2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期)专题25矩形菱形与正方形(含解析)

矩形菱形与正方形
.选择题
1. （2019?贵阳?3分）如图，菱形ABCD的周长是4cm, / ABC= 60 °那么这个菱形的对角
线AC的长是（
A . 1cm
B . 2 cm C. 3cm D. 4cm
【分析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据/ ABC = 60°而AB = BC,易证△ BAC是等边三角形，从而可求AC的长.
【解答】解：•••四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
AB= BC = CD = AD,
•••/ ABC= 60°
•••△ ABC是等边三角形，
AB = BC = AC,
•••菱形ABCD的周长是4cm,
• • AB = BC = AC = 1 cm.
故选：A.
【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质.菱形的对角线平分对角,
解题的关键是证明△ ABC是等边三角形.
2. （2019?铜仁?4分）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个
多边形的内角和分别为a和b,贝U a+b不可能是（）
A. 360°
B. 540°
C. 630°
D. 720°
【解答】解：一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，
只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630故选：C.
3. （2019?铜仁?4分）如图，四边形ABCD为菱形，AB = 2,/ DAB = 60。

，点
A. 30°
B. 25°
C. 20°
D. 15【解答】解：•/四边形ABCD是菱形，/ D = 150°
• AB// CD , / BAD = 2/ 1 ,
•/ BAD+ / D = 180°
•/ BAD = 180° - 150°= 30°,
•/ 1 = 15°
故选：D.
5. （2019?江苏无锡?3分）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（E、F分别
且CE = ；CD , CF = ；CB，贝U S“EF =( 3 3
V
3 【解答】解：•••四边形
ABCD 为菱形，AB= 2, / DAB = 60°
AB= BC = CD = 2,/ DCB = 60°
•/ CE= 1CD, CF = 1CB
3 3
2
• • CE= CF = 一
3
•••△ CEF为等边三角形
.=_
故选：D.
4. .( 2019?可北?3 分)如图，菱形ABCD 中，/ D = 150 °,则/ 1=(
在边
DC、
BC 上,
A _
B
A .内角和为360°
B •对角线互相平分
C .对角线相等
D .对角线互相垂直
【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案. 【解答】解：矩形和菱形的内角和都为 360° ,矩形的对角线互相平分且相等， 菱形的对
角线垂直且平分，
•••矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等， 故选：C .
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键.
6. （2019?江苏宿迁?3分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形ABCD 的顶点A 与原点O 对角线 AC 、BD 交于点M ，点D 、M 恰好都在反比
C . 2
【分析】设D (m , ' ) , B(t, 0),利用菱形的性质得到 M 点为BD 的中点，贝U M C 匚,
D
2
~~),把 M (:—,')代入 y =「得 t = 3m ,利用 OD = AB = t 得到 m 2+ (' ) 2= (3m ) 2IB 2 2D x io
2
,解得k = 2 _m 2，所以M (2m , _m )，根据正切定义得到tan / MAB =：=-亠 = AM We
'从而得到“=". 【解答】解：设D (m ,
), B (t , 0),
ID
••• M 点为菱形对角线的交点,
••• BD 丄 AC , AM = CM , BM = DM , JL ）代入y =上得时！丄=k
2 '加）代入y 芷得2 •加k ,
•-1= 3m ,
mH k
•M (
—：)， , nri-t 把M (
重合，顶点B 落在x 轴的正半轴上,
B.
A .匚
AC
三一的值为（
•••四边形ABCD为菱形,
OD = AB = t,
「•m2+（二）2=（3m）2,解得k= 2 _ m2,
D ••• M （2m, '：m）,
在Rt△ ABM 中,tan / MAB =—AM
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（X，y）的横纵坐标的积是定值的性质.
7. （2019?江西分）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成,
相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（
A . 3种
B . 4种C. 5种
y=「（k为常数，心0）
x
k，即xy= k.也考查了菱形
请你再添2根与前面完全）
D. 6种
【解析】D
共有如下6种拼接方法: -= "•
【答案】C
【解析】由勾股定理可得 .「
，
由菱形性质可得」 ，
所以周长等于 ■
.
故选C.
9. （2019?广东省广州市?3分）如图，矩形 ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线
BE = 3, AF = 5,贝U AC 的长为( )
A . 4 三
B . 4 二
C . 10
D . 8
【分析】连接AE ,由线段垂直平分线的性质得出 OA = OC, AE = CE ，证明△ AOFCOE
得出 AF = CE = 5,得出 AE = CE = 5, BC = BE+CE = 8,
由勾股定
8. （2019?天津？3分）如图，四边形ABC 为菱形，A 、B 两点的坐标分别是 （2, 0） 点C 、D 在坐标轴上，则菱形ABC 的周长等于
(0,1),
4.3 C. 4 5
D. 20
EF 分别交
①
④
理求出AB = </ A
=4，再由勾股定理求出AC即可.
