∠CBA是等腰梯形的两个底角，根据性质定理1，我们可以知道∠A=∠D和∠B=∠C。
我们可以通过相同边上的相等角来证明∠BAD≌∠BCD和∠ABD≌∠ACD。
因为∠A=∠D和∠B=∠C，所以AB//CD。
根据平行线的性质，我们得到∠ABD≌∠CDA和∠ACD≌∠BDA。
因此，根据等腰三角形的定义，我们可以知道三角形ABD和三角形CAD是等腰三角形。
因此，AD=BD和AC=CD。
1.4等腰梯形的性质和判定1
定义：两腰相等的梯形是等腰梯形。 ____________________________ _
定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 ____________________ __ ____ __ _
O F G
B
E
C
小结与思考：
解决梯形问题常用的方法：
（1）平移腰：构造平行四边形 （2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中． （3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中 ． （4）“延长两腰”：构造具有公共角的两个等腰三角 形． （5）取一腰的中点：构造全等三角形，将上底下移
①延长两腰
②作高
③平移一腰
④平移一条对角线
即过上底的一个顶点作 另一腰的平行线 ⑤
即过上底的一个顶点作另一条梯形是等腰梯形
已知：在梯形ABCD中，AD//BC， ∠B=∠C．
E
求证：梯形ABCD是等腰梯形． 思路1：转化方向——等腰三角形． 思路2：转化方向——平行四边形． B
A
D
E
B
C
例题分析：
已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC 边的中 点，EM⊥AB，EN⊥CD，垂足分别为M、N且 EM=EN． 求证：梯形ABCD是等腰梯形。 A D
N
M
B
E
C
例题分析：
如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相交 于点O，E是BC边上的一个动点 （点E不于B、C两点重合）， EF∥BD交AC于点F、EG∥AC交BD于点G。 （1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB； （2）请将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改 为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周 长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、 求证，不必证明。 A D
等腰梯形的性质
等腰梯形的性质等腰梯形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和特点。
本文将介绍等腰梯形的定义、性质和应用。
1. 定义等腰梯形是指具有两条平行边，并且两个非平行边的边长相等的四边形。
其中，两条平行边称为底边，两个非平行边称为腰，而腰之间的距离称为高。
2. 性质（1）底边平行：等腰梯形的底边是平行的，即两条底边之间的距离保持相等。
（2）腰相等：等腰梯形的两个非平行边的边长相等。
（3）底角相等：等腰梯形的两个底角是相等的。
这是因为当两个边长相等时，根据等腰三角形的性质可知，其对应的角度也是相等的。
（4）顶角补角相等：等腰梯形的两个顶角的补角也相等。
即相等角和它们的补角和等于180度。
（5）对角和相等：等腰梯形的对角和（顶角和底角的合）是固定的，等于360度。
3. 应用等腰梯形在几何中有着广泛的应用，以下将介绍一些常见的应用场景。
（1）计算面积：等腰梯形的面积可以通过底边长度和高来计算，公式为：面积 = （底边1 + 底边2）×高 ÷ 2。
这个公式是由梯形面积公式演变而来，由于等腰梯形的两条底边相等，所以可以简化计算。
（2）建筑设计：在建筑设计中，等腰梯形常用于楼梯的设计。
楼梯的横截面通常为等腰梯形，以确保上下楼层之间的坡度和台阶高度相等。
（3）几何推理：在几何证明中，等腰梯形常用作基本图形之一。
通过研究等腰梯形的性质，可以推导出其他形状的性质和定理，进而解决更复杂的几何问题。
（4）解题方法：在解决数学题目时，等腰梯形常作为一种解题方法。
通过将题目中的形状转化为等腰梯形，并利用等腰梯形的性质，可以简化问题，更便于求解。
综上所述，等腰梯形是一种具有特定性质和特点的四边形。
通过了解等腰梯形的定义、性质和应用，我们可以更好地理解和应用这一几何形状。
无论是在几何研究、建筑设计还是数学解题中，等腰梯形都发挥着重要的作用。
