第3章_振动系统的运动微分方程

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第三章(第1节) 单自由度系统的强迫振动

sin n t
n
k m
2
[sin t
n
sin n t ]
A sin n t sin n t sin t 2 k m n F0
当t=0时，x0= x 0 =0，上式简化为
x sin n t sin t 2 k m n F0
2 2 2
1 (1 ) ( 2 ) 2
2 2 2
(3.1-10) (3.1-11)
1
2
3.1 对简谐激励的响应
关于解的讨论——幅频特性曲线
放大因子与频率比的关系：
◆当频率比 <<1时，放大因子接近于1，即振幅X几乎与激励幅值引起的静变形X0差不多。
◆当频率比 >>1时，趋于零，振幅可能非常小。
图 3.1-6
3.1 对简谐激励的响应例题：不平衡质量激发的强迫振动（例3.1-2）例3.1-2 作为承受简谐激励的一个例子，考虑图3.16所示的不平衡转子激发的振动。两个偏心质量m/2以角速度按相反方向转动，这样可以使两个偏心质量激励的水平分量相互抵消，铅垂分量则相加起来。设转子的偏心矩为e，机器总质量为M，求系统的响应。解：系统的振动微分方程为
x X sin( t )
根据方程（3.1-7）的稳态响应的幅值为
X me k
2
1
1
2 n
2 2
2
2
式中 n ，而响应的相位角
k M
1
。根据方程（3.1-8）的稳态
2
2
tg
1
1

第3章多自由度机械振动系统作业答案

⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ p1 ( t ) ⎤ ⎢x ⎥ = ⎢ p t ⎥ − k3 ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ( )⎥ k3 + k 4 ⎥ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ p3 ( t ) ⎥ ⎦ 0
d ∂T ∂T ∂U ∂D ( )− + + = Qi i ∂qi ∂qi ∂q i dt ∂q
2、拉格朗日法：
1 1 2 12 + m2 x 2 T = m1 x 2 2
U=
1 2 1 1 2 ⎤ k1 x1 + k2 (2 x2 − x1 ) 2 = ⎡ (k1 + k2 ) x12 + 4k2 x1 x2 + 4k2 x2 ⎣ ⎦ 2 2 2
Dr. Rong Guo
School of automotive studies, tongji university
⎡ k1r 2 K =⎢ 2 ⎣ − k1r
⎡3 2 ⎢ 2 Mr ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
⎤ ⎥ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ − k1r 2
− k1r 2 ⎤ ⎡θ1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ θ 2 ⎦ ⎣0 ⎦ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ ⎣
⎤ ⎤ ⎡ k1r 2 ⎥ ⎡θ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 3 −k r 2 θ Mr 2 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 1 ⎥ ⎦ 2
x1 2l + k1 x1 2l + m2 x2l = 0 ⎧m1 ⎨ ⎩m2 x2l + k2 ( 2 x2 − x1 ) 2l = 0 x1 + m2 x2l + 2k1 x1 = 0 ⎧2m1 ⎨ x2 − 2k2 x1 + 4k2 x2 = 0 ⎩ m2 ⎡ 2m1 ⎢ 0 ⎣ m2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2k1 ⎢ ⎥ + ⎢ −2 k m2 ⎥ x 2 ⎦⎣ 2⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢0 ⎥ 4k 2 ⎥ ⎦⎣ 2⎦ ⎣ ⎦

机械振动第3章-单自由度系统的振动

kx H sin(t ) m x
2 令 n k , h H 则 m m 2 x x h sin(t ) n
无阻尼受迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次线性微分方程。
x x1 x2
x1 A sin( n t ) 为对应齐次方程的通解 x2 b sin(t ) 为特解 h h b 2 , x sin(t ) 2 2 2 2 n n h x A sin( t ) sin(t ) 全解为 n 2 2 n ：
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T ——周期，每振动一次所经历的时间。
2 f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T，T 。 n n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
n 1 c fn 2 2 a
n反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
则自由振动的微分方程的标准形式： 2
q q 0
其解为也可以写成有
q A sin(nt ) q C1 cos nt C2 sin nt
2 1 2 2
A C C
C1 tg C2
1
6
对于初始扰动引起的自由运动
=q 0 设 t = 0 时， q = q0 , q
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的例子