【解答】解：连接AE，如图：
•/ EF是AC的垂直平分线，
••• OA= OC, AE = CE,
•••四边形ABCD是矩形，
•••/ B= 90° AD // BC,
•••/ OAF = / OCE,
f ZA0F=ZC0E
在厶AOF和厶COE中，，OARC ,
ZOAF=ZOCE
L
•••△ AOF ◎△ COE (ASA),
• AF = CE = 5,
• AE= CE = 5, BC = BE+CE = 3+5 = 8,
•AB= |,|J = ◎£-'-"= 4,
• AC= 匚'.|；「=凳―==4
【点评】本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、
勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键.
10. （2019?甘肃省庆阳市?3分）如图①，在矩形ABCD中，AB V AD，对角线AC , BD相交于点
O,动点P由点A出发，沿AB T BCf CD向点D运动.设点P的运动路程为、△ AOP 的面积为y, y与X的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）
△ AOP 面积逐渐增大，当 P 点到达B 点时，结合图象 可得△ AOP 面积最大为3，得到AB 与BC 的积为12;当P 点在BC 上运动时，△ AOP 面积逐渐减小，当 P 点到达C 点时，△ AOP 面积为0,此时结合图象可知 P 点运动路径 长为7,得到AB 与BC 的和为7,构造关于AB 的一元二方程可求解.
【解答】解：当P 点在AB 上运动时，△ AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，△ AOP 面积最大为3.
••• 1 AB?丄BC = 3,即卩 AB?BC = 12. 2 2 ，
当P 点在BC 上运动时，△ AOP 面积逐渐减小，当 P 点到达C 点时，△ AOP 面积为0, 此时结合图象可知 P 点运动路径长为7, • - AB+BC = 7.
贝U BC = 7- AB ，代入 AB?BC = 12,得 AB 2 - 7AB+12= 0,解得 AB = 4 或 3, 因为AB v AD ,即卩AB v BC ,
所以 AB = 3, BC = 4. 故选：B .
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动 的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值.
11. （2019?贵州省安顺市?3分）如图，在菱形 ABCD 中，按以下步骤作图：
1
①分别以点C 和点D 为圆心，大于 CD 的长为半径作弧，两弧相交于
M 、N 两点;
②作直线 MN ，且MN 恰好经过点 A ，与CD 交于点E ,连接BE . 则下列说法错误的是（ ）
A . 3
B . 4
C .
5
【分析】当P 点在AB 上运动时,
D = 60
•••/ABC = 60。

，所以A 选项的结论正确；
T S SBE = AB ?AE , S A ADE = DE ?AE ,
而 AB = 2 DE ,
• S A ABE = 2 S A ADE ，所以B 选项的结论正确; 若 AB = 4，贝U DE = 2 , • AE = 2 二，
在Rt △ ABE 中，BE = 「
-二=2匸，所以C 选项的结论错误;
作EH 丄BC 交BC 的延长线于H ,如图，
设 AB = 4a ,贝V CE = 2a , BC = 4a , BE = 2 l 1 a , 在厶 CHE 中，/ ECH =Z D = 60 ° , • CH = a , EH =
■:a ,
• sin / CBE =）「= 十二；=」-,所以D 选项的结论正确. 故选：C
.
A .上 ABC = 60 °
C .若 AB = 4，贝U BE = 4 -
B . S △ ABE = 2S A ADE
sin
V21
【解答】 解：由作法得 AE 垂直平分CD ，即CE = DE , AE 丄CD , •••四边形ABCD 为菱形,
••• AD = CD = 2DE ，AB // DE ,
在 Rt △ ADE
中, COSD
=
DE
二.填空题
1. （2019?江苏无锡72分）如图，在△ ABC中，AB= AC= 5, BC= 4 ~ , D为边AB上一动
点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE ,则厶BDE面积的最大值为8
【分析】过点C作CG丄BA于点G,作EH丄AB于点H，作AM丄BC于点M .由AB = AC= 5, BC = 4；.汀，得到BM = CM = 2；.汀，易证△ AMB CGB，求得GB = 8,设BD
=x,贝V DG = 8 —x,易证△ EDH =△ DCG , EH = DG = 8- x,所以S^BDE=T1八 =
1 1 n
：,：=「.，. ，当x= 4时，△ BDE面积的最大值为8.
【解答】解：过点C作CG丄BA于点G,作EH丄AB于点H，作AM丄BC于点M .
T AB = AC = 5, BC = 4*二,
BM = CM = 2 =,
易证△ AMB CGB ,
.珈二AB
即—■
1:I
.GB= 8 ,
设BD = x,贝V DG = 8- x ,
易证△ EDH DCG (AAS),
1 1 1 9
二S^BDE=T，■-= —▼，，
当x = 4时，△ BDE面积的最大值为8 •
故答案为&
【点评】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键.
2. （2019?江苏宿迁?3分）如图，正方形ABCD的边长为4, E为BC上一点，且BE= 1，F
为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△ EFG，连接CG ,则CG的
【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值.
【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动
将厶EFB绕点E旋转60°,使EF与EG重合，得到△ EFBEHG
从而可知厶EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM丄HN，贝U CM即为CG的最小值
作EP丄CM，可知四边形HEPM为矩形，
1 3 E
贝U CM = MP+CP = HE+ EC = 1+ =
2 2 2
故答案为
2
【点评】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型.
