2019年四川省巴中市高考数学零诊试卷(理科)

2019年四川省巴中市高考数学零诊试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合2{|4}B x x =…，则集合(R B =ð ) A ．(2,)+∞
B ．[2，)+∞
C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞
D ．(-∞，2][2-，)+∞
2．（5分）设i 是虚数单位，复数21i
z i
=-，则||(z = )
A ．1
B C D ．2
3．（5分）下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是( ) A ．2x y -= B ．tan y x = C ．3y x =
D ．3log y x =
4．（5分）5(x
的展开式中第4项的系数为( )
A ．10
B ．20
C ．40
D ．80
5．（5分）若1cos()42
πθ-=，则sin 2(θ= )
A ．1
2
-
B ．
C ．
12
D 6．（5分）记Sn 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =，36S =-．则{}n a 的通项公式为(
)
A ．(2)n n a =-
B ．2n n a =-
C ．(3)n n a =-
D ．3n n a =-
7．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A ．16
B ．32
C ．48
D ．144
8．（5分）将函数2sin 2y x =的图象向左平移
12
π
个单位长度后所得图象的一个对称中心为(
) A ．(12
π
-
，0)
B ．(12
π
，0)
C ．(6
π
-
，0) D ．(
6
π
，0) 9．（5分）在ABC ∆中，“AB AC BA BC =”是“||||AC BC =” ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．（5分）若双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐进线与抛物线24y x =的准线围成的三
角形面积为2．则双曲线的离心率为( ) A
B
C ．2 D
11．（5分）已知三棱锥P ABC -中，4PA =
，AB AC ==，6BC =，PA ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为( ) A ．16π
B ．32π
C ．64π
D ．128π
12．（5分）已知32a ln π=，23b ln π=，23c ln π=，则下列选项正确的是( ) A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ．c b a >>
D ．b c a >>
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）函数()|2|f x x lnx =--的零点个数为 ．
14．（5分）设x ，y 满足约束条件1010220
x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪--⎩
…
……，则1y z x =+的取值范围是 ．
15．（5分）过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为45︒的直线交抛物线于A 、B 两点，则线段AB 的长为 ．
16．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2cos a A
c C
=
-，则A 的取值范围为
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24a =，530S =． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列1
{
}n
S 的前n 项和． 18．（12分）某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中，随机发放了120份问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下22x ⨯列联表：
（1）现已按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望 （2）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过P ，那么根据临界值表最精确的P 的值应为多少？请说明理由．
附：独立性检验统计量22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++，
独立性检验临界表：
19．（12分）如甲图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，将ADE ∆沿AE 折起到△1D AE 位置，使平面1D AE ⊥平面ABCE ，得到乙图所示的四棱锥1D ABCE -．
（Ⅰ）求证：BE ⊥平面1D AE ； （Ⅱ）求二面角1A D E C --的余弦值．
20．（12分）已知动点E 到点(2,0)A 与点(2,0)B -的直线斜率之积为14
-，点E 的轨迹为曲
线C ．
（1）求C 的方程；
（2）过点(1,0)D 作直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求OP OQ 的最大值． 21．（12分）已知函数()1x f x ae lnx =--．
（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）若()0f x …，求a 的取值范围，
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题对应的标号涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知直线1:(2x t
l t y t =+⎧⎨=-⎩
为参数），以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，
曲线:2sin C ρθ=．
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线Z 的普通方程；
（2）求与直线l 平行，且被曲线C 1l 的方程． （本小题满分0分）[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数()||||f x x a x =-+．
