土木工程测量 第5章 测量误差的基本知识

为了简单而形象地表示偶然误差的上述特性，今以偶然误差的大小为横坐标，以其相
应出现的个数为纵坐标，画出偶然误差大小与其出现个数的关系曲线，如图 5.2 所示。这
种曲线又称为误差分布曲线。误差分布曲线的峰愈高坡愈陡，表明绝对值小的误差出现较
多，即误差分布比较密集，反映观测成果质量好；曲线的峰愈低坡愈缓，表明绝对值大的
测误差的缘故。
5.1.2 测量误差的来源
为什么测量误差不可避免？是因为测量活动离不开人、测量仪器和测量时所处的外界 环境。不同的人，操作习惯不同，会对测量结果产生影响。另外，每个人的感觉器官不可 能十分完善和准确，都会产生一些分辨误差，如人眼对长度的最小分辨率是 0.1mm，对角 度的最小分辨率是 60"。测量仪器的构造也不可能十分完善，观测时测量仪器各轴系之间 还存在不严格平行或垂直的问题，从而导致测量仪器误差。测量时所处的外界环境(如风、 温度、土质等)在不断变化之中，风影响测量仪器和观测目标的稳定，温度变化影响大气介 质的变化，从而影响测量视线在大气中的传播线路等。这些影响因素，就是测量误差的三
精度是指对某个量进行多次同精度观测中，其偶然误差分布的离散程度。观测条件相 同的各次观测，称为等精度观测，但每次的观测结果之间又总是不完全一致。
测量工作中，观测对象的真值只有一个，而观测值有无数个，其真误差也有相同的个 数，有正有负，有大有小。以真误差的平均值作为衡量精度的标准非常不实用，因为真误 差的平均值都趋近于 0。以真误差绝对值的大小来衡量精度也不能反映这一组观测值的整 体优劣。因而，测量中引用了数理统计中均方差的概念，并以此作为衡量精度的标准。具 体到测量工作中，以中误差、相对中误差和容许误差作为衡量精度的标准。中误差越大， 精度越低；反之，中误差越小，精度越高。
尽管测量员已十分认真、谨慎，粗差有时仍然会发生。因此，如何在观测数据中发 现并剔除粗差，或在数据处理过程中削弱粗差对测量结果的影响，是测绘界十分关注的 问题。
2. 系统误差
在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，其误差符号或大小均相同或按一定规 律变化，这种误差称为系统误差。如钢尺尺长误差、仪器残余误差对测量结果的影响。系 统误差具有积累性，对测量结果的影响很大，因此，必须足够地重视，处理系统误差的办 法有以下几项。
这时为了更客观地反映实际情况，还必须引入相对中误差的概念，以相对中误差 K 来作为
衡量精度的标准。
相对中误差是中误差的绝对值与相应观测值之比，并用分子为 1 的分数来表示，即
m K= =
1
D D/ m
(5-5)
在上例中， K1 = 0.01/100 = 1/10000 ， K2 = 0.01/ 200 = 1/ 20000 。显然，后者的精度比 前者精度高；当 K 中分母越大，表示相对中误差精度越高，反之越低。
通过大量实验统计，结果表明，当观测次数较多时，偶然误差具有如下统计特性。 (1) 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，即有界性。 (2) 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大，即偶然性或随机性。
(3) 绝对值相等的正、负误差出现的可能性相等，即对称性。
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第 5 章 测量误差的基本知识
1. 中误差
设在相同的观测条件下，对某量进行了 n 次观测，其观测值为 l1，l2，…，ln，相应的 真误差为 Δ1，Δ2，…，Δn，则中误差为
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m = ± [ΔΔ]
(5-4)
n
式中， [ΔΔ]
=
Δ12
+
Δ
2 2
+…+
Δ
2 n
。
【例 5.1】 设有甲、乙两个小组，对某三角形的内角和观测了 10 次，分别求得其真误差为
甲 组 +4"，+3"，+5"，－2"，－4"，－1"，+2"，+3"，－6"，－2"
乙 组 +3"，+5"，－5"，－2"，－7"，－1"，+8"，+3"，－6"，－1"
试求这两组观测值的中误差。
【解】
m甲 = ±
42 + 32 + 52 + 22 + 42 +12 + 22 + 32 + 62 + 22 = ±3.5'' 10
重复测量多次，各次的测距值也往往互不相等。又如，平面三角形内角和为 180 ，即为观
测对象的真值，但三个内角的观测值之和往往不等于 180 ；闭合水准测量线路各测段高差
之和的真值应为 0，但经过大量水准测量的实践证明，各测段高差的观测值之和一般也不