3. （2019?江苏扬州?3分）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若/ ABC=26 °则/ ACD= 128°
【考点】：矩形的性质，折叠问题，等腰三角形，平行线，平角
【解析】：
解：延长DC到F
•• •矩形纸条折叠
•••/ ACB = ZZ BCF
•/ AB // CD
•••/ ABC=Z BCF=26°
•••/ ACF=52°
•••/ ACF + Z ACD=180°
•••/ ACD=128°
【答案】：128°
4. （2019?江苏扬州?3分）如图，已知点 E 在正方形 ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方 形 ABCD
外部作正方形 BEFG ,连接DF , M 、N 分别是DC 、DF 的中点，连接MN.若AB=7, BE=5,
13
贝U MN= 13
2
【考点】：正方形，中位线，勾股定理
••• FC=2MN •/ AB=7, BE=5 且四ABCD ，四EFGB 是正方形 • FC= . FG 2 GC 2 =13 ••• MN 』
2
13
【答案】：MN = -^ 2
求出a 的值；②点B 落在CD 边上，证明△ ADB's^ B CE ，根据相似三角形对应边成比
例即可求出a 的值.
【解答】解：分两种情况:
①当点B 落在AD 边上时，如图1 .
•••四边形ABCD 是矩形，
•••/ BAD = / B = 90°，
•••将厶ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点B 落在AD 边上,
【解析】：连接 FC ,T M 、N 分别是DC 、DF
的中点
5. （2019?可南?3分）如图，在矩形 ABCD 中, AB = 1, BC = a ,点 E 在边 BC 上，且 BE = ；'a .连接AE ，将△ ABE 沿AE 折叠，若点
B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则a
【分析】分两种情况：①点B 落在AD 边上, 根据矩形与折叠的性质易得 AB = BE ，即可
Af G
的值为=
• Z BAE = Z BAE = 1 Z BAD = 45°
2
••• AB= BE,
• a=1,
• a J
②当点B落在CD边上时，如图2.
•••四边形ABCD是矩形,
•••/ BAD =/ B= Z C= Z D= 90°AD = BC = a.
•••将厶ABE沿AE折叠，点B的对应点B落在CD边上,
•Z B= Z AB E= 90°AB = AB = 1, EB = EB = —a,
5
• DB '=卜:’|i = -二，EC = BC - BE= a^—a= '' a.
在厶ADB与厶BCE中，
AD=ZEB y 090°-厶扩 I
■-- ，
解得a i = =-, a2= 0 （舍去）.
综上，所求a的值为壬或=_
d 3
故答案为八或=.
的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质，勾股定 理，相似三角形的判定与性质•进行分类讨论与数形结合是解题的关键.
2. （2019?天津？3分）如图，正方形纸片 ABCI 的边长为12, E 是边CDb —点，连接AE 折叠该 纸片，使点A 落在AEh 的G 点，并使折痕经过点 B ,得到折痕BF,点F 在ADh ,若DE=5，则GE 的长为 ________ . ______
第M 趨
【答案】—
13
【解析】因为四边形 ABC 是正方形，易得△ AFB^A DEA - AF =DE=5,则BF =13.
又易知△ AFh h^ BFA 所以如 =△匸,即AHz 60 , • AH=2AH=120，•由勾股定理得AE=13,
BA BF
13 13
••• GEAEAG 49 13 3. （2019?河南?3分）如图，在矩形ABCD 中，AB = 1 , BC = a ，点E 在边BC 上,且BE ==a .连
接ABE 沿AE 折叠，若点B 的对应点B 落在矩形ABCD 的边上，贝U a 的值为
【分析】分两种情况： ①点落在AD 边上，根据矩形与折叠的性质易得 AB = BE ,即可 求出a 的值；②点B 落在CD 边上，证明△ ADB's^ BCE ，根据相似三角形对应边成比 例即可求出a 的值.
【解答】解：分两种情况：
①当点B 落在AD 边上时，如图1 .
•••四边形ABCD 是矩形，
•••/ BAD = / B = 90°
•••将厶ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点B 落在AD 边上，
•••/ BAE =/ B AE = —Z BAD = 45°
②当点B 落在CD 边上时，如图2.
•••四边形ABCD 是矩形，
• Z BAD = Z B = Z C = Z D = 90° AD = BC = a .
•••将厶ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点B 落在CD 边上,
3
• Z B = Z AB 'E = 90° AB = AB '= 1, EB = EB = — a
在厶ADB 与厶B CE 中, AD=ZEB 7 C=90° -ZAB V I
ZD=ZC=90°
• AB =
BE ,
•
DB
解得a i= —, a2= 0 （舍去）.
3
综上，所求a的值为或一
3 3
故答案为 ''或一一.
3 3
，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质，勾股定理, 相似三角形的判定与性质•进行分类讨论与数形结合是解题的关键.