（1）当2a =时，解不等式()3f x …的解集；
（2）若存在x R ∈，使得()3f x <成立，求实数a 的取值范围．
2019年四川省巴中市高考数学零诊试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合2{|4}B x x =…，则集合(R B =ð ) A ．(2,)+∞
B ．[2，)+∞
C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞
D ．(-∞，2][2-，)+∞
【解答】解：2{|4}{|22}B x x x x ==-剟?， 则{|2R B x x =>ð或2}x <-， 故选：C ．
2．（5分）设i 是虚数单位，复数21i
z i
=-，则||(z = )
A ．1
B
C
D ．2
【解答】解：22(1)(1)11(1)(1)
i i i z i i i i i i +=
==+=-+--+，
则||z =， 故选：B ．
3．（5分）下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是( ) A ．2x y -=
B ．tan y x =
C ．3y x =
D ．3log y x =
【解答】解：A ．2x y -=是非奇非偶函数；
B ．tan y x =在定义域上不具有单调性；
C ．3
y x =是R 上的奇函数且具有单调递增；
D ．3log y x =是非奇非偶函数．
故选：C ． 4．（5分）5(x
的展开式中第4项的系数为( )
A ．10
B ．20
C ．40
D ．80
【解答】解：5
(x
+
的展开式中第4项为13
3
2
45
2T C x =．故该项的系数为3
35
280C =，
故选：D ．
5．（5分）若1
cos()42
πθ-=，则sin 2(θ= )
A ．1
2
-
B
． C ．
12
D
【解答】解：由1
cos()42
πθ-=，得
2211
sin 2cos(2)cos2()2()12()124422
cos πππθθθθ=-=-=--=⨯-=-．
故选：A ．
6．（5分）记Sn 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =，36S =-．则{}n a 的通项公式为(
)
A ．(2)n n a =-
B ．2n n a =-
C ．(3)n n a =-
D ．3n n a =-
【解答】解：根据题意，设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 又由22S =，36S =-， 则有12
1
(1)2
(1)6a q a q q +=⎧⎨++=-⎩， 解可得12a =-，2q =-， 则(2)n n a =-； 故选：A ．
7．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A ．16
B ．32
C ．48
D ．144
【解答】解：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：
其中2BC =，6AD =，6AB =，SA ⊥平面ABCD ，6SA =，
∴几何体的体积126
664832
V +=⨯
⨯⨯=．
故选：C ．
8．（5分）将函数2sin 2y x =的图象向左平移
12
π
个单位长度后所得图象的一个对称中心为(
) A ．(12
π
-
，0)
B ．(12
π
，0)
C ．(6
π
-
，0) D ．(
6
π
，0) 【解答】解：函数2sin 2y x =的图象向左平移12
π
个单位长度后，
得到：2sin(2)6y x π
=+，
令：2()6
x k k Z π
π+
=∈，
解得：()212
k x k Z ππ
=
-∈， 当0k =时，12
x π
=-，
故对称中心为(12
π
-，0)
故选：A ．
9．（5分）在ABC ∆中，“AB AC BA BC =”是“||||AC BC =” ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为在ABC ∆中AB AC BA BC =等价于0AB AC BA BC -=等价于
()0AB AC BC +=，
因为AC BC +的方向为AB 边上的中线的方向．
即AB 与AB 边上的中线相互垂直，则ABC ∆为等腰三角形，故AC BC =，
即||||AC BC =，所以为充分必要条件． 故选：C ．
10．（5分）若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐进线与抛物线24y x =的准线围成的三
角形面积为2．则双曲线的离心率为( ) A
B
C ．2 D
【解答】解：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为b
y x a
=±，
抛物线24y x =的准线为1x =-，
可得渐近线与准线的交点为(1,)b a
-，(1,)b
a --，
由题意可得
12122b
a
=， 即有2b a =
，
可得c e a ==
故选：D ．
11．（5分）已知三棱锥P ABC -中，
4PA =，AB AC ==，6BC =，PA ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为( ) A ．16π
B ．32π
C ．64π
D ．128π
【解答】
解：底面ABC ∆中，AB AC ==6BC =，
1
cos 2BAC ∴∠==
-
sin BAC ∴∠=
ABC
∴∆
的外接圆半径12r =
=
所以三棱锥外接球的半径222
22(
)2162
PA R r =+=+=， 所以三棱锥P ABC -外接球的表面积2464S R ππ==． 故选：C ．
12．（5分）已知32a ln π=，23b ln π=，23c ln π=，则下列选项正确的是( )
A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ．c b a >>
D ．b c a >>
【解答】解：262
a ln π=
，363b ln π=，6c ln πππ=， 60π>，
a ∴，
b ，
c 的大小比较可以转化为
23,,
23ln ln ln π
π
的大小比较． 设()lnx
f x x =， 则2
1()lnx
f x x -'=
， 当x e =时，()0f x '=，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '< ()f x ∴在(,)e +∞上，()f x 单调递减， 34e π<<<
∴
342
342
ln ln ln ln ππ>>=
， b c a ∴>>，
