北京市第四十三中学2020-2021学年高二12月月考数学试题

北京市第四十三中学2020-2021学年高二12月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数y =
） A ．(],1-∞- B ．()1,1- C ．(][),11,-∞-+∞ D ．[)1,+∞
210y -+=的倾斜角的大小为( )
A ．30
B ．60
C ．120
D ．150
3．圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）
A ．()()22111x y -+-=
B ．()()22111x y +++=
C ．()()22112x y +++=
D ．()()22112x y -+-=
40y +-=截圆224x y +=所得的弦长为（ ）
A B ．C ．1 D ．2 5．双曲线2
213
y x -=的一个焦点坐标为（ ）
A ．0)
B ．
C ．(2,0)
D ．(0,2) 6．已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（ ）
A ．12
B ．2
C ．15
D 7．抛物线22y x =的准线方程为（ ）
A ．12x =-
B ．12y
C ．1
8x =- D ．18
y =- 8．已知方程22
212x y m m
+=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．2m >或1m <- B ．2m >-
C ．12m -<<
D ．2m >或21m -<<-
9．在△ABC 中，30A ∠=︒，2AC =，BC =
sin B 等于（ ）
A ．2
B ．4
C ．2
D 10．设椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）离心率为12e =，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点()12,P x x （ ）
A ．必在圆222x y +=内
B ．必在圆222x y +=上
C ．必在圆222x y +=外
D ．以上三种情形都有可能
二、填空题
11．不等式(2)0x x -<的解集是_____________
12．直线l 过点()1,2-且与直线2x 3y 40-+=垂直，则直线l 的方程是______． 13．已知()()3,2,5,1,,1,a b x =-=-且2a b ⋅=，则x 的值是 __________ 14．已知F 1、F 2为椭圆22
1259
x y +=的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF 的周长为______．
15．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为________. 16．如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，以下结论正确的是____________
①异面直线1A D 与1AB 所成的角为60︒
②直线1A D 与1BC 垂直
③直线1A D 与1BD 平行
④三棱锥1
A ACD -的体积为316a 17．已知曲线C 的方程424+=x y ，有以下说法：
①曲线C 过原点
②曲线C 与x 轴有两个交点
③曲线C 关于x 轴，y 轴对称
④(,)P x y 为曲线C 上任意一点，则4y ≤
其中全部正确的是_______________
三、双空题
18．双曲线2
214
x y -=的顶点坐标______________，渐近线方程________________
四、解答题
19．已知圆222:2100(0)C x ax y y a a -+-+=>截直线50x y +-=的弦长为 （Ⅰ）求圆C 的半径；
（Ⅱ）求a 的值；
（Ⅲ）过点(10,15)P 作圆C 的切线，求切线的方程．
20．已知椭圆C 的焦点为(2,0)-和(2,0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆C 交于,A B 两点.当m 变化时，求AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）
21．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点()0,1A -．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）若经过点()1,1，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点A ），
证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．
22．如图,四棱锥P ABCD -中,AD ⊥平面ABP ,//BC AD , 90PAB ∠=.
2PA AB ==,3AD =,BC m =,E 是PB 的中点.
(Ⅰ)证明:AE ⊥平面PBC ;
(Ⅱ)若二面角C AE D --求m 的值; (Ⅲ)若2m =,在线段AD 上是否存在一点F ,使得PF ⊥CE . 若存在,确定F 点的位置;若不存在,说明理由.
参考答案
1．C
【分析】
令210x -≥，解不等式即可.
【详解】
由题意可得：210x -≥，解得：1≥x 或1x ≤-，
所以函数y =
(][),11,-∞-+∞，
故选：C
2．B
【分析】
由直线方程可求斜率，从而可得倾斜角．
【详解】
x -y +1=0的倾斜角为θ，
则θ∈[0°
，180°）． ∴θ=60°，
故选B ．
【点睛】
本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．D
【解析】
试题分析：设圆的方程为()()2211(0)x y m m -+-=>，且圆过原点，即()()
220101(0)m m -+-=>，得2m =，所以圆的方程为()()22112x y -+-=.故选D. 考点：圆的一般方程.
4．D
【分析】 根据圆的方程直接求出圆心及半径，再求出圆心到直线距离，再根据圆心到直线距离与半径及半弦长满足勾股定理，求得半弦长与弦长.