4. （2019?浙江杭州?4分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF , GH折叠（点E, H在AD边
上，点F , G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A' 点，D点的对称点为D'点，若/ FPG = 90° ,△ A' EP的面积为4,△ D' PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于 2 （5+3二）
【分析】设AB= CD = x,由翻折可知：PA' = AB = x, PD '= CD = x,因为△ A' EP的
面积为4,A D ' PH的面积为1,推出A' E = 4D ' H，设D ' H = a,贝U A' E = 4a,由△ A' EP s\D' PH，推出* 「：=：.，推出卫=',可得x= 2a，再利用三角形的
FA5 6 7 E 阳x 4a
面积公式求出a即可解决问题.
【解答】解：•••四边形ABC是矩形，
••• AB= CD , AD = BC,设AB= CD = x,
由翻折可知：PA'= AB = x, PD '= CD = x,
•••△A' EP的面积为4,A D ' PH的面积为1,
• A' E= 4D ' H，设 D ' H= a,贝U A' E= 4a,
•/△A' EP s^ D' PH ,
.D，H= PD'
•= ：「，
a
• x= 2a 或-2a （舍弃），
PA'= PD '= 2a,
1 c d
•••讥?a?2a = 1 ,
• a = 1 ,
• x= 2 ,
• AB= CD = 2 , PE= -= 2 - , PH = C=-,
• AD = 4+2 =+ J ・+1 = 5+3”-F=,
•矩形ABCD的面积=2 （5+3 ~）.
故答案为2 （5+3 ■）
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题.
5 （2019?浙江湖州凶分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板” •由边
长为4話:■■的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形
EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合, 点P在边EH 上）,则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是4二•
F H
【分析】如图2中，连接EG, GM丄EN交EN的延长线于M，禾U用勾股定理解决问题即可.
【解答】解：如图2中，连接EG，作GM丄EN交EN的延长线于M.
在Rt A EMG 中，I GM = 4, EM = 2+2+4+4 = 12 ,
••• EG= 「「=讣厂」，丄=4I，
EH4乙
故答案为4二.
【点评】本题考查正方形的性质，七巧板，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
6.
7.
8.
9.
10.
三•解答题
1. (2019?海南?13分)如图，在边长为I的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边
AD上一点(与点A、D不重合)，射线PE与BC的延长线交于点Q .
(1)求证：△ PDE ◎△ QCE;
(2)过点E作EF // BC交PB于点F,连结AF，当PB= PQ时，
①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由.
A _____ D
【分析】(1)由四边形ABCD是正方形知/ D = Z ECQ = 90°由E是CD的中点知DE =CE，结合/ DEP = / CEQ即可得证；
(2)①由PB = PQ 知/PBQ = / Q，结合AD // BC 得/APB = / PBQ = / Q= / EPD , 由厶
PDE ◎△ QCE 知PE= QE,再由EF // BQ 知PF = BF，根据Rt A PAB 中AF = PF = BF知/ APF = Z PAF，从而得/ PAF = Z EPD，据此即可证得PE // AF，从而得证；
②设AP = X,贝U PD = 1 - X,若四边形AFEP 是菱形，则PE= PA= x,由PD2+DE2= PE2 得关
于x的方程，解之求得x的值，从而得出四边形AFEP为菱形的情况.
【解答】解：(1) T四边形ABCD是正方形，
•••Z D = Z ECQ = 90°
••• E是CD的中点，
• DE = CE,
又TZ DEP = Z CEQ ,
•••△PDE ◎△ QCE (ASA)；
(2)①T PB= PQ,
•Z PBQ= Z Q,
•/ AD // BC,
•Z APB = Z PBQ = Z Q = Z EPD , •/△ PDE也厶QCE,
••• PE= QE,
•/ EF // BQ ,
• PF= BF,
•••在Rt A PAB 中，AF = PF = BF ,
•••/ APF = Z PAF ,
•••/ PAF = Z EPD ,
• PE // AF ,
•/ EF // BQ // AD ,
•四边形AFEP是平行四边形；
②当AP =丄时，四边形AFEP是菱形.
设AP = X,则PD = 1-x,
若四边形AFEP是菱形，则PE = PA = X,
•••CD = 1, E 是CD 中点，
• DE = 1
,
在Rt A PDE 中，由PD2+DE2= PE2得(1 - X)2+(万)2= X2,
5
解得x=,,,
8
即当AP =書时，四边形AFEP是菱形.
O
【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行四边形与菱形的判定、性质等知识点.
2. (2019?江苏无锡?12分)如图1,在矩形ABCD中，BC= 3，动点P从B出发，以每秒1
个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△ PAB关于直线PA的对称△ PAB '，设点P的运动时间为t (s).
(1 )若AB = 2 7.
①如图2,当点B'落在AC上时，显然△ PAB '是直角三角形，求此时t的值；
②是否存在异于图2的时刻，使得△ PCB '是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意
的t的值？若不存在，请说明理由.
(2)当P点不与C点重合时，若直线PB '与直线CD相交于点M，且当t v 3时存在某一时刻有
结论Z PAM = 45°成立，试探究：对于t>3的任意时刻，结论“Z PAM = 45°”
是否总是成立？请说明理由.
图1 图2 备用图【分析】（°①利用勾股定理求出PC—AC B，推出：「，即
可解决问题.
②分三种情形分别求解即可：如图 2 - 1中，当/ PCB' = 90°时.如图2 - 2中，当/
PCB' = 90° 时.如图2 - 3 中，当/ CPB' = 90° 时.