故选：D ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）函数()|2|f x x lnx =--的零点个数为 2 ． 【解答】解：由题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞；
由函数零点的定义，()f x 在(0,)+∞内的零点即是方程|2|0x lnx --=的根． 令1|2|y x =-，2(0)y lnx x =>，在一个坐标系中画出两个函数的图象： 由图得，两个函数图象有两个交点， 故方程有两个根，即对应函数有两个零点． 故答案为：2．
14．（5分）设x ，y 满足约束条件1010220
x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪--⎩
…
……，则1y z x =+的取值范围是 [0，1] ．
【解答】解：作出x ，y 满足约束条件1010220
x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪--⎩
…
……对应的平面区域如图：1y z x =
+则z 的几何意义为区域内的点(1,0)-的斜率，
由图象知z 的最小为DB 的斜率：0，z 的最大值为AD 的斜率：11
y
z x ==+， 则01z 剟，
故答案为：[0，1]．
15．（5分）过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为45︒的直线交抛物线于A 、B 两点，则线段AB 的长为 8 ．
【解答】解：由题意得：抛物线24y x =的焦点F 为(1,0)， 直线AB 倾斜角为45︒，
∴直线AB 的斜率为1，即方程为1y x =-，
联立得：241y x y x ⎧=⎨=-⎩
，
消去y 得：2(1)4x x -=，即2610x x -+=，
设方程的两根为1x ，2x ，即1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则有126x x +=，121x x =，
则||8AB ==， 故答案为：8
16．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知
cos 2cos a A
c C
=
-，
则A 的取值范围为 (0，]6
π
【解答】解：由cos 2cos a A c C
=-得222
2
22222b c a a bc a b c c ab +-=+--
，化简得2b a =，
22222243cos 22244b c a a c a a c A ac ac c a +-+-∴===+…， 0A π<<，且余弦函数在[0，]π上是递减函数，
06
A π
∴<…
，
故答案为(0，]6
π
．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24a =，530S =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列1
{
}n
S 的前n 项和． 【解答】解：（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 依题意可知215154
4,5302
a a d S a d ⨯=+==+
=， 解得12a =，2d =，故1(1)2(1)22()n a a n d n n n N =+-=+-⨯=∈， （2）因为(22)
(1)2
n n n S n n +=
=+， 所以1111(1)1
n S n n n n ==-
++， 所以
12111111111111111122334111
n
S S S S n n n n +++⋯+=-+-+-+⋯+-=-=
+++． 18．（12分）某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中，随机发放了120份问卷．对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下22x ⨯列联表：
（1）现已按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随
机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望 （2）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过P ，那么根据临界值表最精确的P 的值应为多少？请说明理由．
附：独立性检验统计量2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++，
独立性检验临界表：
【解答】解：（1）因为9份女生问卷是用分层抽样取到的，所以这9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘．
因为ξ表示从这9份问卷中随机抽取的4份中能做到光盘的问卷份数，所以ξ有0，1，2，3的可能取值，
所以46495(0)42C P C ξ===，31634910(1)21C C P C ξ===，22634
95(2)14
C C P C ξ===，13
63491
(3)21C C P C ξ===．
ξ的分布列如下
所以5105140123422114213
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=； （2）2
2
100(45153010) 3.0355452575
K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯
因为2.706 3.03 3.840<<．
所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即0.1P =． 19．（12分）如甲图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，将ADE ∆沿AE 折起到△1D AE 位置，使平面1D AE ⊥平面ABCE ，得到乙图所示的四棱锥1D ABCE -．
（Ⅰ）求证：BE ⊥平面1D AE ； （Ⅱ）求二面角1A D E C --的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AE 中点F ，连1D F ， 在△1AD E 中，112D A D E ==，1D F AE ∴⊥， 又平面1D AE ⊥平面ABCE ，1D F ∴⊥平面ABCE ，
BE ⊂平面ABCE ，1D F BE ∴⊥．
在ABE ∆
中，可得AE =
BE =4AB =，
BE AE ∴⊥，又1D F AE F =，
BE ∴⊥平面1D AE ；