【详解】
由圆224x y +=得该圆的圆心为(0,0)，半径为2r
，
故圆心到直线的距离d ==
故弦长2l ===，
故选：D.
【点睛】
圆的弦长的常用求法：
(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l
，则l =
(2)
代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：12AB x =-.
5．C
【分析】
利用双曲线方程求出c ，然后求解焦点坐标即可.
【详解】 由双曲线2213y x -=得24,2c c ==，
(2,0)F ∴±，
故选：C.
6．D
【分析】
由题意及椭圆的简单性质易得2b c =
，a =，结合离心率的概念即可得结果.
【详解】
∵椭圆的短轴长是焦距的2倍，∴2b c =，
又∵222a b c =+，∴2224a c c =+
，可得a =，
∴椭圆的离心率为5
c e a =
=， 故选：D.
7．D
【分析】
先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程.
【详解】
抛物线的方程可变为x 212
=y 故128
p = 其准线方程为y 18=-
故选D.
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为p ＝1，因看错方程形式马虎导致错误．
8．D
【分析】
根据椭圆的定义及标准方程，列出关于m 的不等式组求解即可.
【详解】
有题意可知2202m m m +>⎧⎨
>+⎩，解得2m >或21m -<<-. 故选：D.
9．A
【分析】
根据正弦定理求解.
【详解】
由题意可知BC a ==，2AC b ==，根据正弦定理得
sin 2sin
2b A B a ===. 故选：A.
10．A
【分析】
先利用离心率得到12c a =，b =，代入方程整理得2102x x +-=，利用韦达定理，代入点P ，得到()2221212122x x x x x x +=+-，即可判断.
【详解】 ∵椭圆的离心率12
c e a ==，
∴12c a =，2
b a ==，
∴221022ax bx c ax a +-++
-=， ∵0a ≠，
∴2102
x x +-=， 又该方程有两个实根分别为1x 和2x ，
∴12x x +=，1212x x =-， ∴()22212121232124x x x x x x +=+-=
+<， ∴点P 在圆222x y +=的内部，
故选：A.
11．{|0x x <或2}x >
【分析】
将一元二次不等式化为标准形式可解得结果.
【详解】
由(2)0x x -<得(2)0x x ->，
所以0x <或2x >.
故答案为：{|0x x <或2}x >
12．3210x y +-=.
【分析】
根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x ﹣3y +4=0垂直的直线方程为﹣3x ﹣2y +c=0，再把点（﹣1，2）代入，即可求出c 值，得到所求方程．
【详解】
∵所求直线方程与直线2x ﹣3y +4=0垂直，∴设方程为﹣3x ﹣2y +c=0
∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c=0
∴c=1
∴所求直线方程为3210x y +-=．
故答案为：3210x y +-=．
【点睛】
本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于基础题．
13．5
【分析】
利用向量数量积的坐标运算公式直接求解.
【详解】
由()()3,2,5,1,,1,a b x =-=-且2a b ⋅=，
得()312512a b x ⋅=-⨯++⨯-=，
解得5x =，
故答案为：5
14．20
【分析】
根据椭圆的定义，直接计算结果.
【详解】
2ABF 的周长221222l AB AF BF AF BF AF BF =++=+++
()12124AF AF BF BF a =+++=，
由椭圆方程可知2255a a =⇒=，
所以2ABF 的周长20l =.
故答案为：20
15．5
【详解】
试题分析：由已知，抛物线24x y =的焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，根据抛物线的定义，点A 到抛物线焦点的距离等于到准线的距离4(1)5--=．
考点：1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程.
