理科数学2010-2019高考真题分类训练专题十计数原理第三十讲排列与组合答案

专题十 计数原理
第三十讲 排列与组合
答案部分
1．C 【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有210C 种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率21031C 15
==P ，故选C ． 2．D 【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有2
4C 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式
共有2343C A 36⨯=种． 故选D ．
3．C 【解析】不放回的抽取2次有1198C C 9872=⨯=，如图 21，3，4，5，6，7，8，9
23，4，5，6，7，8，91
可知(1,2)与(2,1)是不同，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同有11542C C =40，所求概率为405728
=． 4．B 【解析】由题意可知E F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法计数原理知，共有6318⨯= 种走法，故选B ．
5．D 【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中任选一个，有13A 种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列,有4
4A 种方
法，所以其中奇数的个数为1434A A 72=，故选D ． 6．B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有3
42A ⨯个；若万位上排5，
则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个，选B ． 7．D 【解析】4422728
P -==． 8．D 【解析】易知12345||||||||||x x x x x ++++=1或2或3，下面分三种情况讨论．其
一：12345||||||||||x x x x x ++++=1，此时，从12345,,,,x x x x x 中任取一个让其等
于1或-1，其余等于0，于是有115210C C =种情况；其二：
12345||||||||||x x x x x ++++=2，此时，从12345,,,,x x x x x 中任取两个让其都等于
1或都等于-1或一个等于1、另一个等于-1，其余等于0，于是有221552240C C C +=种
情况；其三：12345||||||||||x x x x x ++++=3，此时，从12345,,,,x x x x x 中任取三个让其都等于1或都等于-1或两个等于1、另一个等于-1或两个等于-1、另一个等于
1，其余等于0,于是有3313255353280C C C C C ++=种情况．由于104080130++=．
9．C 【解析】直接法：如图，在上底面中选11B D ，四个侧面中的面对角线都与它成60︒，
共8对，同样11A C 对应的也有8对，下底面也有16对，这共
有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对，所以全部共有48
对．
间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或
成角为60︒，所以成角为60︒的共有21212648C --=． 10．A 【解析】分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有
2345(1)a a a a a +++++种不同的取法；第二步，5个无区别的篮球都取出或都不取出，则有5(1)b +种不同的取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球任取0个，1个，…，5个，有5(1)c +种不同的取法，所以所求的取法种数为2345(1)a a a a a +++++5(1)b +5
(1)c +．
11．B 【解析】能够组成三位数的个数是9×10×10=900，能够组成无重复数字的三位数的
个数是9×9×8 =648．故能够组成有重复数字的三位数的个数为900648252-=．
12．A 【解析】先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到
乙地，共有122412C C =种． 13．D 【解析】和为偶数，则4个数都是偶数，都是奇数或者两个奇数两个偶数，则有
44224545156066C C C C ++⋅=++=种取法．
14．C 【解析】若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有
14C ⨯14C ⨯14C =64，若2张同色，则有21213244144C C C C ⨯⨯⨯=，若红色1张，其余2
1
张不同色，则有12114344192C C C C ⨯⨯⨯=，其余2张同色则有11243472C C C ⨯⨯=，所以
共有64+144+192+72=472．
另解1：4728856072166
14151641122434316=-=--⨯⨯=
--C C C C ,答案应选C ． 另解2：472122642202111241261011123212143431204=-+=⨯⨯+-⨯⨯=+-C C C C C ． 15．B 【解析】B ，D ，E ，F 用四种颜色，则有441124A ⨯⨯=种涂色方法；B ，D ，E ，F 用
三种颜色，则有33
4422212192A A ⨯⨯+⨯⨯⨯=种涂色方法；B ，D ，E ，F 用两种颜色，
则有242248A ⨯⨯=种涂色方法；所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法．
16．B 【解析】分两类：一类为甲排在第一位共有4424A =种，另一类甲排在第二位共有
133318A A =种，故编排方案共有241842+=种，故选B ． 17．C ．【解析】共有5！=120个不同的闪烁，每个闪烁要完成5次闪亮需用时间为5秒，
共5⨯120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5⨯(120—1)=595秒。

