第3章_振动系统的运动微分方程

1 k1
, 23
1 1 k1 k 2
, 33
1 1 1 k1 k 2 k 3
系统的柔度矩阵为
11 12 21 22 31 32
1 13 k1 1 23 k 1 33 1 k1
最后令 x1 x2 0，x3 1
画出受力图，有
k13 0，k 23 k 3 ，k 33 k 3
Mechanical and Structural Vibration
3.3 刚度影响系数 作用力方程
因此刚度矩阵为
k1 k 2 K k2 0
k2 k1 k 3 k3
刚度矩阵中的元素称刚度影响系数(在单自由度系统中，简称 弹性常数)。它表示系统单位变形所需的作用力。具体地说， 如果使第j个质量沿其坐标方向产生单位位移，沿其它质量的 坐标方向施加作用力而使它们保持不动，则沿第i个质量坐标 方向施加的力，定义为刚度影响系数kij；在第j个质量坐标方 向上施加的力称刚度影响系数kjj 。由刚度影响系数的物理意 义，可直接写出刚度矩阵，从而建立作用力方程，这种方法 称为影响系数法。
Mechanical and Structural Vibration
3.3 刚度影响系数 作用力方程
现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。
首先令 x1 1 x2 x3 0 在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力 k11、k 21、k 31
画出各物块的受力图根据平衡条件，有
11
22 表示在m
l ( )3 3 l 2 3EI 24 EI
2处施加单位力(沿y2方向)并在m2处产生的位移。有
22
Mechanical and Structural Vibration
l3 3EI
3.4 柔度影响系数 位移方程
12 21 表示在 m2 处施加单位力在
m1处产生的位移等于在 m1处施加单 位力在m2处产生的位移。有
l l l3 5l 3 24 12 21 24EI 2 EI 48EI
3
2
柔度矩阵为
11 21
1 12 l 8 1 22 3 EI 16
3.4 柔度影响系数 位移方程
k11 , k 21 分别表示保持系统在 图为 yC 1 , 0 时的受力图，
该位置平衡，应加在C点的力和力偶矩 由刚体AB的平衡条件得到
k11 k1 k 2
Mechanical and Structural Vibration
,
k 21 k1l1 k 2 l2
第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有
12
1 1 1 1 1 , 22 , 32 k1 k1 k2 k1 k2
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
F3
再令 F1 F2 0, F3 1
可得到
13
i j ji
柔度矩阵一般也是对称的。 实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即

T
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
用柔度影响系数来建立其运动微分方程
应用叠加原理可得到
x1 ( F1 ) 11 ( F2 ) 12 ( F3 ) 13 x2 ( F1 ) 21 ( F2 ) 22 ( F3 ) 23 x3 ( F1 ) 31 ( F2 ) 32 ( F3 ) 33
3.4 柔度影响系数 位移方程
在单自由度的弹簧—质量系统中，若弹簧常数是k，则
1 k
就是物
块上作用单位力时弹簧的变形，称柔度影响系数，用 表示。 n自由度系统的柔度矩阵 Δ 为n阶方阵，其元素 ij 称为柔度影 响系数，表示单位力产生的位移。 具体地说，仅在第j个质量的坐标方向上受到单位力作用时相 应于在第i个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为 ij 。
1 1 k1 k 2 1 1 k1 k 2
1 k1
1 1 k1 k 2 1 1 1 k1 k 2 k 3 1 k1
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
系统的柔度矩阵为
11 12 21 22 31 32 1 13 k1 1 23 k 1 33 1 k1 1 1 k1 k 2 1 1 k1 k 2 1 k1 1 1 k1 k 2 1 1 1 k1 k 2 k 3 1 k1
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系
K 1
即当刚度矩阵是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵； 当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。
此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。
如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵不存在。
系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形
x1 ( m1 x1 ) 11 ( m2 x2 ) 12 ( m3 x3 ) 13 x2 ( m1 x1 ) 21 ( m2 x2 ) 22 ( m3 x3 ) 23 x3 ( m1 x1 ) 31 ( m2 x2 ) 32 ( m3 x3 ) 33
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
例 试求图示悬臂梁的柔度影响系数， 并建立其位移方程。(梁的弯曲刚度为 EI，其质量不计) 解：取y1 、 y2为广义坐标，根据柔度影响系数的定义， 11 表示 在m1处施加单位力(沿y1方向)并在m1处产生的位移。 按材料力学的挠度公式，则有
3.3 刚度影响系数 作用力方程
质量矩阵
m11 m 21 M mn 1
m12 m22 mn 2
m1n m2 n mn n
刚度矩阵
k11 k 21 K kn 1
k12 k 22 kn 2

Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
例 试写出图所示刚体AB的
刚度矩阵并建立系统的运动 微分方程。
解：刚体 AB 在图面内的位置可以由其质心 C 的坐标 yC( 以水 平位置O为坐标原点，且水平运动不计)和绕C转角 确定。
Mechanical and Structural Vibration
1 0 x 0 x2 m3 x 3
位移方程
x Mx
Kx Mx
x 0 Mx
) x K 1 ( Mx
与作用力方程比较
K是非奇异的，即 K 1 的逆矩阵存在
K 1
k1n k 2n kn n
Mechanical and Structural Vibration
3.3 刚度影响系数 作用力方程
刚度矩阵
k11 k 21 K kn 1 k12 k 22 kn 2 k1n k 2n kn n
k11 k1 k 2，k 21 k 2，k31 0
Mechanical and Structural Vibration
3.3 刚度影响系数 作用力方程
同理，令 x1 0，x2 1，x3 0
画出受力图，则有
k12 k 2 ，k 22 k 2 k 3 ，k 32 k 3
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
写成矩阵形式
x1 11 12 x 2 21 22 x 3 31 32
13 m1 0 0 m 23 2 33 0 0
3.4 柔度影响系数 位移方程
图为 yC 0 , 1时的受力图， k 22 , k12 分别表示保持系统在该位 置平衡，应加在铅直平面内的力偶矩和加在C点的力。
2 k1l12 由平衡条件得 k 22 k 2 l2
, k12 k1l1 k 2 l2
刚度矩阵
(k2l2 k1l1 ) k1 k2 K 2 2 ( k l k l ) k l k l 2 2 11 11 2 2
弹簧的变形为零。
所以三物块的位移都是 11
Mechanical and Structural Vibration
1 1 1 , 21 , 31 k1 k1 k1
3.4 柔度影响系数 位移方程
F2
令
1 1 第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为 , k1 k 2
F2 1 ，F1 F3 0
0 k3 k3
kij k jiBaidu Nhomakorabea
刚度矩阵一般是对称的。 实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即
K K
Mechanical and Structural Vibration
T
第3章 振动系统的运动微分方程
3.4 柔度影响系数 位移方程
Mechanical and Structural Vibration
第3章 振动系统的运动微分方程
3.3 刚度影响系数 作用力方程
Mechanical and Structural Vibration
3.3 刚度影响系数 作用力方程
一般情况下，n个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程 具有以下形式
1 m12 x 2 m1n x n k 11 x1 k 12 x 2 k 1n x n 0 m11 x m x 2 m2 n x n k 21 x1 k 22 x 2 k 2 n x n 0 21 x1 m22 x1 mn 2 x 2 mnn x n k n1 x1 k n 2 x 2 k nn x n 0 mn1
方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。
若用矩阵表示，则可写成
Kx 0 M x
T T ，x x1 x2 xn
x x1
x2 xn
式中分别是系统的坐标矢量和加速度矢量
Mechanical and Structural Vibration
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。
F1
首先施加单位力 F1 1 ，F2 F3 0 这时三物块所产生的静位移分别是 11、 21、 31
1 当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为 k ，第二和第三个 1
机械与结构振动
Mechanical and Structural Vibration
第3章 振动系统的运动微分方程
制作与设计 贾启芬
返回总目录
第3章 振动系统的运动微分方程
3.1 牛顿定律和普遍定理
目录
3.2 拉格朗日运动方程
3.3 刚度影响系数 作用力方程 3.4 柔度影响系数 位移方程
Mechanical and Structural Vibration