（2）如图3-2中，首先证明四边形ABCD是正方形，如图3-2中，利用全等三角形的性质，翻折不变性即可解决问题.
【解答】解：（1）①如图1中，
E1
•••四边形ABCD是矩形，
•••/ ABC= 90 ° ,
二AC = 1 - ' 1.：：；=：'，
•••/ PCB'=/ ACB，/ PB' C =Z ABC = 90°,
•••△PCB's^ ACB,
.CM = PM
• ': = ■.:,
•姮皿PM
= ■,
• PB'= 2* ' - 4.
②如图2- 1中，当/ PCB' = 90。

时,
•••四边形ABCD 是矩形，
•••/ D = 90°, AB = CD = 2 7, AD = BC = 3,
••• DB ，= _ i ' ,
••• CB '= CD - DB '= 7,
在 Rt A PCB '中，T B ' P 2= PC 2+B ' C 2,
• t 2=( ") 2+ (3 - t ) 2,
• t = 2.
在 Rt A PCB '中则有： I ： L ，解得 t = 6.
如图2- 3中，当/ CPB ' = 90°时，易证四边形 ABP '为正方形，易知t = 2
:.
• CB '= 3 :
综上所述，满足条件的t的值为2s或6s或2 7s.
.•./ 2+Z 3 = 45°,/ 1+ /4 = 45°
又•••翻折，
•••/ 1 = / 2, / 3=/ 4,
又•••/ ADM =/ AB' M , AM = AM ,
• △ AMD ◎△ AMB '( AAS),
AD = AB'= AB ,
即四边形ABCD是正方形，如图，设/ APB = x.
®3-2
•••/ PAB = 90°- x,
•••/ DAP = x,
易证△ MDA ◎△ B' AM ( HL),
•••/ BAM = Z DAM ,
•••翻折，
•••/ PAB =Z PAB' = 90°- x,
•••/ DAB' =Z PAB' -Z DAP = 90°- 2x,
•••/ DAM = ' Z DAB '= 45 ° - x,
2
• Z MAP = Z DAM + Z PAD = 45°.
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻
找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题.
3. (2019?江苏宿迁?8分)如图，矩形ABCD中，AB = 4, BC = 2,点E、F分别在AB、CD
L口3
上，且BE = DF =...
(1)求证：四边形AECF是菱形;
(2)求线段EF的长.
【分析】(1)根据菱形的性质得到CD = AB= 4, AD = BD = 2, CD // AB,Z D = Z B =
2
【点评】 本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质 是解题的关键.
(2) 如图，四边形 ABCD 中，AB=CD , AD=BC ,对角线AC , BD 相交于点0,且OA=OD .
求证：四边形 ABCD 是矩形.
90°,求得CF = AE = 4 -
=〔，根据勾股定理得到 AF = CE =；- — 5 ::, 得到结论;
(2)过F 作FH 丄AB 于H ，得到四边形 AHFD 是矩形，根据矩形的性质得到
AH = DF
,FH = AD = 2,根据勾股定理即可得到结论.
【解答】(1)证明：•••在矩形 ABCD 中，AB = 4, BC = 2,
CD = AB = 4, AD = BD = 2, CD // AB ,/ D = Z B = 90 ° , 3
•/ BE = DF =—
2 3 R CF = AE = 4 ----- = , ::-, 5
=J AF = CE =
5 AF = CF = CE = AE =
, 2 .四边形AECF 是菱形;
(2)解：过F 作FH 丄AB 于H ,
则四边形AHFD 是矩形,
AH = DF = ' , FH = AD = 2, 2
5
3 ••• EH = - = 1, 2 2
4. (2019?江西?6 分)(1)计算:
解：-2
.2019-2
=1+2+1
=4 AB =CD, AD =BC
.四边形ABCD 为平行四边形
.OD =OB
OA =OD
OA =OD = OB
ODA =/OAD, OAB —OBA
又—ODA . OAD . OAB • OBA =180 : 180°
.ODA OBA 二
2 即 DAB =90 : .四边形ABCD 为矩形
5. (2019?江西？9分)在图1 , 2, 3中，已知口 ABCD , / ABC=120。

，点E 为线段BC 上的 动点，连接AE ，以AE 为边向上作菱形 AEFG ，且/ EAG=120° .
(1) 如图1,当点E 与点B 重合时，/ CEF= __________ °
(2) 如图2,连接AF.