16．①②④
【分析】
连接1AB ，1B C ，AC ，则可得出1AB C 为等边三角形，则1A D 与1AB 所成角等于1AB 与1B C 所成角，其大小为60；证明11B C BC ⊥，再由11//A D B C 可得11A D BC ⊥；证明1B C ⊥平面11BC D ，得出11B C BD ⊥，从而证得11A D BD ⊥；最后计算出
13111113
326
A A CD ACD V S AA a a a a -=⋅=⨯⋅⋅=. 【详解】 对于①，连接1A
B ，1B
C ，AC ，则根据正方体的特点可知11//A
D B C ，且11A D B C AC ==，则三角形1AB C 为等边三角形，所以1A D 与1AB 所成角等于1AB 与1B C 所成角，其大小为60，故①正确；
对于②，如图所示，因为11//A D B C ，又11B C BC ⊥，所以11A D BC ⊥，故②正确； 对于③，由②可知11B C BC ⊥，又111B C C D ⊥，且1111BC C D C =，1BC ⊂平面11BC D ，11C D ⊂平面11BC D ，所以1B C ⊥平面11BC D ，所以11B C BD ⊥，则11A D BD ⊥，故③错误；
对于④，连接1A C ，则三棱锥1
A ACD -的体积为3111113326ACD V S AA a a a a =⋅=⨯⋅⋅=，故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】
本题考查空间异面直线间的夹角、空间直线间位置关系的判断等，解答本题的关键在于： （1）用定义法求解异面直线夹角时，注意要将线进行平移转化，找到异面直线夹角的平面角，然后通过解三角形求解夹角的大小或夹角余弦值的大小；
（2）注意运用空间平行关系、垂直关系的判定定理与性质定理判断空间两条直线间的位置关系.
17．②③④
【分析】
将原点做标代入可判断①错误；令0y =，求解x 的根的个数判断②是否正确；针对0y ≥和
0y <两类情况分类讨论，根据解析式及性质判断③是否正确；再将原式化为442y x =-，判断4y ≤是否成立.
【详解】
对于①，将原点()0,0代入可判断①错误；
对于②，令0y =得，4
24x =，解得142x =±，则曲线C 与x 轴有两个交点，故②正确； 对于③，当0y ≥时，442y x =- ，当0y <时，()442y x =--，因为曲线4
42y x =-与()442y x =--曲线的图象都关于y 轴对称，则曲线C 的图象关于y 轴对称；而当0
y >与0y <时，解析式互为相反数，故其图象关于x 轴对称，所以③正确； 对于④，由4
24+=x y 得442y x =-，因为4024x ≤≤，则4424y x =-≤，故④正
确.
故答案为：②③④.
18．()2,0-，()2,0 12
y x =±
【分析】 求出双曲线2
214
x y -=中的,a b ，从而得到顶点坐标、渐近线方程. 【详解】 双曲线2
214
x y -=中的24a =，21b =， 所以2a =，1b =，
所以顶点坐标为()2,0-，()2,0，渐近线方程为12b y x x a =±
=±，即12y x =±. 故答案为：()2,0-，()2,0；12
y x =±. 19．（Ⅰ）5；（Ⅱ）5；（Ⅲ）10x =或34300x y -+=．
【分析】
（Ⅰ）将圆的方程化为标准形式可得结果；
（Ⅱ）根据勾股定理列式可解得结果；
（Ⅲ）分类讨论切线的斜率是否存在，利用待定系数法可求得结果.
【详解】
（Ⅰ）圆222:2100C x ax y y a -+-+=可化为222()(5)5x a y -+-=
所以圆C 的半径为5．
（Ⅱ）圆心(,5)C a 到直线50x y +-=的距离为
d ==
所以由勾股定理，得2
225
=+，即2
252522a =+，5a =± 又因为0a >
所以a =5．
（Ⅲ）当过点(10,15)P 的直线的斜率不存在时，直线方程为10x =，显然它和圆C 相切； 当过点(10,15)P 的直线的斜率存在时，设直线方程为15(10)y k x -=-，即
15100kx y k -+-=，
因为此直线与圆C
5=，解得34
k = 因此，切线为10x =或34300x y -+=．
【点睛】
易错点点睛：设直线方程时，要注意直线的斜率是否存在，这里容易漏掉切线的斜率不存在的情形.
20．（1）22
184
x y +=；（2
）最大值 【分析】
（1）通过椭圆的定义即得结论；（2）联立直线l 与椭圆方程，利用韦达定理，三角形的面积公式，计算即可得出结果.
