河北省衡水中学20XX届高三上学期四调考试理数试题最新修正版

数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥
2.若()1z i i +=，则z 等于（ ） A ．1 B ．
32 C ．22 D ．12
3.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．3
4.已知双曲线()22
22:10 0x y C a b a b
-=>>，的离心率为
52，则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =± B ．13y x =± C.1
2
y x =± D ．y x =±
5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A ．4
B ．9 C.7 D ．5
6.已知函数()()()cos 0f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）
A ．函数()f x 的最小正周期为
23
π
B ．函数()f x 的图象可由()()cos g x A x ω=的图象向右平移12
π
个单位得到 C.函数()f x 的图象关于直线12
x π
=
对称
D ．函数()f x 在区间 4
2π
π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增
7.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数() 1 0 x f x x ⎧=⎨⎩
，
为有理数，为无理数，称为狄利克
雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；
③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；
④存在三个点()()()()()()112233 A x f x B x f x C x f x ，
，，，，，使得ABC △为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ）
A ．4
B ．3 C.2 D ．1
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．10
B ．20 C.40 D ．60
9.已知A 、B 是椭圆()22
2210x y a b a b +=>>长轴的两个端点，M 、
N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k ≠，
，若椭圆的离心率为3
2
，则12k k +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C.
3
2
D ．3 10.在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（ ） A ．36 B ．123 C.24 D ．183
11.已知函数()()()3
ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，
，，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[]0 1， D ．30 2⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦，
12.已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足3MF FN =，16
3
MN =
，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ） A ．2
212316333x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．2
21316333x y ⎛⎫⎛
⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C.()()
2
2
323
16x y -+-= D ．()()
2
2
33
16x y -+-=
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若x 、y 满足约束条件10
040
x x y x y -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
，则1y x -的最大值为 ．
14.在ABC △中， 3 5AB AC ==，，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则A O B C ⋅的值为 ．
15.已知数列{}n a 的各项均为正数，1114
2 n n n n a a a a a ++=-=+，，若数列1
1n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则
n = ．
16.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若 48AF FB BA BC =⋅=，
，则抛物线的方程为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，已知 4 6 2b c C B ===，，. （1）求cos B 的值； （2）求ABC △的面积. 18. （本小题满分12分）
如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=︒，平面11AA B B ⊥平
面11BB C C .
（1）求证：11B C AC ⊥；
（2）设点E 、F 分别是1B C ，1AA 的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由； （3）求二面角1B AC C --的余弦值. 19. （本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22
:12412
x y C +=上的一点，从原点O 向圆
()()22
00:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q .
（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程； （2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12 k k ，的值； （3）试问2
2OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 20.（本小题满分12分）
设椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负
半轴于Q 点，且12220F F F Q +=. （1）求椭圆C 的离心率；
（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线330x y --=相切，求椭圆C 的方程；
（3）过2F 的直线l 与（2）中椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分）
已知0t >，设函数()()3231312
t f x x x tx +=-
++.
（1）存在()00 2x ∈，
，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值，求t 的取值范围； （2）()2x f x xe m ≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆锥曲线2cos :3sin x C y α
α
=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点()
0 3A ，，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原
点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线2AF 的直角坐标方程；
（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求12MF NF -的值. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()34f x x x =-+-. （1）解不等式()2f x ≤；
（2）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.
2016-2017学年度高三上学期四调考试
高三年级数学试卷（理科）
一、选择题
1-5：CCDCB 6-10:DABAA 11、12：BC
二、填空题
13.2 14.8 15.120 16.24y x = 三、解答题
17.【答案】（1）
3
4
；（2）1574.
试题解析：（1）在ABC △中，sin sin b c B C =，因为 4 6 2b c C B ===，，，所以46
sin sin 2B B
=
，即 46sin 2sin cos B B B =
，又sin 0B ≠，∴3
cos 4B =. （2）由（1）知3
cos 4
B =
，从而7sin 4B =.
因此37sin sin 22sin cos 8C B B B ===
，21
cos cos22cos 18
C B B ==-=.所以 ()()7133757
sin sin sin sin cos cos sin 484816
A B C B C B C B C π=--=+=+=⨯+⨯=
， 所以ABC △的面积为157157
462164
⨯⨯⨯=
. 18.证明：（1）连接1BC ，在正方形11ABB A 中，1AB BB ⊥，
1B C ⊥平面1ABC ，因为1AC ⊥平面1ABC ，所以11B C AC ⊥.