①填空：/ FAD ________ / EAB (填“〉；“=,“ <”；
②求证：点F 在/ ABC 的平分线上;
(3) 如图3,连接EG , DG ,并延长DG 交BA 的延长线于点
H ，当四边形AEGH 是平行
四边形时，求.的值. 22.【考点】：四边形的定义与判定;
E
【解析】解：(1 )•••四边形AEFG是菱形，•••/ AEF = 180°-/ EAG= 60° ,
•••/ CEF = / AEC -/ AEF = 60°,
故答案为：60°;
(2［①，••四边形ABCD是平行四边形，•••/ DAB = 180 ° -/ ABC = 60 ° ,
••四边形AEFG是菱形，/ EAG = 120°,
•••/ FAE = 60°,
•••/ FAD = / EAB,
故答案为：=；
②作FM丄BC于M , FN丄BA交BA的延长线于N,则/ FNB = / FMB = 90°,
•••/ NFM = 60°,又/ AFE = 60°,
•••/ AFN = / EFM ,
•/ EF = EA，/ FAE = 60°,
•••△ AEF为等边三角形，
••• FA = FE ,
在厶AFN和厶EFM中，
'ZAFN=ZEFM
•ZFNA^ZFME,
FA二FE
•••△ AFN◎△ EFM (AAS)
• FN = FM，又FM 丄BC, FN 丄BA,
•••点F在/ ABC的平分线上；
(3)•••四边形AEFG 是菱形，/ EAG= 120 ° ,•••/ AGF = 60°,
•••/ FGE = / AGE = 30°,
••四边形AEGH为平行四边形，
• GE // AH ,
GAH = / AGE = 30°,/ H = / FGE = 30°,
• / GAN = 90°,又/ AGE = 30°,
••• GN = 2 AN,
•••/ DAB = 60°,/ H = 30°,
•••/ ADH = 30°,
AD = AH = GE,
•••四边形ABCD为平行四边形，
••• BC = AD ,
••• BC = GE,
•••四边形ABEH为平行四边形，/ HAE = / EAB = 30°,
•平行四边形ABEN为菱形，
AB = AN= NE,
• GE = 3 AB,
g|2
6. （2019?天津?10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（6, 0），点B在y轴的正半轴上，/ ABO30°,矩形COD的顶点D, E, C分别在OAAROB上，O!=2.
（I ）如图①，求点E的坐标；
（II ）将矩形COD沿x轴向左平移，得到矩形CODE,点DOCE的对应点分别为
C , O,
D ,
E .设OO—t，矩形C O D E与厶AB（重叠部分的面积为s.
①如图②，当矩形C O D E ■与△ AB（重叠部分为五边形时，C E、D E分别与AB相交于点MF,试用含有t的式子表示s，并直接写出t的范围；
②乞s^5、3时，求t的取值范围（直接写出结果即可）。

【答案】
解：（I ）由点 A （ 6, 0），的 OA=6，又 0D 2,「. AD=0A0I =4 在矩形 COD 中，有 DE/ CO 得/ AE[=Z ABO 30°
•••在 Rt △ AEDK AE=2AD=8
•••由勾股定理得： EDAE AD=4 J3，有CO=4
•••点E 的坐标为（2，4、. 3）
（II [①由平移可知， OD "=2 , E D =4 .. 3 , ME : =OO : =t 由 ED"// BQ 得/ E FM =Z ABO 3O °
在Rt △ MFE 中，M =2ME ：=2t
•由勾股定理得 FE "= J’MF 2 _ME ，2二-』3t
• S MFE = 1M E F E 二丄t . 3t — t 2，则 S 矩形 C O DE =OD E D =8.3.
2 2 2
■■■■j'3 2 — 二s t 亠8、3，其中t 的取值范围是：0 v t v 2.
2
②当0乞t 乞2时，s =—」t 2 8. 3 ,
2
• t =°时，S max ； t =2时，S min =63
• 6 •、3 _ s _ 8・..3不在范围内.
当 2 :：: t < 4 时，s =-2.. 3t 10、. 3
t
二2 . 3 乞s 乞6 .. 3
5 5
当一魚3时，tp，所以y，符合条件
当4 :: t < 6时，s 二上？t2 -6.3t 18 . 3 2
••• 0 乞s 乞2、3
所以当s = i 3 时，匕=6 ■、、2 ,t2 = 6 -、、2 ,•• 4 ：：： t 岂6 •押2
综上所述：5兰t兰6 — J2
2
2（2019?四川自贡?12分）（1）如图1 , E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE , 将/ BDE绕点D逆时针旋转90°旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.
①线段DB和DG的数量关系是DB = DG ;
②写出线段BE, BF和DB之间的数量关系.
（2）当四边形ABCD为菱形，/ ADC = 60°点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将/ BDE绕点D逆时针旋转120°旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F和点G .
①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论
并给出证明；
②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M,若BE= 1, AB = 2,直
接写出线段GM的长度.
【分析】(1)①根据旋转的性质解答即可;
②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
(2)①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
②先同理得：BG= ~BD，计算BD的长，从而得BG的长，根据平行线分线段成比例定理可得BM的长，根据线段的差可得结论.
