2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(重庆

2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（理工农医类）
数学试题卷（理工农医类）共5页，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 参考公式：
如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A B ，相互独立，那么()()()P A B P A P B =．
如是事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的
概率()(1)k k n k
n n p k C p p -=-．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若等比数列{}n a 的前3项和39S =且11a =，则2a 等于（ ） Ａ．3
Ｂ．4
Ｃ．5 Ｄ．6
2．命题“若2
1x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） Ａ．若2
1x ≥，则1x ≥或1x -≤ Ｂ．若11x -<<，则2
1x < Ｃ．若1x >或1x <-，则2
1x >
Ｄ．若1x ≥或1x -≤，则2
1x ≥
3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ） Ａ．5部分 Ｂ．6部分 Ｃ．7部分 Ｄ．8部分
4．若1n
x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
Ａ．10
Ｂ．20
Ｃ．30
Ｄ．120
5．在ABC △中，AB =45A =，75C =，则BC =（ ）
Ａ．3
Ｃ．2
Ｄ．3+
6．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少
有2张价格相同的概率为（ ）
Ａ．
14
Ｂ．
79120
Ｃ．
34
Ｄ．
2324
7．若a 是12b +与12b -的等比中项，则
22ab
a b +的最大值为（ ）
Ａ．
15
Ｂ．
4
Ｃ．
5
Ｄ．
2
8．设正数a b ，满足2
2lim()4x x ax b →+-=，则11
1
lim 2n n n n n a ab a b
+--→∞+=+（ ） Ａ．0
Ｂ．
1
4
Ｃ．
12
Ｄ．1
9．已知定义域为R 的函数()f x 在(8)+∞，上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，则（ ） Ａ．(6)(7)f f >
Ｂ．(6)(9)f f >
Ｃ．(7)(9)f f >
Ｄ．(7)(10)f f >
10．如题（10）图，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=，
4AB BD BD DC +=，0AB BD BD DC ==，
则()AB DC AC
+的值为（ ）
Ａ．2
Ｂ．
Ｃ．4
Ｄ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11．复数
3
22i
i
+的虚部为______． 12．已知x y ，满足1241x y x y x -⎧⎪
+⎨⎪⎩
≤，≤，≥．则函数
3z x y =+的最大值是______．
13．若函数()f x =
R ，则α的取值范围为______．
14．设{}n a 为公比1q >的等比数列，若2004a 和2005a 是方程2
4830x x -+=的两根，则
20062007a a +=______．
15．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方程有______种．（以数字作答） 16．过双曲线2
2
4x y -=的右焦点F 作倾斜角为105的直线，交双曲线于P Q ，两点，则
FP FQ 的值为______．
D
C
A
B
题（10）图
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分．）
设2
()6cos 2f x x x =．
（Ⅰ）求()f x 的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角α
满足()3f α=-4
tan 5
α的值．
18．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分） 某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，110，1
11
，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中： （Ⅰ）获赔的概率；
（Ⅱ）获赔金额ξ的分布列与期望．
19．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分） 如题（19）图，在直三棱柱111ABC A B C -中，
12AA =，1AB =，90ABC =∠；
点D E ，分别在1BB ，1A D 上，且11B E A D ⊥， 四棱锥1C ABDA -与直三棱柱的体积之比为3:5． （Ⅰ）求异面直线DE 与11B C 的距离；
（Ⅱ）若BC =
111A DC B --的平面角的正切值．
20．（本小题满分13分，其中（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）小问分别为6，4，3分．）
已知函数4
4
()ln (0)f x ax x bx c x =+->在1x =处取得极值3c --，其中a b ，为常数． （Ⅰ）试确定a b ，的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若对任意0x >，不等式2
()2f x c -≥恒成立，求c 的取值范围． 21．（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）
已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足11S >，且6(1)(2)n n n S a a =++，
n ∈N ．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
题（19）图
（Ⅱ）设数列{}n b 满足(21)1n b
n a -=，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：
231log (3)n n T a n ->+∈N ，．
22．（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）