等腰梯形与菱形等腰梯形与菱形的性质与判断方法
等腰梯形与菱形等腰梯形与菱形的性质与判断方法等腰梯形和菱形是几何中的两种特殊多边形，它们具有各自独特的性质和判断方法。
下面将详细介绍等腰梯形和菱形的性质以及如何进行判断。
一、等腰梯形的性质与判断方法等腰梯形是指具有两个底边平行的梯形，其中两个非平行边相等。
等腰梯形的性质如下：1. 两个底边平行：等腰梯形的两个底边是平行的，这是等腰梯形与其他梯形的区别之一。
2. 两个非平行边相等：等腰梯形的两个非平行边相等，相等的两边称为等腰梯形的腰。
3. 对角线相等：等腰梯形的两条对角线相等，即两条腰的中点连线相等。
判断一个四边形是否为等腰梯形，可以使用以下方法：1. 判断两个底边是否平行：通过测量两个底边的长度，如果长度相等且相对应的边平行，则可以确定为等腰梯形。
2. 判断两个非平行边是否相等：通过测量两个非平行边的长度，如果长度相等，则可以确定为等腰梯形。
3. 判断对角线是否相等：通过测量两条对角线的长度，如果长度相等，则可以确定为等腰梯形。
二、菱形的性质与判断方法菱形是指具有四个边相等的四边形，它的特点是所有角均为直角。
菱形的性质如下：1. 四个边相等：菱形的四条边长度相等，这是菱形与其他四边形的区别之一。
2. 所有角均为直角：菱形的四个角都是直角，即每个角的度数为90°。
3. 对角线相等且垂直平分：菱形的两条对角线相等且互相垂直平分，即对角线的交点是菱形的中心点，并且将菱形分成四个全等的三角形。
判断一个四边形是否为菱形，可以使用以下方法：1. 判断四条边是否相等：通过测量四条边的长度，如果长度相等，则可以确定为菱形。
2. 判断对角线是否相等：通过测量两条对角线的长度，如果长度相等，则可以确定为菱形。
3. 判断是否为直角菱形：除了判断边的长度是否相等外，还需判断是否有四个角都是直角。
综上所述，等腰梯形与菱形具有各自独特的性质与判断方法。
通过测量边长和角度，我们可以准确判断一个四边形是等腰梯形还是菱形。
等腰梯形的性质
等腰梯形的性质等腰梯形是一种特殊的梯形，它具有一些独特的性质和特征。
在本文中，我们将探讨等腰梯形的定义、性质以及如何求解相关问题。
一、等腰梯形的定义等腰梯形是指两边边长相等的梯形，即上底和下底的长度相等。
它的特点是两条底边平行，而两条斜边相等。
二、等腰梯形的性质1. 对角线相等：等腰梯形的两条对角线相等。
这是因为对角线是连接两组平行边的线段，而等腰梯形的两条底边平行，所以对角线具有相等的长度。
2. 底角相等：等腰梯形的两条底边上的角相等。
底角是指顶点处的内角，由平行线的性质可知，对共线上两点之间的夹角，顶点处的内角相等。
3. 上底角和下底角互补：等腰梯形的上底和下底之间的内角互补，即它们的和为180度。
这是因为等腰梯形的两条底边平行，对共线上两点之间的夹角，角和为180度。
4. 两条斜边相等：等腰梯形的两条斜边长度相等。
这是由于等腰梯形的两条底边相等，两条斜边分别与底边平行，并且与底边相等。
三、等腰梯形的面积计算等腰梯形的面积可以通过下底、上底和高来计算。
设下底长为a，上底长为b，高为h，则等腰梯形的面积S可用以下公式表示：S = (a + b) * h / 2四、等腰梯形的应用等腰梯形在数学和几何学中有广泛的应用。
它常被用于解决与梯形相关的问题，比如求面积、计算边长等。
同时，在建筑设计、土木工程和制图等领域中也会涉及到等腰梯形的使用。
举例来说，如果我们知道一个等腰梯形的上底长度为6cm，下底长度为10cm，高为8cm，我们可以根据等腰梯形的面积公式计算出它的面积：S = (6 + 10) * 8 / 2 = 80平方厘米。
同样地，如果我们已知一个等腰梯形的上底长为12cm，下底长为16cm，面积为96平方厘米，我们可以通过等腰梯形的面积公式反推出它的高：96 = (12 + 16) * h / 2，解得h = 8cm。
综上所述，等腰梯形是一种具有特殊性质和特征的几何图形。
它的对角线相等，底角相等，上底角和下底角互补，两条斜边相等。
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明等腰梯形是一种特殊的梯形，其两边斜线段长度相等，并且两个底边之间平行。
在等腰梯形中有一些重要的性质定理以及判定定理。
1.等腰梯形的性质定理：性质定理1：等腰梯形的两个底角是相等的。
证明：设等腰梯形ABCD中的底边AB和CD的长度分别为a和b，而斜边AD和BC的长度分别为c和d。
由于等腰梯形定义为两边斜线段长度相等，即c=d，而两个底边之间平行，所以∠CAD=∠BCD，又∠ADC=∠BDC=180°-∠CAD-∠BCD，所以∠ADC=∠BDC，即等腰梯形ABCD 的两个底角是相等的。