J
k
实验确定转动惯量装置
5
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位置开始量取），则自由振动的运动微分方程必将是：
c a, c是与系统的物理参数有关的常数，令 a
2 n

振动力学(两自由度系统和多自由度系统)

两自由度是多自由度系统最简单的情况。
2
振动理论及应用
第3章多自由度系统的振动
3.1 两自由度系统的振动方程 ——刚度矩阵和质量矩阵
建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难度更大。
3.1.1 运动微分方程
标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：
3
振动理论及应用
坐标原点仍取在静平衡位置
具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位移均为0。
7
振动理论及应用
5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵
第3章多自由度系统的振动
质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其 mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐标处施加的广义力。
具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的加速度均为0。
2
x1 5 kx1 5 kx2
V x2
2 5
kx1
1 5
kx2
26
振动理论及应用
第3章多自由度系统的振动
计算广义力，设只有x1处产生虚位移x1，则
Q1
cx1 x1 x1
cx1
同样设x2处产生虚位移x2，则
Q2
c 0
x2
0
代入拉格朗日方程即可。
27
振动理论及应用
第3章多自由度系统的振动
5l 3
48EI
k12
l3 3EI
k22
1
求出各个刚度系数即组成刚度矩阵[K]。
17
振动理论及应用
第3章多自由度系统的振动
用拉格朗日方程建立振动系统的运动微分方程
对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和能量的方法。拉格郎日方程为：

3振动系统的运动微分方程

n
W ( j) Qj q j
若主动力为有势力，须将势能U表示为广义坐标的函数。
4. 建立拉氏方程并加以整理，得出n个二阶常微分方程。 5. 求出上述一组微分方程的积分。
Mechanical and Structural Vibration
3.2 拉格朗日运动方程例图示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总刚度为 k ，摆的质量为 m ，摆长为 l 。试用拉格朗日方程求出系统的运动方程。解：（1）选择x及为广义坐标（2）动能及势能
拉格朗日方程
d T T V Q i d t q q q i i i
( i 1 , 2 , , n )
图刚体微幅运动
计算拉格朗日方程中各项导数
d T T m x ; 0 d t x x
Mechanical and Structural Vibration
第二类拉格朗日方程
L L 代入拉氏方程： d ( ) 0( j 1,2, , k ) d t q q j j
d L L ( ) 0 d t x x
例题
d L Ltural Vibration
第3章振动系统的运动微分方程
3.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程
Mechanical and Structural Vibration
3.2 拉格朗日运动方程
3.2.3 完整的保守系统的拉格朗日运动方程
拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍的简单而又统一的方法。
3.2 拉格朗日运动方程
d T T I ; 0 O d t
V k ( x a ) a k ( x a ) a k ( y a ) a k ( y a ) a 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4

机械振动课后习题和答案第三章习题和答案

3.1 如图所示扭转系统。

设12122;t t I I k k ==1．写出系统的刚度矩阵和质量矩阵；2．写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。

解：1)以静平衡位置为原点，设12,I I 的转角12,θθ为广义坐标，画出12,I I 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：111121222221()0()0t t t I k k I k θθθθθθθ⎧++-=⎪⎨+-=⎪⎩ ，即：1112122222122()00t t t t t I k k k I k k θθθθθθ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩所以：[][]12212220,0t t t t t k k k I M K k k I +-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦系统运动微分方程可写为：[][]11220M K θθθθ⎧⎫⎧⎫⎪⎪+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭………… (a)或者采用能量法：系统的动能和势能分别为θθ=+2211221122T E I I θθθθθθθ=+-=++-222211212121221121111()()2222t t t t t t U k k k k k k求偏导也可以得到[][],M K由于12122;t t I I k k ==，所以[][]212021,0111t M I K k -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦2)设系统固有振动的解为： 1122cos u t u θωθ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，代入（a ）可得：[][]122()0u K M u ω⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭………… (b)得到频率方程：22121211222()0t t t t k I k k k I ωωω--==--即：224222121()240t t I k I k ωωω=-+=解得：21,222ω==所以：1ω=2ω= ………… (c)将（c ）代入（b ）可得：112121211122(22220(22t t t t t t k k I k I u u k k k I I ⎡⎤±--⎢⎥⎧⎫⎢⎥=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎢⎥--⎢⎥⎣⎦解得：11212u u =-；12222u u =令21u ，得到系统的振型为：-0.70710.70713.2 求图所示系统的固有频率和振型。