那么需要的时间至少是600＋595=1195秒．
18．C 【解析】由于五个人从事四项工作，而每项工作至少一人，那么每项工作至多两人，
因为甲、乙不会开车，所以只能先安排司机，分两类：(1)先从丙、丁、戊三人中任选一人开车；再从其余四人中任选两人作为一个元素同其他两人从事其他三项工作，共有123
343C C A 种．(2)先从丙、丁、戊三人中任选两人开车：其余三人从事其他三项工作，
共有2333C A 种．所以，不同安排方案的种数是123343C C A 2333+C A =126（种）．故选C ． 19．16【解析】通解 可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有
1224C C 12=（种）
；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有2124C C 4=（种）． 根据分类加法计数原理知，至少有l 位女生人选的不同的选法有16种．
优解 从6人中任选3人，不同的选法有36C 20=（种），从6人中任选3人都是男生，
不同的选法有34C 4=（种），所以至少有1位女生入选的不同的选法有20–4 =16（种）．
20．1260【解析】若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为224
534C C A ；若取
的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为21135333C C C A ．综上，一共可以组成的
没有重复数字的四位数的个数为224534C C A + 21135333C C C A =720+ 540 =1 260．
21．660【解析】分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有4486C C 55-=种不
同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各一人，有24A 12=种不同的选法，根
据分步乘法计数原理共有5512660⨯=种不同的选法．
22．1080【解析】分两种情况，只有一个数字为偶数有134454C C A 个，没有偶数有4
5A 个，所
以共有413454541080A C C A +=个． 23．1560 【解析】由题意2401560A =，故全班共写了1560条毕业留言．
24．60【解析】分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数
为212314C C A 36=；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为34A 24=，
则获奖情况总共有36 +24 =60（种）．
25．36【解析】将A 、B 捆绑在一起，有22A 种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有4
4A 种摆法，共有22A 44A =48种摆法，而A 、B 、C 3件在一起，且A 、B 相邻，A 、C 相邻
有CAB 、BAC 两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有33212A ⨯=种摆法，故A 、
B 相邻，A 、
C 不相邻的摆法由48-12=36．
26．16【解析】6之前6个数中取3个，6之后3个数中取3个，3363310
16C C P C ⋅==； 27．12
【解析】从10件产品中任取4件共有410C =210种不同取法，因为10件产品中有7件正品、3件次品，所以从中任取4件恰好取到1件次品共有1337C C 105=种不同的取法，故所求的概率为10512102
P ==． 28．96【解析】5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法分给4个人有44A 种
方法，∴总共有44496A =．
29．【解析】（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不
能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有90109=⨯种．答案：90
（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，21n +位回文数和22n +位回文数的个数相
同，所以可以算出22n +位回文数的个数．22n +位回文数只用看前1n +位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n 项每项有10种情况，所以个数为910n
⨯． 法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。

计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导22102n n S S =-，而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这
十个数，因此21210n n S S +=，则答案为910n ⨯． 30．21 43【解析】1,2,3,4n =时，黑色正方形互不相邻的着色方案种数分别为2，3，5，
8，由此可看出后一个总是前2项之和，故5n =时应为5+8=13，6n =时应为8+13=21；
6n =时，所有的着色方案种数为0
1234566666666C C C C C C C 64N =++++++=种，∴
至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有642143-=种．
31．8【解析】由题意22114
n C =，解得8n =． 32．480【解析】第一类，字母C 排在左边第一个位置，有55A 种；第二类，字母C 排在左
边第二个位置，有2343A A 种；第三类，字母C 排在左边第三个位置，有2323
2333A A A A +种，由对称性可知共有2⨯(55A +2343A A +23232333A A A A +)=480种．
33．264【解析】上午的总测试方法有4424A =种，我们以,,,,A B C D E 依次代表五个测试项目，若上午测试E 的下午测试D ，则上午测试A 的下午只能测试,B C ，此种测试方法共有2种；若上午测试E 的同学下午测试,,A B C 之一，则上午测试,,A B C 中任何一个的下午都可以测试D ，安排完这个同学后其余两个同学的测试方式就确定了，故共有339⨯=种测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步乘法原理，总的测试方法共有2411264⨯=种．。