性质定理2：等腰梯形的对角线互相垂直且平分对角线之间的角。
证明：设等腰梯形ABCD中的对角线AC和BD相交于点E。
由于等腰梯形的两边斜线段长度相等，所以AE=CE，而AE=BE，故BE=CE。
又由于两个底边之间平行，所以∠ADC=∠BDC，所以∠AEB=180°-∠ADC-∠BDC=180°-∠ADC-(180°-∠AED-∠CED)=∠AED+∠CED。
根据等腰梯形的两个底角相等性质定理，可得∠AED=∠CED，所以∠AEB=2∠AED，即等腰梯形ABCD的对角线互相垂直且平分对角线之间的角。
2.等腰梯形的判定定理：判定定理1：如果一个梯形的两个底角相等，则它是一个等腰梯形。
证明：设梯形ABCD的两个底角∠A和∠D相等。
由于两个底角相等，所以∠CAD=∠BDC。
又由于∠ADC=∠BDC，所以∠ADC=∠CAD。
根据等腰梯形的性质定理1可得等腰梯形ABCD的两个底角相等，即如果一个梯形的两个底角相等，则它是一个等腰梯形。
判定定理2：如果一个梯形的对角线互相垂直且平分对角线之间的角，则它是一个等腰梯形。
证明：设梯形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，且互相垂直且平分对角线之间的角。
由于对角线互相垂直，所以∠AEB=90°。
又因为对角线平分对角线之间的角，所以∠AEB=∠BED。
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
目录
• 等腰梯形的性质定理 • 等腰梯形的判定定理 • 等腰梯形的证明方法
01
等腰梯形的性质定理
定义与特性
定义
等腰梯形是一个两腰相等的梯形。
特性
等腰梯形在同一底上的两个角相等，对角线相等且平分。
面积与周长的计算
面积计算
等腰梯形的面积可以通过上底、下底和高来计算，公式为$S = frac{(a + b)h}{2}$，其中$a$和$b$是上底和下底的长度，$h$ 是高。
判定实例
三角形中位线定理的证明
在三角形中，取两边中点连线，证明该线段平行于第三边且等于第三边的一半，可以利用等腰梯形的 性质定理进行证明。
平行四边形与等腰梯形的转换
将一个平行四边形的一组对角连接，得到一个等腰梯形，可以通过等腰梯形的性质定理证明该结论。
03
等腰梯形的证明方法
证明步骤
01
第一步
根据等腰梯形的定义，确定两腰相 等。
第三步
根据等腰梯形的性质，证明对角线 相等。
03
02
第二步
根据等腰梯形的性质，证明两底角 相等。
第四步
根据等腰梯形的性质，证明高相等。
04
证明实例
实例一
已知等腰梯形ABCD中，AB=CD， AD=BC，求证∠B=∠C。
实例二
已知等腰梯形ABCD中，AB=CD， AD=BC，求证BD=AC。
实例三
已知等腰梯形ABCD中，AB=CD， AD=BC，求证BE=CF。
周长计算
等腰梯形的周长可以通过上底、下底、两腰的长度来计算，公 式为$P = a + b + 2c$，其中$a$和$b$是上底和下底的长度， $c$是两腰的长度。
等腰梯形的三种判定方法
等腰梯形的三种判定方法一、等腰梯形的定义等腰梯形是一种特殊的梯形，具有两条斜边相等的特点。
它是由两个平行的底边和连接这两个底边的两个非平行边组成的四边形。
等腰梯形有很多特性和性质，能够被准确地判定。
二、判定等腰梯形的基本条件要判定一个四边形是否为等腰梯形，需要满足以下基本条件：1.两条底边平行：等腰梯形的两条底边必须平行，否则无法构成等腰梯形。
2.两条斜边长度相等：等腰梯形的两条斜边必须长度相等，才能称为等腰梯形。
三、三种判定等腰梯形的方法方法一：根据角度判定1.判断底边是否平行：通过测量底边所在直线与其他边的夹角是否相等，如果相等，则可以确认底边平行。
2.测量斜边长度：通过测量斜边的长度，并进行比较，如果两条斜边的长度相等，则可以确定为等腰梯形。
方法二：根据边长判定1.测量底边长度：通过测量两条底边的长度，并进行比较，如果两条底边的长度相等，则可以确认底边平行。
2.测量斜边长度：通过测量斜边的长度，并进行比较，如果两条斜边的长度相等，则可以确定为等腰梯形。
方法三：根据对角线判定1.连接对角线：将等腰梯形的两个非平行边的端点连接起来，形成两个对角线。
2.判断对角线是否相等：通过测量对角线的长度，并进行比较，如果两条对角线的长度相等，则可以确定为等腰梯形。
四、判定过程示例假设有一个四边形，边长分别为a、b、c、d，我们可以使用以上三种方法来判定它是否为等腰梯形：1.方法一：根据角度判定–判断底边是否平行：测量d与a的夹角和b与c的夹角，如果两对夹角相等，则底边平行。
–测量斜边长度：测量a和b的长度，如果两条斜边长度相等，则为等腰梯形。
2.方法二：根据边长判定–测量底边长度：测量a和c的长度，如果底边长度相等，则底边平行。