【解答】解：(1)①DB = DG,理由是:
•••/ DBE绕点B逆时针旋转90°如图1,
由旋转可知， / BDE = Z FDG , / BDG = 90°
•••四边形ABCD是正方形，
•••Z CBD = 45°
•••Z G= 45°
• Z G= Z CBD = 45°
DB = DG ；
故答案为：DB = DG ；
②BF+BE=「BD，理由如下：
由①知：Z FDG = Z EDB, Z G= Z DBE = 45° BD = DG,
•••△FDG 也厶EDB (ASA), • BE= FG,
••• BF+FG = BF+BE = BC+CG , Rt A DCG 中，•••/ G = Z CDG = 45 ° CD = CG = CB , •/ DG = BD = 匚BC , 即 BF+BE = 2BC = 匚BD ； (2)①如图 2, BF+BE = 7BD ,
理由如下：在菱形 ABCD 中，Z ADB = Z CDB 由旋转 120° 得 Z EDF = Z BDG = 120° Z EDB 在厶 DBG 中，Z G = 180° — 120°— 30°= 30° • Z DBG = Z G = 30 , •• DB = DG ,
•••△ EDB ◎△ FDG (ASA ),
• BE = FG ,
• BF+BE = BF+FG = BG ,
过点D 作DM 丄BG 于点M ，如图2 ,
• BG = 2BM ,
在 Rt A BMD 中，Z DBM = 30° • BD = 2DM .
设 DM = a ，贝U BD = 2a , DM =
■:a ,
• BG = 2 二a ,
Bp
二 2N .
• BG =乙 BD ,
一 ADC …。

=30°
Z FDG ,
•/ BD = DG ,
••• BF+BE= BG= 二BD;
②过点A作AN丄BD于N，如图3,
Rt A ABN 中，/ ABN = 30 ° AB= 2,
AN= 1, BN =二，
• BD = 2BN = 2 二，
•/ DC // BE,
.CD 二CH 2
•- ■ '! = I，
•/ CM+BM = 2 ,
• BM ==
3
由①同理得：BE+BF = BG =二BD ,
• BG= J • X.. _;= 6 ,
2 16
• GM = BG —BM = 6 --- =.
3 3
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成
比例定理，正方形和菱形的性质，直角三角形30度的角性质等知识，本题证明
△ FDGBDE是解本题的关键.
3. ( 2019?浙江杭州?10分)如图，已知正方形ABCD的边长为1,正方形CEFG的面积为Si, 点E在
DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2,且Si= S2.
(1)求线段CE的长；
(2)若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD = HG .
【分析】(1)设出正方形CEFG 的边长，然后根据 S 1= S 2,即可求得线段 CE 的长;
明结论成立.
【解答】解：(1)设正方形CEFG 的边长为a , •••正方形ABCD 的边长为1, ••• DE = 1 - a ,
S
1= S 2,
• a 2= 1x( 1 - a ),
解得，_| -「(舍去)，」 ：’-I ,
即线段CE 的长是一一 -；
2 2
(2)证明：•••点 H 为BC 边的中点，BC = 1 , CH = 0.5, • DH =『5,「=」, ••• CH =碍 CG =,
•HG =, HD = HG
【点评】 本题考查正方形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意,
结合的思想解答.
4. ( 2019?浙江湖州?8分)如图，已知在厶 ABC 中，D , E , F 分别是 AB ,
连结 DF , EF , BF .
(1) 求证：四边形 BEFD 是平行四边形；
(2) 若/ AFB = 90°, AB = 6,求四边形 BEFD 的周长
.
(2)根据(1)中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出
HD 和 HG 的长，即可证
利用数形
BC , AC 的中点,
【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得到DF II BC, EF II AB,根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到DF = DB = DA = —AB= 3，推出四边形BEFD是菱形, 于是得到结论.
【解答】（1）证明：••• D, E, F分别是AB, BC, AC的中点，
••• DF II BC, EF II AB,
••• DF II BE, EF II BD,
•••四边形BEFD是平行四边形；
（2）解：•••/ AFB = 90 ° , D 是AB 的中点，AB= 6,
DF = DB = DA = —AB= 3,
2
•••四边形BEFD是平行四边形，
•••四边形BEFD是菱形，
•/ DB = 3,
•四边形BEFD的周长为12.
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，三角形的中位线的
性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
5. （2019?浙江湖州?12分）如图1,已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，
点A, C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC, OA= 3, tan / OAC =—, D是BC的
中占
I 八、、•
（1 ）求OC的长和点D的坐标；
2
（2）如图2, M是线段OC上的点，OM =三OC,点P是线段OM上的一个动点，经过P, D, B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E,连结DE交AB于点F.
①将△ DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的
坐标；
②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△ DFG，当动点P从点O运动到点
【分析】(1)由OA = 3, tan / OAC = ' ，得OC =二，由四边形 OABC 是矩形,
0A 3
得 BC = OA = 3,所以 CD = BC =，求得 D ([,
7);
(2)①由易知得ACB =/ OAC = 30°,设将△ DBF 沿DE 所在的直线翻折后，点 B 恰 好落在 AC 上的 B'处，贝 U DB'= DB = DC ，/ BDF =/ B'DF ，所以/ BDB'= 60°,/ BDF =/ B'DF = 30°，所以 BF = BD?tan30°=—AF = BF =——,因为/ BFD = / AEF ,
2 2
3
g
所以/ B = / FAE = 90。

，因此厶 BFD AFE , AE = BD =—，点 E 的坐标(二，0);
2 2 l
9
②动点P 在点O 时，求得此时抛物线解析式为
y =- x + ；x ，因此E( , 0),直线
DE : y =-丄上x+丄上,Fi (3, ~ ：'.)；当动点P 从点O 运动到点M 时，求得此时抛物 +£x+理3，所以 E( 6, 0),直线 DE : y =—理3 X+电3 , 3 3 9 3 所以F2 (3, 「) ;所以点F 运动路径的长为
FiF2 = -=,即G 运动路
径的长为•.