3振动系统的运动微分方程

第3章振动系统的运动微分方程
机械与结构振动
Mechanical and Structural Vibration Mechanical and Structural Vibration
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第3章振动系统的运动微分方程
3.1 牛顿定律和普遍定理 3.2 拉格朗日运动方程 3.3 刚度影响系数作用力方程 3.4 柔度影响系数位移方程
1 δ 13 k1 1 δ 23 = k δ 33 11 k1
1 k1 1 1 + k1 k 2 1 1 + k1 k 2
1 1 + k1 k 2 1 1 1 + + k1 k 2 k 3 1 k1
Mechanical and Structural Vibration
K =K
Mechanical and Structural Vibration
T
第3章振动系统的运动微分方程
3.4 柔度影响系数位移方程
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数位移方程
在单自由度的弹簧—质量系统中，若弹簧常数是，在单自由度的弹簧质量系统中，若弹簧常数是k，则质量系统中
画出各物块的受力图根据平衡条件，画出各物块的受力图根据平衡条件，有
k11 = k1 + k 2，k 21 = −k 2，k 31 = 0
Mechanical and Structural Vibration
3.3 刚度影响系数作用力方程
同理，同理，令 x1 = 0，x 2 = 1，x 3 = 0
&& && && m11 x1 + m12 x 2 + ⋅L+ m1n x n + k 11 x1 + k 12 x 2 +L+ k 1n x n = 0 m x + m x +L+ m x + k x + k x +L+ k x = 0 21 &&1 22 &&2 2 n &&n 21 1 22 2 2n n LL mn1 x1 + mn 2 x 2 +L+ mnn x n + k n1 x1 + k n 2 x 2 +L+ k nn x n = 0 && && &&

第三章二自由度系统

为了完全确定物体的位置而选定的任意一组彼此独立的坐标参数，称为这个物体的广义坐标。在选定坐标时，除去直角坐标Ｘ、Ｙ、Ｚ之外，我们也可以用角度φ、θ及从物体中的一点到某些固定点的距离等参数来确定物体在空间的位置。
二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程
以汽车的二自由度振动模型为例
汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质量m和绕质心的转动惯量Ic。质心位于C 点。分别在A点和B点与杆相联的弹性元件k1、k2为汽车的前，后板簧。
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量
二自由度系统振动 / 运动微分方程
式中：
[M
]

m11 m21
m12
m22

m1

0
0
m2

[K
]

k11 k 21
[C]

c11 c21
k12
k
22

k1 k2

k2
c12
c22
2 ET x1x1

2 ET x12
m1
m12

2 ET x1x2

2 ET x2x1
m21
0
m22
2ET x2x2

2 ET x22
m2
[M
]

m11 m21
m12
m22

m1

0
0
m2

二自由度系统振动 / 能量法
(t ) (t)
如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。

第三章-多自由度系统振动6.19

第三章多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。

单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。

多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。

主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。

多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组，这些方程一般是耦合的。

多自由度振动的求解有两种方法：直接积分法和振型叠加法。

直接积分法可直接根据微分方程求出响应，涉及的概念不多且有应用软件，本章不做介绍。

振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型，在此基础用叠加法求响应，物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。

因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。

3.1 振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多，有些相当复杂，但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法，都是动力学基本理论和方法，本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。

[例一] 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。

三个质量只作水平方向的运动，并分别受到激振力()t P 1，()t P 2和()t P 3的作用，质量块的质量分别为1m ，2m 和3m ，弹簧刚度分别为1k ，2k 3k 和4k ，阻尼分别为1c ，2c 3c 和4c 。