（Ⅱ）解：由题意，取AB 中点G ，以E 为坐标原点，分别以EG ，EC 为x ，y 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -．
如图所示，则(0E ，0，0)，(0C ，2，10)(1D ，1-
，(2B ，2，0)， 由（Ⅰ）知：(2,2,0)EB =是平面1AD E 的法向量， 设平面1CED 的法向量为(,,)m x y z =，则
120
m EC y m ED x y ⎧==⎪⎨
=-+=⎪⎩，令1z =
，则x =0y =， ∴(2,0,1)m =-，
设二面角1A D E C --的平面角为θ，
则|cos ||cos ,||
EB m θ=<>==
． 由图可知，二面角1A D E C --的平面角为钝角，
cos θ∴=， 即二面角1A D E C --
的余弦值为．
20．（12分）已知动点E 到点(2,0)A 与点(2,0)B -的直线斜率之积为1
4
-，点E 的轨迹为曲
线C ．
（1）求C 的方程；
（2）过点(1,0)D 作直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求OP OQ 的最大值． 【解答】解：（1）设(,)E x y ，则2x ≠±．
因为E 到点(2,0)A ，与点(2,0)B -的斜率之积为14
-，
所以122
y y
x x =-+-，整理得C 的方程为2
21(2)4x y x +=≠±．
（2）当l 垂直于轴时，l 的方程为1x =，代入2214
x y +=得P ，(1,Q ，
所以(1OP OQ =(1，1
4=，
当l 不垂直于x 轴时，依题意可设(1)(0)y k x k =-≠，代入2
214
x y +=得
2222(14)8440k x k x k +-+-=． 因为△216(13)0k =+>， 设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，
则2122814k x x k +=+，2122
44
14k x x k -=+，
24222222121212121212222
24481171
(1)(1)(1)()(1)
141444164
k k OP OQ x x y y x x k x x k x x k x x k k k k k k -=+=+--=+-++=+-+=-<+++
综上14OP OQ …
，当l 垂直于x 轴时等号成立，故OP OQ 的最大值是1
4
． 21．（12分）已知函数()1x f x ae lnx =--．
（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间；
（2）若()0f x …，求a 的取值范围，
【解答】解：（1）函数()1x f x ae lnx =--． 0x ∴>，1
()x f x ae X
'=-
， 2x =是()f x 的极值点，
f ∴'（2）2102ae =-=，解得212a e
=， 21()12x f x e lnx e ∴=
--，211
()2x f x e e x
∴'=-，
当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>， ()f x ∴在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． （2）10x ae lnx --…恒成立，即1
x lnx a e +…恒成立．
设1()x
lnx g x e +=，则1
1
()x lnx x g x e --'=，
设1()1h x lnx x =
--，211
()0h x x x
'=--<， 所以()h x 在(0,)+∞单调递减，又h （1）0=， (0,1)x ∴∈，()0h x >；(1,)x ∈+∞，()0h x <，
()g x ∴单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1,)+∞，()max g x g =（1）1
e
=，
1a e
∴…．
a 的取值范围：1[e
，)+∞．
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题对应的标号涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知直线1:(2x t
l t y t =+⎧⎨=-⎩
为参数），以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，
曲线:2sin C ρθ=．
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线Z 的普通方程；
（2）求与直线l 平行，且被曲线C
1l 的方程．
【解答】解：（1）直线1:(2x t
l t y t =+⎧⎨=-⎩
为参数），
转换为直角坐标方程为：30x y +-=． 曲线:2sin C ρθ=．
转换为直角坐标方程为：2220x y y +-=．
转换为标准式为22(1)1x y +-=（2）设与直线l 平行的直线方程为：0x y b ++=
则：圆心(0,1)
到直线的距离d =
=，
解得：1b =-±
直线的方程为：10x y +-=
或10x y +-=． （本小题满分0分）[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数()||||f x x a x =-+．
（1）当2a =时，解不等式()3f x …的解集；
（2）若存在x R ∈，使得()3f x <成立，求实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）由()||||f x x a x =-+，2a =时，不等式()3f x …为|2|||3x x -+…， 等价于0223x x <⎧⎨-+⎩…，02
23x <⎧⎨⎩……，或2223x x ⎧⎨-⎩……
；
解得12x -
…或x ∈∅或52x …；所以不等式()3f x …的解集是1{|2
x x -…或5}2x …；
（2）若存在x R ∈，使得()3f x <成立，则()3min f x <， ①当0a >时，2,0(),02,a x x f x a x a x a x a -<⎧⎪
=<⎨⎪-⎩……，
()min f x a ∴=，即3a <，
a ∴的取值范围是03a <<；
②当0a =时，()2||f x x =，()(0)03min f x f ∴==<， 0a ∴=符合题意；
③当0a <时，2,(),02,0a x x a f x a a x x a x -<⎧⎪
=-<⎨⎪-⎩
……，
()3min f x a ∴=-<，3a >-，a ∴的取值范围是30a -<<；
综上，实数a 的取值范围是(3,3)-．。