（2）EF ∥平面ABC ，理由如下：
取BC 的中点G ，连接GE 、GA ，因为E 是1B C 的中点，所以1GE BB ∥，且11
2
GE BB =，因为F 是 1AA 的中点，所以11
2
AF AA =
. 在正方形11ABB A 中，1111 AA BB AA BB =∥，，所以GE AF ∥，且GE AF =. ∴四边形GEFA 为平行四边形，所以EF GA ∥. 因为EF ABC ⊄平面，GA ABC ⊂平面， 所以EF ABC ∥平面.
（3）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB ⊥，
由（1）可知：11AB BB C C ⊥平面，以点B 为坐标原点，分别以BA 、1BB 所在的直线为x 、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，设()2 0 0A ，
，，则()10 2 0B ，，. 在菱形11BB C C 中，1160BB C ∠=︒，所以()0 1 3C -，，，()
10 1 3C ，，. 设平面1ACC 的一个法向量为() 1x y =n ，
，. 因为10
0n AC n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()()
()() 1 2 1 30 10 2 00x y x y ⎧⋅--=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，
，，，，
所以320
x y ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
即3 0 12n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，， 由（1）可知：1CB 是平面1ABC 的一个法向量.
所以()
111
3 0 10 3 327cos 731934
n CB n CB n CB ⎛⎫
⋅- ⎪ ⎪⋅⎝⎭<>===-⋅+⋅+，，，，，，
所以二面角1B AC C --的余弦值为7
7
. 19.【答案】（1）()(
)
2
2
22
22
8x y -+-=；
（2）1
2
-；（3）36. 试题解析：（1）由圆R 的方程知圆R 的半径22r =，因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以
24OR r ==，即220016x y += ①
又点R 在椭圆C 上，所以22
00
12412
x y += ②
联立①②，解得0022
22
x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以，所求圆R 的方程为()(
)
2
2
22
22
8x y -+-=．
（2）因为直线1:OP y k x =和2:OQ y k x =都与圆R 相切，所以
10021
221k x y k
-=+，
200
2
2
221k x y k -=+，化简得2
0122
08
8
y k k x -⋅=-，因为点()00R x y ，在椭圆C 上，所以2200
12412x y +=，即 22001122y x =-，所以20
122
0141228
x k k x -
==--． （3）方法一（1）当直线OP 、OQ 不落在坐标轴上时，设()11 P x y ，
，()22 Q x y ，， 由（2）知12210k k +=，所以
121221y y x x =，故2222
1212
14
y y x x =，因为()11 P x y ，，()22 Q x y ，，在椭圆C 上，所以221112412x y +=，22
2212412
x y +=， 即22111122y x =-，2
2221122y x =-，所以222212121111212224x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭，
整理得221224x x +=，所以22
2212121112121222y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以()()
2222222222
1122121236OP OQ x y x y x x y y +=+++=+++=.
方法（二）（1）当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设()11 P x y ，
，()22 Q x y ，， 联立2212412
y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪
⎩，解得22211122
112424 1212k x y k k ==++，，所以()2122112124112k x y k ++=+. 同理，得()
22222
22
2
24112k x y k ++=+，由（2）12210k k +=，得121
2
k k =-.
所以()()22
1222
2222112
2
2
212
2412411212k k OP OQ x y x y k k +++=+++=
+
++
()22
2111222
11
11241224136723612121122k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎢⎥+- ⎪+⎢⎥⎝⎭+⎣⎦=+==++⎛⎫+- ⎪
⎝⎭
. （2）当直线OP 、OQ 落在坐标轴上时，显然有2236OP OQ +=. 综上：2236OP OQ +=.
20.试题解析：（1）由题()0 A b ，
，1F 为2QF 的中点.设()()12 0 0F c F c -，，，，则()3 0Q c -，，
()3 AQ c b =--，，()2 AF c b =-，，由题2AQ AF ⊥，即22230AQ AF c b ⋅=-+=，
∴()
22230c a c -+-=即224a c =，∴1
2
c e a =
=. （2）由题2Rt QAF △外接圆圆心为斜边2QF 的中点()1 0F c -，
，半径2r c =， ∵由题2Rt QAF △外接圆与直线330x y --=相切，∴d r =，即
322
c c --=，即34c c +=，
∴1c =，22a c ==，3b =，故所求的椭圆C 的方程为22
143x y +=.
