刚体之半圆圈的质心和转动惯量

π 2
1 4
z (R4
O R04 )
Jx
0
R0
半圆圈绕z轴的
转动惯量为
Jz

r2dm
(x2 y2)dm Jx J y
因此
Jz

1 2
M (R2

R02 ).
这是正交 轴定理。
{范例4.3} 半圆圈的质心和转动惯量
如图所示，一匀质半圆圈的质量为M，内半径为R0，外半径为 R。(1)求半圆圈的质心位置。质心位置与半径R0和R有什么关 系？(2)求半圆圈绕三个轴的转动惯量。转动惯量与半径R0和R 有什么关系？
有什么关系？ [解析](2)半圆圈绕x轴的转动惯量为
y
Jx

y2dm π 1
π 2
1 4
(R4

0
R04
2
)
R
(1 cos2 )d

1 4
M
(R2

R02
R0
)
r3dr
R
M R0
ds r θ
x
半圆圈绕y轴的转动惯量为
π
R
J y x2dm cos2 d r3dr
当半圆圈的质量和外半径一定时，半 圆圈的质心高度随厚度的减小而增加。
半圆盘的质心高度为0.424R， 半圆环的质心高度为0.637R。
{范例4.3} 半圆圈的质心和转动惯量
如图所示，一匀质半圆圈的质量为M，内半径为R0，外半径为
R。(1)求半圆圈的质心位置。质心位置与半径R0和R有什么关
系？(2)求半圆圈绕三个轴的转动惯量。转动惯量与半径R0和R
半圆圈绕x轴和y 轴的转动惯量为
Jx

Jy

1 4
M
(R2ຫໍສະໝຸດ R02 )y R半圆圈绕z轴的 转动惯量为
Jz

1 2
M (R2

R02 )
M
x
Jz是Jx和Jy的两倍，只要讨论Jz就行了。 z O
当R0 = 0时，半圆圈变成半圆盘，J 半圆盘绕z轴的转动惯量为
z

1 2
MR2
当R0 = R时，半圆圈变成半圆环，半 这是因为半圆环上所有 圆环绕z轴的转动惯量为Jz = MR2。 点与z轴的距离都是R。
有什么关系？
质心纵 坐标为
yC

4(R2 RR0 R02 ) 3π(R R0 )
y R
当R0 = 0时，半圆圈变成半 圆盘，半圆盘的质心坐标为
yC

4 3π
R
M
x
当R0 = R时，半圆圈变成半 圆环，半圆环的质心坐标为
yC

2 π
R
z
O
比较同一质量和半径的半圆环和半圆盘，由于圆 环质量的分布离x轴比较远，其质心高度比较高。
{范例4.3} 半圆圈的质心和转动惯量
如图所示，一匀质半圆圈的质量为M，内半径为R0，外半径为 R。(1)求半圆圈的质心位置。质心位置与半径R0和R有什么关 系？(2)求半圆圈绕三个轴的转动惯量。转动惯量与半径R0和R 有什么关系？ [解析](1)由于对称的缘故半圆圈的质心在y轴上。 y
半圆圈的面积为S = π(R2 – R02)/2，
1

0

4(R2
R0
RR0

M
R02 ) .
2 (R3 3

R03 )
3π(R2 R02 )
3π(R R0 )
{范例4.3} 半圆圈的质心和转动惯量
如图所示，一匀质半圆圈的质量为M，内半径为R0，外半径为
R。(1)求半圆圈的质心位置。质心位置与半径R0和R有什么关
系？(2)求半圆圈绕三个轴的转动惯量。转动惯量与半径R0和R
R
ds
质量面密度为

M S

2M π(R2 R02 )
M
r
R0
θ
x
在半圆圈中取一面积元ds = rdθdr，
O
z
其质量为dm = σds = σrdθdr， 到转动轴x的距离为y = rsinθ，
质心纵
坐标为
yC
1 ydm
M
4(R3 R03)
π
R
sind r2dr
当半圆圈的质量和外半径一 定时，半圆圈绕z轴的转动 惯量随宽度的减小而增加。