图3-1 3自由度系统解：分别用三个独立坐标1x ，2x 和3x 描述三个质量块的运动，坐标原点分别取在1m ，2m 和3m 的静平衡位置。

质量块的速度分别为1x，2x 和3x ，加速度分别为1x，2x 和3x 。

每个质量块的受力图如3-2（a 、b 、c ）所示，则由受力图根据牛顿第二定律，得系统的运动方程为：图3-2 (a) 图3-2(b)图3-2(c))()()(1212112121111t P x x c x c x x k x k xm +------= )()()()()(232321232321222t P x x c x x c x x k x x k x m +---+---= )()()(3343233432333t P x c x x c x k x x k xm +--+--= 或)()()(1221212212111t P x k x k k x c x c c xm =-++-++ )()()(23323212332321222t P x k x k k x k x c x c c x c x m =-++--++- )()()(3343233432333t P x k k x k x c c x c xm =++-++- 上述方程组可以用矩阵表示为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(000032132143333222213214333322221321321t P t P t P x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m三个二阶微分方程是耦合的，这是因为矩阵中有非零的非对角元素。

结构动力学-多自由度系统振动

k 2k
y1 y2
0 0
m
M
0
0
k
m, K k
k
2k
解：①由频率方程求固有频率
K 2M 0 k m2
k 0
k 2k m2
展开上式得：(k m2 )(2k m2 ) k 2 0
2 1, 2
3k m
9k 2m2 4k 2m2 2m2
1 0.62
k, m
2 1.62
M20 0
M 21
y2 0
M1y1
M11
列力平衡方程为：M11 M1y1 0 M11 M1 M 21 0, M 31 0
同样的分析可以求得：M12 0, M 22 M 2 , M 23 0; M13 0, M 23 0, M 33 M 3;
所以，得到质量矩阵为： M1 0 0
k2
k3
P
p1 (t) p2 (t)
二、柔度矩阵法用柔度矩阵法或者刚度矩阵建立方程本质上也是基于力的动平衡来建立方程，关键在于求柔度系数或刚度系数。
例题 3-2 梁的跨长为 l ,梁上有两个集中质量 M1 和 M 2 ，分别受到集中力 p1 (t) 和 p2 (t) 的作用。不计梁自身的质量和阻尼，建立系统的垂向振动方程.
上面的方程为惯性解耦，刚度耦合方程。
kij 的物理意义：j 坐标发生单位位移，其余坐标位移全部为
零时, i 坐标引起的恢复力。
mij 的物理意义：仅在 j 坐标发生单位加速度时,在第 i 坐标所产生的惯性力.
用柔度矩阵法建立的一般方程：
Y (P MY)
两边同乘以 1
1Y 1(P MY)
例题:针对下图给出的系统，建立振动微分方程。

第三章多自由度系统振动

U = U ( q1 , q2 ,..., qn )
通常将静平衡位置作为势能零点，并且以静平衡通常将静平衡位置作为势能零点，位置为坐标原点。位置为坐标原点。我们研究的是在静平衡位置附近的微振动，近的微振动，则将 U 在静平衡位置作泰勒展开有
∂U U = U0 + ∑ i =1 ∂qi
0
q
对应的广义力，阻尼力，耗散力。对应的广义力，阻尼力，耗散力。系统的第 k 个质点受到的阻尼力
& Rk = − β k ⋅ rk
与势能形式上对应存在一个耗散函数
m n 1 ∂rk dqi n ∂rk dq j 1 & & Φ = ∑ β k ⋅ rk ⋅ rk = ∑ β k ⋅ ∑ ⋅ ⋅∑ ⋅ dt j =1 ∂q j dt k =1 2 k =1 2 i =1 ∂qi
kn 2 − mn 2ωi2 ) ⋅ ϕ 2i + ... + ( knn − mnnωi2 ) ⋅ ϕ ni = ( mn1ωi2 − kn1 ) ϕ1i (
n − 1 个方程，n − 1 未知数，个方程，未知数，最终可求出 ϕ2i ,..., ϕni 用 ϕ1i
表示，其余都与其成一定比例。表示，其余都与其成一定比例。与其成一定比例
系统的能量等于各阶主振动的能量之和不同阶之间能量不发生变换每一阶主振动的动能和势能在内部交换总和保持常数34多自由度系统的受迫振动mxcxkx1特征值分析求出无阻尼的各阶固有频率和各阶主振型2模态叠加方法分解解耦期望阻尼阵也和mk一样具有正交性即如果这样就可以使用模态叠加法进行解耦分析求解
结构动力学
1 n n ∂ 2U U = ∑∑ 0 qi q j 2 i =1 j =1 ∂qi ∂q j ，令