（3）设()11 M x y ，，()22 N x y ，，由题12 y y ，异号，
设1F MN △的内切圆的半径为R ，则1F MN △的周长为48a =，
()1111
42
F MN S MN F M F N R R =
++=△， 因此要使1F MN △内切圆的面积最大，只需R 最大，此时1F MN S △也最大，
11212121
2
F MN S F F y y y y =
⋅-=-△， 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+， 由22114
3x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得()
2234690m y my ++-=，
由韦达定理得122634m y y m -+=
+，12
29
34
y y m -=+，（0m R ∆>∈⇒） ()
122
1212122121
434
F MN m S y y y y y y m +=-=
+-=
+△， 令21t m =+，则1t ≥，()121212
11
313F MN t S t t t t
=
=≥-+△， 当1t =时，14F MN S R =△有最大值3，此时，0m =，max 34
R =， 故1F MN △的内切圆的面积的最大值为916
π
，此时直线l 的方程为1x =. 21.解析：
（1）()()()()2'331331f x x t x t x x t =-++=--，
①当01t <<时，()f x 在()0 t ，
上单调递增，在() 1t ，单调递减，在()1 2，单调递增， ∴()()2f t f ≥，由()()2f t f ≥，得3234t t -+≥在01t <<时无解，
②当1t =时，不合题意；
③当12t <<时，()f x 在()0 1，
单调递增，在()1 t ，递减，在() 2t ，单调递增， ∴()()1212f f t ⎧≥⎪⎨<<⎪⎩即133
2212
t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩，∴523t ≤<，
④当2t ≥时，()f x 在()0 1，
单调递增，在()1 2，单调递减，满足条件， 综上所述：5
[ )3t ∈+∞，时，存在()00 2x ∈，
，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值. （2）()32313122
x t x x tx xe m +-
++≤-+对任意[0 )x ∈+∞，
恒成立， 即()()322313131312
2x x t t m xe x x tx x e x x t ++⎛⎫
≤-+
-+=-+-+ ⎪⎝⎭
对任意[0 )x ∈+∞，恒成立，令
()()23132
x t g x e x x t +=-+-，[0 )x ∈+∞，，根据题意，可以知道m 的最大值为1，则 ()()231302
x t g x e x x t +=-+
-≥恒成立，
由于()0130g t =-≥，则1
03
t <≤，
当1
03
t <≤时，()()31'22x t g x e x +=-+，则()''2x g x e =-，若()''20x g x e =-=，则()'g x 在()0 ln 2，
上递减，在()ln 2 +∞，上递增，则()()()max 3
'ln 2212ln 202
g x g t ==++->，∴()g x 在[0 )+∞，上是递增的函
数.
∴()()0130g x g t ≥=-≥，满足条件，∴t 的取值范围是1
(0 ]3，.
22.解：（1）曲线2cos :3sin x C y α
α
=⎧⎪⎨=⎪⎩可化为22143x y +=，
其轨迹为椭圆，焦点为()1 1 0F -，
，()21 0F ，. 经过()
0 3A ，和()21 0F ，
的直线方程为113
x y +=，即330x y +-=. （2）由（1）知，直线2AF 的斜率为3-，因为2l AF ⊥，所以l 的斜率为3
3
，倾斜角为30︒， 所以l 的参数方程为31212
x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). 代入椭圆C 的方程中，得213123360t t --=.
最新修正版
因为 M N ，在点1F 的两侧，所以111212313
MF NF t t -=+=
. 23.解：（1）()72 334 1 3427 4x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩，，，， 作函数()y f x =的图象，它与直线2y =交点的横坐标为52和92，由图象知不等式()2f x ≤的 解集为59 22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，
.
（2）函数1y ax =-的图象是过点()0 1-，的直线， 当且仅当函数()y f x =与直线1y ax =-有公共点时，存在题设的x . 由图象知，a 的取值范围为()1 2[ )2-∞-+∞，，.。