抗弯力学计算

一、纯弯曲

承受弯曲的梁截面上有剪力及弯矩，F Q是切于横截面的内力系的合力,而M只与截面上的σ有关。

平面弯曲包括两种形式,一种是纯弯曲--只有M，而F Q=0, 另一种是横力弯曲--F Q≠0, M≠0.

实验观察及变形规律

为观察变形，在梁截面上作纵向线aa、bb及mm、nn，使杆件发生纯弯曲变形后,aa和bb弯为弧线，mm及nn仍保持为直线，但相对转过了一

个ϕ∆角。

由观察到的现象可提出假设:

1> 平面假设: 变形前为平面的横截面,变形后仍为平面(mm、nn)；

2> 设想梁由无数纵向纤维组成，则上部缩短而下部伸长，由下部伸

长到上部缩短过程中存在一中性层，中性层与横截面的交线为中性轴；

3> 纵向纤维间无挤压作

用。

二、纯弯曲的正应力

1、变形几何关系设bb距中性轴为y, dx长度的相对转角为dθ,ρ为中性轴曲率半径.

(1)

2、物理关

系

(2)

3、静力关系微内力σdA 组成垂直于截面的平行力系,可简化为FＮ、My、Mz

(3)

(4)

(2)代入(3)即

得 Z轴过截面形心C.

(2)代入(4)即

得令

上式变为

代入(2)式

得弯曲正应力公式

M--截面弯矩Iz--惯性矩y--点距中性轴的距离

说明:σ公式虽然是从矩形截面推出来的,

但对于其他截面如T型钢、I字钢、

槽钢、圆形等截面梁仍适用.

必须是平面弯曲、直梁且在比例极限内.

公式是纯弯曲状态得出的,对于横力弯曲理论上不成立,

但由上述公式算出的σ误差小,故近似成立.

三、正应力强度条件

先找出危险截面

--M

max

σmax出现在距离中性轴最远的上、下边缘处

例: 已知T型铸铁梁 P=3.5KN, a=0.5m, [σ+] =80MPa,

[σ_]=150MPa试校核梁的强度

解: 画弯矩图

得M max=2F P a=3.5kNm 上压下拉

计算图示T型梁惯性

=136cm4

矩 I

z

若将其倒置

则安全，

总结：不对称截面梁应注意其放置方式。

例题一例题二例题三

四、弯曲剪应力

τ的推导较复杂，详见刘鸿文第三版P179、180。

1、矩形截面梁

假设: (1)截面上各点的τ的方向都平行于剪力Q；(2)距中性轴Z等高处的τ的大小相等。

弯曲剪应力公

式

式中Q--横截面上的剪力；

*--所求点处侧部分截面对中性轴

S

z

的静矩；

I Z--截面对中性轴的惯性矩；

b --所求点的截面宽度；

τ沿高度方向为二次抛物线分布。

2、工字形截面梁

τ仍符合矩形截面梁的剪应力公式，可看作由两块横放的矩形板(翼缘)和一块竖放的矩形板

(腹板)组成。τ绝大部分由腹板承担(0.95Q-0.97Q)，而翼缘主要承担大部分弯矩。

3、剪应力强度条件

τmax出现在Qmax截面上，在该截面的中性轴处。此处σ=0为纯剪切状态。

思考题: 选择截面时,σ、τ强度条件应如何选择?

提示:对于矩形、圆形截面，强度由σ控制，τ较小用于校核。

对于工字钢，腹板的τ也较大，选择时应同时满足σ、τ；对于短梁也应同时满足。

例: 简支梁AB如图示。L=2m,a=0.2m.梁上的载荷为q=10kN/m,P=200kN。材料的许用应力为

。试选择适用的工字钢型号。

解：计算支反力，然后作剪力图和弯矩图。

根据最大弯矩选择工字钢型号。。由弯曲正应力强度条件，有

=309cm3。

查型钢表，选用22a工字钢，其W

z

校核梁的剪应力。由表中查出，，腹板厚度d=0.75cm，由剪力图=210kN。代入剪应力强度条

Q

max

件

应重新选择更大的截面。现以25b工字钢进行试

算。

因此，要同时满足正应力和剪应力强度条件，应选用型号为25b的工字钢。

五、提高弯曲强度的措施

弯曲σ是控制梁的主要因

素,

若要提高梁的抗弯能力,可采取:

合理安排载荷,降低M max；

合理选择截面形状,使Wz增大。