二自由度系统振动理论及应用

３.２.２与自由振动有关的几种现象
图３-７所示为用弹簧连接的一对单摆,对于这个系统的自由振动,其运动方程用矩阵形式表示为
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３.２无阻尼二自由度系统的振动
质量矩阵中各项为刚度矩阵包括重力影响系数的各项为将上述各项代入式(３-１６),求得固有频率为
上一页下一页返回
式中
该方程的解应有以下形式
上一页下一页返回
３.３阻尼二自由度系统的振动
代入方程(３-３２)得: 为使A１和A２不为零,系数行列式必为零,即可得特征方程
上一页下一页返回
３.３阻尼二自由度系统的振动
当阻尼较小时,系统做自由衰减振动,方程有以下共轭复数根式中,n１,n２为衰减系数;ωn１,ωn２为有阻尼时的固有频率. 通过式(３-３３)可求得振幅比.
３.２无阻尼二自由度系统的振动
３.２.３无阻尼二自由度系统的强迫振动
图３-１２所示为无阻尼二自由度强迫振动系统的力学模型,质量m１上作用有激振力F１sinωt,质量m２上作用有激振力F２sinωt,根据牛顿第二定律,其运动方程为
写成简洁的形式为
上一页下一页返回
３.２无阻尼二自由度系统的振动
上一页下一页返回
３.３阻尼二自由度系统的振动
该方程的全解应包括自由衰减振动和强迫振动两部分.自由振动部分与上一节完全相同,故这里只讨论稳态振动.如单自由度系统所述的一样,系统的稳态响应一定是与激振同频率的,但由于系统存在阻尼,使响应和激振之间落后一相角差,现设其稳态解为
它们的一阶、二阶导数分别为
式(３-２３)的解由齐次方程的通解(自由振动,见式(３-１８))与非齐次方程的特解(即稳态振动)叠加而成.系统稳态振动的频率与激振频率ω 相同, 特解可取为

第三章机械振动

x 2 Xsin（t - ）
F0 eit F （ t isint） 0 cos
（3-3）
为了求出振幅X和相位角，将激励力和响应均表示为复数形式
（3-4）
Xe i（t -） X（cos（t - ） isin（t - ））（3-5）
可得采用复数表示的振动方程为
（ X 1 ） max X0 2 1 - 2 2
(3-17)
在振动测试时，若测得了响应的最大幅值，则系统的阻尼比可通过式(3-17) 来确定。
(5)从式（3-16）可知，若 2 2 ，则 rmax =0 ，即振幅最大值发生在 =0 处，即静止时位移最大。由此可以得到以下结论：当 2 2 时，不论r为何值，X/X。≤1；当 < 2 2时，对于很小或很大的r值，阻尼对响应的影响可以忽略。对图3-1所示的系统，若粘性阻尼力为0，则运动方程式(3-1)简化为
X F0
2 2 （k - m 2）（c）
arctan
c k - m 2
于是式(3-1)的非齐次方程的特解可以表示为
x2 F0 sin（t - ）
2 2 （k - m 2）（c）
从而得到式(3-1)的完整解为
x x 1 x 2 e （Acosd t Bsind t）
可见，两种情况求出的A和B是不一样的。对于一特定系统，X和是外力F0 和激励频率的
函数，只要 F0 和保持不变，则X和是常值。稳态
响应的位移与各力之间的关系可以用图3-3所示的矢量表示：物体的惯性力- m 2 X 、弹性力kX 、阻尼力 ic X
F0