–测量斜边长度：测量b和d的长度，如果两条斜边长度相等，则为等腰梯形。
3.方法三：根据对角线判定–连接对角线：将a和c的端点连接成一条对角线AC，将b和d的端点连接成另一条对角线BD。
苏教版九年级上册数学目录
苏教版九年级上册数学目录（一）第一章图形与证明（二）
1.1等腰三角形的性质和判定
1.2直角三角形全等的判定
1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定1.4等腰梯形的性质和判定
1.5中位线
第二章数据的离散程度
2.1极差
2.2方差与差
2.3用计算器求差和方差
第三章二次根式
3.1二次根式
3.2二次根式的乘除
3.3二次根式的加减
第四章一元二次方程
4.1一元二次方程
4.2一元二次方程的解法
4.3用一元二次方程解决问题
第五章中心对称图形(二)
5.1圆
5.2圆的对称性
5.3圆周角
5.4确定圆的条件
5.5直线与圆的位置关系5.6圆与圆的位置关系
5.7正多边形与圆
5.8弧长及扇形的面积
5.9圆锥的侧面积和全面积。
数学f1初中数学1.4等腰梯形的性质和判定
本文为自本人珍藏版权所有仅供参考本文为自本人珍藏版权所有仅供参考1.4等腰梯形的性质和判定教学目标1.掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念2.能够运用等腰梯形的性质和判定进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析能力和计算能力．通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想重点难点教学重点：等腰梯形的性质和判定．教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）．教学方法小组讨论，引导发现、练习巩固教学过程一、创设情境1.什么样的四边形叫梯形，什么样的梯形是直角梯形、等腰梯形？2．等腰梯形有哪些性质？它的性质定理是怎样证明的？3．在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么？常用的辅助线有哪几种？我们已经掌握了等腰梯形的性质，那么又如何来判定一个梯形是否是等腰梯形呢？今天我们就共同来研究这个问题．二、探究、讨论等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．例1已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC ，∠B=∠C ，求证：AB=DC （1）如图，过点D作DE∥AB交BC于E，得∠DEC=∠B=∠C，所以得DE=DC．（2）作高AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，通过证△ABE≌△DCF推出AB=DC．（3）分别延长BA、CD交于点E，则△EAD与△EBC都是等腰三角形，所以可得.由此我们想到梯形的性质定理：等腰梯形在同一高上的两个角相等．例2 如图，求证：等腰梯形的两条对角线相等．已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD ，求证：AC=BD ．分析：要证AC=BD ，只要用等腰梯形的性质定理得出∠ABC=∠DCE，然后再利用△ABC ≌△DCE，即可得出AC=BD．解决梯形问题常用的方法在证明梯形性质定理时，我们采取的方法是过点D作DE∥AB交BC于E ，从而把梯形问题转化成三角形来解，实质上是相当于把采取AB 平行移动到DE 的位置，这种方法叫做平行移动（也可移对角线），这是解决梯形问题常用的方法之—（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中．（2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中．（3）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形．（4）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形三、练习巩固课本第29页练习第1、2题四、小结：1、梯形性质和判定定理2、解决梯形问题的基本思想和方法．3、解决梯形问题时，常用的几种辅助线．五、作业课本第29页习题1.4第1、3题课外作业：补充习题和指导用书相应部分练习。
等腰梯形的性质和判定
A ED
B
F
C
知识回顾
１．等腰梯形的性质定理
①等腰梯形在同一底上的两个角相等. ②等腰梯形的对角线相等.