【详解】
（1）设椭圆C 的标准方程为：()22
2210x y a b a b
+=>>，
由题意知：22222,a c b a c ===-，
则2a b ==，
所以椭圆C 的标准方程为：22
184
x y +=； （2）联立2218
4y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， 消去y 并整理得：2234280x mx m ++-=，
()()2
2443280m m ∆=-⨯⨯->，
解得：m -<
由题意知：0m ≠，
设()()1122,,,A x y B x y ，
由韦达定理得：
1221243283m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
，
设直线l 与y 轴的交点为()0,E m ，
所以AOB 的面积1212S m x x =
⋅⋅-， 则()2221212144S m x x x x ⎡⎤=+-⎣
⎦ 222116284493m m m ⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭
()
222249m m -+=
()
22222418m m ⋅-+=
222122248182m m ⎛⎫-+≤⨯= ⎪⎝⎭
，
当且仅当26m m =⇒= AOB
面积取得最大值【点睛】
关键点睛：本题是直线与圆锥曲线的综合题；联立直线l 与椭圆方程，利用韦达定理，三角形的面积公式是解决本题的关键.
21．（1）2
212
x y +=；（2）所以直线AP 、AQ 斜率之和为定值2． 【分析】
（1）运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，进而得到椭圆方程；
（2）把直线PQ 的方程代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．
【详解】
解：（1
）由题意知c a =，1b =，结合222a b c =+
，解得a = ∴椭圆的方程为2212
x y +=； （2）由题设知，直线PQ 的斜率不为0，
则直线PQ 的方程为(1)1y k x =-+(2)k ≠，代入2
212
x y +=，得 22(12)4(1)2(2)0+--+-=k x k k x k k ，
由已知0∆>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，120x x ≠， 则1224(1)12k k x x k -+=+，122
2(2)12k k x x k -=+， 从而直线AP 与AQ 的斜率之和：
12121212
1122AP AQ y y kx k kx k k k x x x x +++-+-+=+=+ 121212112(2)(
)2(2)x x k k k k x x x x +=+-+=+- 4(1)2(2)22(1)22(2)
k k k k k k k k -=+-=--=-． 所以直线AP 、AQ 斜率之和为定值2．
【点睛】
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 22．(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 1m =. (Ⅲ)不存在，见解析
【分析】
（I ）通过证明,AE BC AE PB ⊥⊥，证得AE ⊥平面PBC .
（II ）建立空间直角坐标系，利用二面角C AE D --的余弦值列方程，解方程求得m 的值. （III ）设出F 点的坐标，利用0PF CE ⋅=列方程，推出矛盾，由此判断满足条件的F 点不存在.
【详解】
(Ⅰ)证明:因为 AD ⊥平面PAB ,//BC AD ,
所以 BC ⊥平面PAB .
又因为 AE ⊂平面PAB ,所以 AE BC ⊥. 在PAB ∆中,PA AB =,E 是PB 的中点, 所以 AE PB ⊥.
又因为 BC PB B =,所以 AE ⊥平面PBC .
(Ⅱ)解:因为 AD ⊥平面PAB ,
所以AD AB ⊥,AD PA ⊥.
又因为 PA AB ⊥,
所以 如图建立空间直角坐标系A xyz -.
则(0,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,2,)C m ,(1,1,0)E ,
(2,0,0)P ,(0,0,3)D ,
(0,2,)AC m =,(1,1,0)AE =.
设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =.
则 0,0,n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩
即 20,0.
y mz x y +=⎧⎨+=⎩ 令1x =,则1y =-,2z m =, 于是2(1,1,)n m
=-. 因为AD ⊥平面PAB ,所以AD PB ⊥. 又PB AE ⊥,
所以PB ⊥平面AED .
又因为(2,2,0)PB =-,
所以 取平面AED 的法向量为1,)0(1,m =-.
所以 3cos ,n m n m n m
⋅〈〉==
⋅, 34
=,解得21m =.
又因为0m >,所以1m =.
(Ⅲ)结论:不存在.理由如下:
证明:设(0,0,)F t (03)t ≤≤.
当2m =时,(0,2,2)C .
(2,0,)PF t =-,(1,1,2)CE =--.
由PF CE ⊥知,0PF CE ⋅=,220t --=,1t =-.这与03t ≤≤矛盾.
所以,在线段AD 上不存在点F ,使得PF CE ⊥.
【点睛】
本小题主要考查线面垂直的证明，考查根据二面角的余弦值求参数，考查存在性问题的求解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.。