如题（22）图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为(30)F ，，右准线l 的方程为：12x =． （1）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点1P ，2P ，3P ，使122331PFP P FP P FP ==∠∠∠， 证明：
123
111
FP FP FP ++为定值，并求此定值． 2007
数学试题（理工农医类）答案
一、选择题：每小题5分，满分50分．
（1）A （2）D （3）C （4）B （5）A
（6）C
（7）B （8）B （9）D （10）C 二、填空题：每小题4分，满分24分． （11）
45
（12）7
（13）[]10-，
（14）18
（15）25
（16三、解答题：满分76分． （17）（本小题13分） 解：（Ⅰ）1cos 2()6
22
x
f x x += 236x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭．
故()f x 的最大值为3； 最小正周期22
T π
=
=π． （Ⅱ）由()3f α=-2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝
⎭cos 216απ⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭． 又由02απ<<
得2666απππ<+<π+，故26απ+=π，解得5
12α=
π． 从而4tan tan 53
απ
==．
题（22）图
解：设k A 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，123k =，，．由题意知1A ，2A ，3A 独立， 且11()9P A =
，21()10P A =，31
()11
P A =． （Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为
12312389103
1()1()()()19101111
P A A A P A P A P A -=-=-⨯⨯=．
（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000．
12312389108
(0)()()()()9101111
P P A A A P A P A P A ξ====⨯⨯=，
24211
99045==
， 273
990110==
， 1111
91011990
=⨯⨯=
． 综上知，ξ的分布列为
求ξ的期望有两种解法： 解法一：由ξ的分布列得
29900
2718.1811
=
≈（元）
． 解法二：设k ξ表示第k 辆车一年内的获赔金额，123k =，，， 则1ξ有分布列
故11
900010009
E ξ=⨯
=． 同理得21900090010E ξ=⨯=，31
9000818.1811
E ξ=⨯≈． 综上有1231000900818.182718.18E E E E ξξξξ=++≈++=（元）．
解法一：
（Ⅰ）因1111B C A B ⊥，且111B C BB ⊥，故11B C ⊥面11A ABB ，
从而111B C B E ⊥，又1B E DE ⊥，故1B E 是异面直线11B C 与DE 的公垂线． 设BD 的长度为x ，则四棱椎1C ABDA -的体积1V 为
1
11111()(2)366
ABDA V S BC DB A A AB BC x BC ==+=+····． 而直三棱柱111ABC A B C -的体积2V 为2111
2
ABC V S AA AB BC AA BC ===△···．
由已知条件12:3:5V V =，故13(2)65x +=，解之得8
5x =．
从而1182
255B D B B DB =-=-=．
在直角三角形11A B D
中，1A D ===，
又因11111111122
A B D S A D B E A B B D ==△··，
故11111A B B D B E A D =
=· （Ⅱ）如答（19）图1，过1B 作11B F C D ⊥，垂足为F ，连接1A F ，因1111A B B C ⊥，111A B B D ⊥，故11A B ⊥面11B DC ．
由三垂线定理知11C D A F ⊥，故11A FB ∠为所求二面角的平面角．
在直角11C B D △
中，1C D ===，
又因11111111122
C B
D S C D B F B C B D ==△··，
故111119B C B D B F C D ==·
，所以11111tan 2
A B A FB B F ==． 解法二：
（Ⅰ）如答（19）图2，以B 点为坐标原点O 建立空间直角坐标系O xyz -，则(000)B ，，，1(002)B ，，，(010)A ，，，1(012)A ，，，则1(002)AA =，，，(010)AB =-，
，． 设1(02)C a ，，，则11(00)B C a =，，，
答（19）图
1
又设00(0)E y z ，，，则100(02)B E y z =-，，， 从而1110BC B E =，即111B E BC ⊥．
又11B E DA ⊥，所以1B E 是异面直线11B C 与DE 的公垂线．
下面求点D 的坐标．
设(00)D z ，，，则(00)BD z ，
，． 因四棱锥1C ABDA -的体积1V 为
1
(2)16
z BC =+． 而直三棱柱111ABC A B C -的体积2V 为2111
2
ABC V S AA AB BC AA BC ===△． 由已知条件12:3:5V V =，故
13(2)65z +=，解得85z =，即8005D ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，，． 从而12005DB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
，，12015DA ⎛⎫
= ⎪⎝
⎭
，，，00805DE y z ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
，，． 接下来再求点E 的坐标．
由11B E DA ⊥，有110B E DA =，即002
(2)05
y z +
-= （1） 又由1DA DE ∥得
00
8
521
5
z y -=． （2）
联立（1），（2），解得0429y =
，04829z =，即44802929E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，得14
100
2929B E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，，．
故1
B E ⎛
== （Ⅱ）由已知BC =
12)C ，，从而12
(2)5
DC =，
，，过1B 作11B F C D ⊥，垂足为F ，连接1A F ，
设11(0)F x z ，，，则
111(02)B F x z =-，，，因为110B F DC =，故
1124
055
z +
-=……………………………………① 答（19）图2
因11805DF x z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