ic X
kX 3-3 单自由度有阻尼系统的强迫振动矢量图

两自由度系统的振动

第3章两自由度系统的振动
振动理论与应用
Theory of Vibration with Applications Theory of Vibration with Applications
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第3章两自由度系统的振动
目录
3.1 两自由度系统的自由振动 3.2 拍振 3.3 坐标的耦联 3.4 两自由度系统的受迫振动
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3.1 两自由度系统的自由振动
例题
x m 0 &&1 2k 0 2m && + − k x2
m 0 质量矩阵 M = 0 2m
− k x1 0 x = 0 2k 2
自由振动微分方程
Theory of Vibration with Applications
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3.1 两自由度系统的自由振动
3.1.1 运动微分方程
m1 0
&& 0 x1 k 1 + k 2 x + − k m2 &&2 2
k 12 k 22
x1(2 ) = A1(2 ) sin( p2t + α 2 ) (2 ) (2 ) x2 = A2 sin( p2t + α 2 )
( A21) a − p12 c ν1 = (1) = = A1 b d − p12
第二主振动 the ratio of the amplitudes 振幅比
2 p1, 2
a+d a+d = m − (ad − bc) 2 2
2
a+d a−d = m + bc 2 2

多自由度(线性)阻尼系统振动讲义

第3章多自由度线性系统的振动 3. 1 振动微分方程 3 多自由度线性系统的振动
例3.2 建立三自由度系统的振动微分方程
柔度系数：单位外力所引起的系统位移，定义系统第j个坐标上作用的单位力在第i个广义坐标上所引起的位移为柔度系数 h 。 ij
三自由度系统
在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， x =1/k ， 1 1 2 3 1 1 2 1 x =1/k ，即h = h = k = 1/k ； 3 1 11 21 31 1 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 2 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x = 1/k +1/k ，即柔度系数h = 1/k ， h = k = 1/k +1/k ，； 2 1 2 3 1 2 12 1 22 32 1 2 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 3 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x =1/k +1/k +1/k 。即柔度系数x =1/k ， x =1/k +1/k ， x = 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1/k +1/k +1/k 。 1 2 é1 3 ù 1 1 振动 ê k m x ü k k ú é 1 0 0 ùì &&1 ü ì x ü ì 0 1 1 1 1 ï ê ú ê 0 m 0 ú ï && ï +ï x ï =ï0 1 1 + 1 x ý í 2 ý í ý 微分 ê 1 k 1 k + k 2 ú í 2 úê k k 1 1 2 1 2 ï ï ï ï ï ï 1 + 1 1 +1 + 1 ú ê 0 0 m ú î&&3 þ îx þ î0 3 û x 3 ë þ 方程 ê 1 ê k k k k k k ú 1 2 1 2 3 û ë 1

第三章-单自由度系统的受迫振动

x = Ae
i (ωt −θ )
F0 i(ωt −θ ) = βe = Bβei(ωt −θ ) ≈ Bei(ωt −θ ) k
振动理论与声学原理
——幅频特性二、稳态响应的特性——幅频特性
幅频特性曲线 β (s) = 稳态响应的特性：
1 (1− s2 )2 + (2ξs)2
（2）当 s >>1（ω>> ωn ）（）即激振频率相对系统固有频率很高
2ξs θ(s) = arctan 1− s2
（1）当 s <<1（ω<< ωn ）（）
θ ≈ 0 ，响应与激振力相位几乎相同（2）当 s >>1（ω>> ωn ）（）
相位差
ω ）（3）当 s ≈1（ ≈ ωn ）（
共振时相位差 θ
相位差 θ ≈ π ，响应与激振力相位几乎相反
≈
π
2
，且几乎与阻尼无关
振动理论与声学原理
四、受迫振动的过渡阶段
由于是线性系统，由于是线性系统，也适用叠加原理
2 x &&+ωn x = 0 x m&&+ kx = F0 sin ωt = + &(0) = x0 & x(0) = x0 , x & & x(0) = x0 , x(0) = x0 2 2 &&+ωn x = Bωn sin ωt x & x(0) = 0, x(0) = 0
振动理论与声学原理第三章单自由度系统的受迫振动
振动理论与声学原理
一、谐波激励的受迫振动
表示，设外部谐波激振力用复数 F (t ) = F0 e iω t 表示，F0 为其幅为其频率。值，ω 为其频率。实部 F0 cos ωt ，虚部 F0 sin ωt 微分方程