２．等腰梯形的判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
３．梯形中常见的辅助线----转化的数学思想. 梯形 转化 三角形或平行四边形或矩形
已知:在梯形ABCD中, AD∥BC,AB=CD,PB=PC.
C
E
动手操作
已知梯形纸片ABCD, AD∥BC, 请 剪一刀将梯形ABCD拼成等腰梯形.
A
D
B
C
如图所示,在直角梯形ABCD中，AD∥BC,
∠ B=90 °,AD=24cm,BC=26cm,动点P从A开 始沿AD边向D以1cm/s的速度运动,动点Q从C 开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动,P、Q分别 从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一 点也随之停止运动,设运动时间为ts,t分别为何值 时四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形?
AD=6cm, BC=16cm,∠B=60°
A
D
O
A
D
B
E
C
A
D
B
C
┓
┓
B EFC
已知:梯形ABCD中, AD∥BC, 若点
M是腰CD的中点.
求证:S△ABM=
1 2
S梯形ABCD
A
D
M
B
CG
等腰梯形ABCD的上底AD=2,下底 BC=6,对角线AC⊥BD. 求此等腰梯形的高和周长.
A
D
O
B
┓
H
A P 24-t D
B
3t C
等腰梯形的性质定理判定定理及证明
推导等腰梯形的判定定理
通过严格的逻辑推导，得出等腰梯形的判定定理， 为解决实际问题和进行数学研究提供有力工具。
证明等腰梯形的性质定理
通过严谨的证明过程，验证等腰梯形性质定 理的正确性，加深对等腰梯形性质的理解和 掌握。
定义与性质
等腰梯形的定义
等腰梯形是一组对边平行且不相等，另一组对边相等的四边形。
回顾与总结
等腰梯形的性质定理
等腰梯形具有一系列独特的性质，包括两腰相等、同一底上的两个角相等、对角线相等以及中位线等于上下底之和的 一半等。这些性质使得等腰梯形在数学和实际应用中具有重要地位。
等腰梯形的判定定理
要判断一个四边形是否为等腰梯形，可以根据其定义和性质进行判定。具体方法包括比较两腰的长度、检查同一底上 的两个角是否相等、验证对角线是否相等以及使用中位线的性质进行判定等。
THANK YOU
感谢聆听
03
等腰梯形的判定定理
基于边长的判定
定理
若梯形的一组对边平行且相等，则此 梯形为等腰梯形。
证明
设梯形ABCD中，AB//CD，且AB=CD。由于 AB和CD平行且相等，根据平行线的性质，我 们知道∠A+∠D=180°。又因为AB=CD，所以 ∠B=∠C。因此，∠A=∠D，从而证明了梯形 ABCD是等腰梯形。
证明
在等腰梯形ABCD中，由于∠BAD和∠CDA是内错角，因此∠BAD=∠CDA。又因为 AB=CD，AD=DA（公共边），所以△ABD≌△DCA（SAS）。从而BD=AC，即两条 对角线相等。
对称性
定理
等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线（所在直线）。
证明
在等腰梯形ABCD中，设E、F分别为AB、CD的中点，连接EF。由于AE=EB，CF=FD，且AD=BC，因此△AEF和 △BEF关于EF对称。同理，△CEF和△DEF也关于EF对称。因此，等腰梯形ABCD关于EF对称。
1.4等腰梯形的性质与判定
梯形是等腰梯形．
E
A D A D A D
C
B
E
C B E
F C
初 中 数 学
九 上
定理 等腰梯形同一底上的两底角相等． 等腰梯形的两条对角线相等．
E A
D
A
D
A
D
B
C
B
E
C B E
F C
初 中 数 学
九 上
B
定理 等腰梯形的两条对角线相等．
A
D
A
D
┐
E
┐
F C B
C E
初 中 数 学
九 上
例题
已知：在梯形ABCD中，AD//BC， AC=BD． 求证：梯形ABCD为等腰梯形．
A D
1 B
2 C E
初 中 数 学
九 上
证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线 于点E，则∠2=∠E . ∵AD∥BE， A D ∴ DE=AC． ∵AC=BD， ∴DE=BD． 1 2 ∴∠1=∠E． E B C ∴∠1=∠2． 又∵AC=DB，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB(SAS)． ∴AB=DC． ∴梯形ABCD为等腰梯形．
初 中 数 学
九 上
初中数学九年级
(苏科版)
上册
第一章
第四节
等Байду номын сангаас梯形的性质和判定
初 中 数 学
九 上
初 中 数 学
九 上
在同一底上的两个角相等的梯形是 等腰梯形． 已知：在梯形ABCD中，AD//BC， ∠B=∠C． 求证：梯形ABCD是等腰梯形． A D
B
C
初 中 数 学
九 上
B
定理
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1.4 等腰梯形的性质和判定(1) [ 教案] 班级 姓名 学号
