小学奥数教案-第18讲-重叠问题(教)

教师辅导讲义 学员编：

年 级：四年级 课 时 数：3 学员姓名：

辅导科目：数学 教师： 授课主题

第18讲-重叠问题 授课类型

T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标

① 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 ② 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 授课日期及时段

T （Textbook-Based ）——同步课堂

一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：A B A B A B =+-，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A

B ，即阴影面积． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，

C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A

B ，即阴影面积．

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进

来，加在一起)；

第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．

二、三量重叠问题

A 类、

B 类与

C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类

知识梳理

1．先包含——A B +

重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；

2．再排除——A B A B +-

把多加了1次的重叠部分A B 减去．

的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：

在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．

考点一：两量重叠问题

例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ C B

A

【解析】如图所示，A 圆表示参加语文兴趣小组的人，B 圆表示参加数学兴趣小组的人，A 与B 重合的部分

C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．

图中A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有281216-=(人)；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有291217-=(人)．

方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745++=(人)．

方法二：根据包含排除法，直接可得：

参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小

典例分析

图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，

大圆表示C 的元素的个数．

1．先包含：A B C ++

重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次．

2．再排除：A B C A B B C A C ++---

重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-

A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．

A B

【解析】如图，用长方形表示1~100的全部自然数，

圆表示1~100中3的倍数，B圆表示1~100中5的倍数，

长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．

由1003331

÷=可知，1~100中3的倍数有33个；

由100520

÷=可知，1~100中5的倍数有20个；

由10035610

（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．

÷⨯=

由包含排除法，3或5的倍数有：3320647

+-=(个)．

从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753

-=(个)．

考点五：容斥原理中的最值问题

例1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？

【解析】越是中间，被重复计算的越多，

最中心的区域被重复计算四次，

将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中，

最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.

P(Practice-Oriented)——实战演练

实战演练

➢课堂狙击

1、芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？

A

C B

【解析】如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，

图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376

-=(人)，

图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721

-=(人)．

2、科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？

A

C B

【解析】因为403272

>，所以必有人两项制作都完成了．

+=，7255

由于每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知：

全组人数4032

=+-完成了两项制作的人数，

即5572

=-完成了两项制作的人数．

所以，完成了两项制作的人数为：725517

-=(人)．

3、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参