等于 0。这些现象在测量实践中普遍存在，究其原因，是由于观测值中不可避免地含有观
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土木工程测量
(1) 用计算的方法加以改正。如钢尺的温度改正、倾斜改正等。 (2) 用合适的观测方法加以削弱。如在水准测量中，测站上采用“后—前—前—后” 的观测程序可以削弱仪器下沉对测量结果的影响；在水平角测量时，采用盘左、盘右观测 值取平均值的方法可以削弱视准轴误差的影响。 (3) 将系统误差限制在一定的允许范围之内。有些系统误差既不便于计算改正，又不 能采用一定的观测方法加以消除，如视准轴误差对水平角的影响、水准尺倾斜对读数的影 响。对于这类误差，则必须严格遵守操作规程，对仪器进行精确检校，使其影响减少到允 许范围之内。
误差出现较少，即误差分布比较离散，反映观测成果质量较差。
偶然误差特性图中的曲线符合统计学中的正态分布曲线，标准误差的大小反映了观测
精度的低高，即标准误差越大，精度越低；反之，标准误差越小，精度越高。
个数
－Δ
+Δ
图 5.1 偶然误差统计直方图
图 5.2 偶然误差特性图
5.1.5 精度的概念及评定精度的标准
表 5-1 偶然误差统计表
误差所在区间
负误差个数
正误差个数
误差总数
0"～3"
23
25
48
3"～6"
13
14
27
6"～9"
8
9
17
9"～12"
3
2
5
12"～15"
1
1
2
15"～18"
1
0
1
18"以上
0
0
0
总计
48
52
100
由表 5-1 和图 5.1 可以看出：小误差出现的个数比大误差出现的个数多；绝对值相等 的正、负误差个数几乎相同；最大误差不超过 18"。
测值与真值之间的差值，称为测量误差(亦称观测误差)。
用 l 代表观测值，X 代表真值，则有
Δ=l－Xห้องสมุดไป่ตู้
(5-1)
式中 Δ 就是测量误差，通常称为真误差，简称误差。
一般说来，观测值中都含有误差。例如，同一人用同一台经纬仪对某一固定角度重复
观测多次，各测回的观测值往往互不相等；同一组人，用同样的测距工具，对同一段距离
从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律，但对大量偶然误差进行 统计分析，就发现了规律，并且误差个数越多，规律越明显。
例如，某一测区在相同观测条件下，对测区内所有三角形的内角进行了观测，由于观 测结果中存在偶然误差，因而，三角形各内角的观测值之和 l 不一定等于其真值 180 。
由式(5-1)计算每个三角形内角观测值之和的真误差，将真误差取区间 dΔ=3"，并按绝 对值大小进行排列，分别统计在各区间的正负误差的个数，其数据列于表 5-1 中。以表 5-1 中误差范围为横轴，以误差个数为纵轴绘制成直方图如图 5.1 所示。
Δ 极=3m
(5-6)
在实际工作中，测量规范要求观测值中，不容许存在较大的误差，常以 2 倍中误差作
为偶然误差的容许误差，即
Δ 容=2m
(5-7)
在观测数据检查和处理工作中，常用容许误差作为精度的衡量标准。当观测值误差大
5.1.1 测量误差的概念
要准确认识事物，必须对事物进行定量分析；要进行定量分析必须要先对认识对象进
行观测并取得数据。在取得观测数据的过程中，由于受到多种因素的影响，在对同一对象
进行多次观测时，每次的观测结果总是不完全一致或与预期目标(真值)不一致。之所以产
生这种现象，是因为在观测结果中始终存在测量误差的缘故。这种观测量之间的差值或观
m乙 = ±
32 + 52 + 52 + 22 + 72 + 12 + 82 + 32 + 62 + 12 = ±4.7 '' 10
比较 m甲和m乙 可知，甲组的观测精度比乙组高。
2．相对中误差
在某些情况下，单用中误差还不能准确地反映出观测精度的优劣。例如丈量了长度为
100m 和 200m 的两段距离，其中误差均为±0.01m，显然不能认为这两段距离的精度相同。
3. 偶然误差
在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，其误差符号或大小都不一致，表面上 看不出任何规律性，这种误差称为偶然误差。偶然误差也有很大的累积性，而且在观测过 程中无法避免或削弱。
粗差可以被发现并被剔除，系统误差可以被预知或采取一定措施进行削弱，而偶然误 差是不可避免的，因此，讨论测量误差的主要内容和任务就是研究在带有偶然误差的一系 列观测值中，如何确定未知量的最可靠值及其精度。
研究测量误差是为了认识测量误差的基本特性及其对观测结果的影响规律，建立处理 测量误差的数学模型，确定未知量的最可靠值及其精度，进而判定观测结果是否可靠或合 格。在认识了测量误差的基本特性和影响规律之后，能指导测量员在观测过程中如何制定 观测方案、采取措施尽力减少测量误差对测量结果的影响。