九年级数学备课组
教学目标：1、能证明等腰梯形的性质定理和判定定理。
2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力。
3、经历对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。
4、感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法。
教学重点：等腰梯形的性质和判定。
教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）．
教学过程：
创设情境：
我们曾用等腰三角形剪出了等腰梯形（如图），并探
索得到等腰梯形的性质和判定。
现在我们来证明有关等腰梯形的一些结论。
1.什么叫梯形 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形.
2.两种特殊的梯形
直角梯形：有一个角是直角的梯形叫直角梯形
等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形
3、根据等腰梯形的定义,一个图形要成为等腰梯形,首先它必须是_____,还要具备_____相等;
二、等腰梯形的判定： 1、定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．、
2、定理的证明：
已知：
求证：
分析：本题可 以从不同角度着手证明。
3、定理的书写格式：
如图，∵______________________________
∴______________________________
三、等腰梯形的性质：
定理1、等腰梯形同一底上的两底角相等。
E
D C
B A D C
B A
定理2、等腰梯形的两条对角线相等。
四、典型示例：
1、 如图梯形ABCD 中，A D ∥BC ，M 是AD 的中点，∠MBC=∠MCB
求证：四边形ABFE 是等腰梯形；
2 在梯形ABCD 中，AD ∥BC AB ＝DC ＝AD ＝5 CA ⊥AB ，求BC 之长
和∠D 的度数.
3．已知：，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝40°，∠C ＝50°，M ，N 分别是BC ，AD 边的中点．BC ＞AD ．求证：MN=2
1（BC-AD ）
4，△ABC 中AB ＝BC ，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，试说明四边形EBCD 是等腰梯形．
五、巩固练习
1.四边形的四个内角的度数比是2∶3∶3∶4，则这个四边形是（ ）
A.等腰梯形
B.直角梯形
C.平行四边形
D.不能确定
2.在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于E ，且AE =AD ，BC =3AD ，则∠B 等于（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.135°
3.若等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，那么图中全等三角形共有_______对；若梯形ABCD 为一般梯形，那么图中面积相等的三角形共有_______对.
4.梯形的上底长为 5 cm ，将一腰平移到上底的另一端点位置后与另一腰和下底所构成的三角形的周长为20 cm ，那么梯形的周长为_______.
5.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =50°，∠C =80°，AD =8，BC =11，则CD =_______.
6.等腰梯形的腰长为5 cm ，上、下底的长分别为6 cm 和12 cm ，则它的面积为_______.
7.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠B =90°，∠C =45°，CD =10 cm ，BC =2AD ，则梯形的面积为_______.
8、四边形ABCD 是等腰梯形，A D ∥BC ，AB=DC ，PB=PC. 求证：
PA=PD
B C A M D A D C
B P
9、用一块面积为450c㎡的等腰梯形彩纸做风筝,为了牢固起见,用竹条做梯形的对角线,对
角线恰好互相垂直,那么至少需要竹条_______㎝.
10、已知等腰梯形ABCD、AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD＝3cm，BC＝7cm，求梯形的面积S.
11、.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，则S 梯形ABCD是S△ABE的2倍吗？为什么？
六、课堂小结
１．我们今天学习了哪几种梯形是等腰梯形？
２．在研究梯形问题时用了哪些方法将梯形问题转化为其他图形的问？
七、布置作业。