【解答】 解：(1)v OA = 3, tan / OAC =
=',
0A 3
••• OC =乙, •••四边形OABC 是矩形, .• BC = OA = 3, •••D 是BC 的中点,
• CD =； BC = .，
(2)①•/ tan / OAC = —^,
• / OAC = 30°,
M 时，点G 也随之运动，请直接写出点 G 运动路径的长.
线解析式为y =-
•••/ ACB =Z OAC = 30
设将△ DBF 沿DE 所在的直线翻折后，点 B 恰好落在AC 上的B 处, 则 DB'= DB = DC ,/ BDF =Z B'DF ,
DB'C =/ ACB = 30° BDB' = 60°,
BDF = / B'DF = 30°,
••• BF = BD?ta n30°=—,
2
••• AB =:, • AF = BF 「I
•// BFD = / AEF , •••/ B =/ FAE = 90°, •••△ BFD BA AFE （ASA ）,
3
• AE = BD =,
g
• OE = OA+AE =—
2
Q
•••点E 的坐标（..，0）; ②动点P 在点O 时，
•••抛物线过点 P （0, 0）、D （,二）、B （3, 7） 求得此时抛物线解析式为 y =
x 2+吋.：x , y
9
• E \, 0）
,
•直线 DE : y =_ - x+ - ,
• F 1 （3，丄）;
当动点P 从点O 运动到点M 时，
•••抛物线过点 P （0,」一）、D （十，，二）、B （3,二） 求得此时抛物线解析式为 y =- 丁 :. x 2
• E (6, 0),
•// B = 90°,
V3 2^3
+ ----- x +
X :;，
•••直线DE: y=-亠二x+土二
9 3
• F2 (3,亠)；
•••点F运动路径的长为卩仃2= …-
3 2 6
•••△ DFG为等边三角形，
• G运动路径的长为叠-.
6
【点评】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、特殊三角函数以及三角形全
等的判定与性质是解题的关键.
7. (2019?广西贺州?8分)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC, AD边上的点，且AE =CF.
(1)求证：△ ABE◎△ CDF ；
(2)当AC丄EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由.
【分析】(1)由矩形的性质得出 / B =Z D = 90° AB = CD , AD = BC, AD // BC,由HL 证明Rt A ABE也Rt A CDF即可；
(2)由全等三角形的性质得出BE= DF，得出CE = AF，由CE / AF，证出四边形AECF 是平行四边形，再由AC丄EF，即可得出四边形AECF是菱形.
【解答】(1)证明：•••四边形ABCD是矩形，
•••/ B= Z D = 90°AB= CD , AD = BC, AD // BC,
fAE=CF
在Rt A ABE 和Rt A CDF 中，* ,
I AB二CD
• Rt A ABE也Rt A CDF ( HL);
(2)解：当AC丄EF时，四边形AECF是菱形，理由如下：
•/△ ABE◎△ CDF ,
• BE= DF ,
•/ BC= AD,
••• CE= AF,
•/ CE// AF,
•四边形AECF是平行四边形，
又••• AC 丄EF,
•四边形AECF是菱形.
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形
的判定；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键.
2. (2019旷东省广州市？12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC 与BD
交于点P (- 1, 2), AB丄x轴于点E,正比例函数y= mx的图象与反比例函数y = 二-的图象相交于A, P两点.
x
(1 )求m, n的值与点A的坐标；
(2)求证：△ CPD AEO;
【分析】(1)根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m, n的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标(利用正、反比例函数图象的对称
性结合点P的坐标找出点A的坐标亦可)；
(2)由菱形的性质可得出AC丄BD , AB// CD，利用平行线的性质可得出 / DCP = Z OAE ,
结合AB丄x轴可得出Z AEO = Z CPD = 90°,进而即可证出△ CPDAEO;
(3)由点A的坐标可得出AE,OE,AO的长，由相似三角形的性质可得出Z CDP = Z AOE, 再
利用正弦的定义即可求出sin Z CDB的值.
【解答】（1）解：将点P （- 1, 2）代入y= mx,得：2=- m, 解得：m =- 2,
•••正比例函数解析式为y=- 2x;
将点P (- 1, 2)代入y=^^,得：2=-( n- 3),
x
解得：n = 1,
2
•反比例函数解析式为y=-
y=-2x
2，
一
I x
联立正、反比例函数解析式成方程组，得
:
(2)证明：•••四边形ABCD是菱
形,
• AC丄BD, AB // CD,
•••/ DCP =/ BAP,即/ DCP =/ OAE.
T AB丄x轴，
• / AEO= / CPD = 90°
•△ CPD AEO.
(3)解：•••点A的坐标为(1 , - 2),
•AE=
2 , OE = 1 , AO= .汁
•/△ CPD AEO ,
• sin/ CDB = sin/ AOE =AE _2_2^5□=.=
•-点A的坐标为（1 , - 2）。