第3章单自由度系统的受迫振动

值得注意，系统共振时，阻尼对相位差无影响，即无论阻尼多大，当ω ＝ pn 时，相位差ϕ 总是等
于 90°。在振动实验中，常以此作为判断振动系统是否处于共振状态的一种标志。 (3) 高频区。当λ>>1, ϕ＝180°。表明当激振力频率远远高于固有频率时，受迫振动的相位差接
近与 180°。这说明受迫振动的位移与激振力是反相位的。应当指出，对于λ＝0，当λ<1 时，λ =0；λ>1 时，ϕ＝180°；λ＝1 时，ϕ角从 0 跳到 180°。对于不同的阻尼值，相位差ϕ角在 0 到180° 之间变化。例 3-1 质量为 M 的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为 e，偏心质
pn
(3-10)
绘出对应不同的阻尼比ζ，相位差ϕ随λ变化的曲线族如图 3-2 中的右上角所示，即相频特性曲线。
(1) 低频区。当λ<<1时，ϕ≈0，表明当激振力频率很低或ω<< pn 时，相位差ϕ接近于零，即受
迫振动的位移与激振力几乎同相位。
(2) 共振区。当λ=1时，ϕ＝90°。表明当激振力频率等于振动系统的固有频率时，相位差为 90°。
根据达朗贝尔原理，有
− cx& + Mg − k(x + δ st ) − M&x& − meω 2 sin ωt = 0
∴ M&x& + cx& + kx = −meω 2 sin ωt
令
p
2 n
=
k M
，2n
=
c M
，则上式可写成
&x& +
2nx&
+
pn2 x

第三章两自由度系统振动

1α，小车与斜面之间摩擦力gk PT π2=，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=α2sin 2k P h k P A2。

()2234mr a r k n +=ω 3．确定图2-3系统的固有频率。

()r R gn -=32ω图2-3第三章两自由度系统振动§3-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。

在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。

两自由度系统是最简单的多自由度系统。

从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。

研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。

所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。

很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。

例如，车床刀架系统（a ）、车床两顶尖间的工件系统（b ）、磨床主轴及砂轮架系统（c ）。

只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。

以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。

此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。

这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。

在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。

第3章振动系统的运动微分方程题解

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载第3章振动系统的运动微分方程题解地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容习题题3-1图3-1 复摆重P，对质心的回转半径为，质心距转动轴的距离为a，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。

解:系统具有一个自由度，选复摆转角为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。

复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程其中得到复摆运动微分方程为或3-2均质半圆柱体，质心为C，与圆心O1的距离为e，柱体半径为R，质量为m，对质心的回转半径为，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。

题3-2图解：系统具有一个自由度，选为广义坐标。

半圆柱体在任意位置的动能为：用瞬心法求：故系统具有理想约束，重力的元功为应用动能定理的微分形式等式两边同除，，等式两边同除故微分方程为①若为小摆动，，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。

系统的受力图与运动分析图如图（b）所示。

列写微分方程上述方程包含，，，，五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。

建立质心坐标与广义坐标之间的关系，所以运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力，，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。

因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。

（2）本题也可用机械能守恒定律求解。

系统的动能选半圆柱体中心O1所在平面为零势面，系统的势能由两边对时间求导数，即可得到与式①相同的运动微分方程。

3-3 均质杆AB，长l，质量为m，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。

第3章_振动系统的运动微分方程

第三章(第1节) 单自由度系统的强迫振动

第3章 多自由度机械振动系统 作业答案

机械振动 第3章-单自由度系统的振动

振动力学(两自由度系统和多自由度系统)

3振动系统的运动微分方程

机械振动 课后习题和答案 第三章 习题和答案

3振动系统的运动微分方程

第三章二自由度系统

第三章-多自由度系统振动6.19

结构动力学-多自由度系统振动

第三章 多自由度系统振动

二自由度系统振动理论及应用

第三章机械振动

两自由度系统的振动

多自由度(线性)阻尼系统振动讲义

第三章-单自由度系统的受迫振动

第3章 单自由度系统的受迫振动

第三章 两自由度系统振动

第3章 振动系统的运动微分方程题解

第3章多自由度机械振动系统作业答案

机械振动第3章-单自由度系统的振动

机械振动课后习题和答案第三章习题和答案

第三章多自由度系统振动

第3章单自由度系统的受迫振动

第三章两自由度系统振动

第3章振动系统的运动微分方程题解