，且1DF DC ∥
18
52
5
z -=，即
11205x =……………………………………②
联立①②解得1x =
，14427z =
，即4427F ⎫⎪⎭，．
则110127A F ⎫=--⎪⎭，
，11027B F ⎫=-⎪⎭，．
12||27B F ⎛== ⎝⎭． 又112102
22(1)0027275
A F DC =+--=，故11A F DC ⊥，因此11A F
B ∠为所求二面
角的平面角．又11(010)A B =-，，，从而1110A B B F =，故11A B ⊥1B F ，11A B F △为直角三角形，所以11111||3tan 2||
A B A FB B F ==． （20）（本小题13分）
解：（I ）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-． 又对()f x 求导得
3(4ln 4)x a x a b =++．
由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．
（II ）由（I ）知3
()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '=，解得1x =．
当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时()f x 为增函数．
因此()f x 的单调递减区间为(01)，
，而()f x 的单调递增区间为(1)+，∞． （III ）由（II ）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值，要使
2()2f x c -≥（0x >）恒成立，只需232c c ---≥．
即2
230c c --≥，从而(23)(1)0c c -+≥，
解得3
2
c ≥
或1c -≤． 所以c 的取值范围为3(1]2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
，
，． （21）（本小题12分）
（I ）解由11111
(1)(2)6a S a a ==
++，
解得11a =或12a =，由假设111a S =>，因此12a =， 又由111111
(1)(2)(1)(2)66
n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=++-++，
得11()(3)0n n n n a a a a +++--=，
即130n n a a +--=或1n n a a +=-，因0n a >，故1n n a a +=-不成立，舍去．
因此13n n a a +-=，从而{}n a 是公差为3，首项为2的等差数列，故{}n a 的通项为
31n a n =-．
（II ）证法一：由(21)1n b
n a -=可解得22
213log 1log 31
n n
b a n ⎛⎫=+
= ⎪-⎝⎭； 从而12236
3log 2531n n n T b b b n ⎛⎫
=++
+=
⎪-⎝⎭
． 因此3
2236
32
31log (3)log 253132
n n n T a n n ⎛⎫+-+=
⎪
-+⎝⎭． 令3
36
32()25
3132n f n n n ⎛⎫=
⎪
-+⎝⎭，则3
22
(1)32
33(33)()35
32(35)(32)f n n n n f n n n n n ++++⎛⎫
== ⎪++++⎝⎭
． 因3
2
(33)(35)(32)970n n n n +-++=+>，故(1)()f n f n +>． 特别地27
()(1)120
f n f =
>≥，从而2231log (3)log ()0n n T a f n +-+=>． 即231log (3)n n T a +>+． 证法二：同证法一求得n b 及n T ，
由二项式定理知，当0c >时，不等式3
(1)13c c +>+成立．
由此不等式有3
3
3
211131log 21112531n T n ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
2225832
log 2log (32)log (3)2531
n n n a n +==+=+-····．
证法三：同证法一求得n b 及n T ．
令36347312531363n n n n A B n n +==-，···
···
，5832
4731n n C n +=+···． 因3313231331
n n n n n n ++>>-+． 因此2
3+22
n n n n n A A B C >=．
从而3
3
2236
331log 2log 22531n n n T A n ⎛⎫+==
⎪-⎝⎭
222log 2log (32)log (3)n n n n A B C n a >=+=+．
证法四：同证法一求得n b 及n T ．
下面用数学归纳法证明：231log (3)n n T a +>+． 当1n =时，12
27
31log 4
T +=，212log (3)log 5a +=， 因此12131log (3)T a +>+，结论成立．
假设结论当n k =时成立，即231log (3)k k T a +>+． 则当1n k =+时，
因3
2
(33)(35)(32)970k k k k +-++=+>．故3
2
2
(33)log 0(35)(32)
k k k +>++． 从而12131log (3)k k T a +++>+．这就是说，当1n k =+时结论也成立． 综上231log (3)n n T a +>+对任何n ∈+N 成立． （22）（本小题12分）
解：（I ）设椭圆方程为22221x y a b
+=．
因焦点为(30)F ，
，故半焦距3c =． 又右准线l 的方程为2
a x c =，从而由已知
2
21236a a c
==，， 答（22）图
因此6a =
，b =． 故所求椭圆方程为22
13627
x y +=． （II ）记椭圆的右顶点为A ，并设i i AFP α∠=（i =1，2，3）
，不失一般性， 假设1203απ<
≤，且2123ααπ=+，3143
ααπ=+． 又设点i P 在l 上的射影为i Q ，因椭圆的离心率12
c e a ==，从而有 1(9cos )2i i FP α=- (123)i =，，． 解得
1211cos 92i i FP α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
(123)i =，，． 因此 1111
2311121243cos cos cos 9233FP FP FP ααα⎡⎤⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 而11124cos cos cos 33αααππ⎛
⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1111111cos cos cos 022ααααα=--+=， 故12311123FP FP FP ++=为定值．。