2020高考数学理科大一轮复习第六章不等式_推理与证明__导学案6.1

第六章不等式、推理与证明
第一节不等关系与不等式
知识点一两个实数比较大小
1．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是(D)
A．v<40 km/h B．v>40 km/h
C．v≠40 km/h D．v≤40 km/h
解析：由汽车的速度v不超过40 km/h，知小于等于40 km/h.即v≤40 km/h.故选D.
2．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c中最大者为a.
解析：因为b－c＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(6＋3)，(7＋2)2＝9＋214，(6＋3)2＝9＋218，所以b－c<0，即b<c.又a－c＝2－(6－2)＝22－6＝8－6>0，所以a>c.所以a，b，c中最大者为a.
知识点二不等式的性质
1．对称性：a>b⇔b<a；
2．传递性：a>b，b>c⇒a>c；
3．可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
4．可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
5．可乘方：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)；
6．可开方：a>b>0⇒n
a>
n
b(n∈N，n≥2)．
3．(2019·南宁、柳州联考)设a>b，a，b，c∈R，则下列式子正确的是(C)
A ．ac 2>bc 2 B.a b >1 C ．a －c >b －c
D ．a 2>b 2
解析：a >b ，若c ＝0，则ac 2
＝bc 2
，故A 错；a >b ，若b <0，则a
b <1，故B 错；a >b ，不论
c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；a >b ，若a ，b 都小于0，则a 2<b 2，故D 错．于是选C.
4．已知下列四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0.不能推出1a <1
b 成立的序号是③.
解析：①若b >0>a ，则1a <0<1b ，故①正确；②若0>a >b ，则ab >0，∴a ab >b
ab ，即1a <1b ，故②正确；③若a >0>b ，则1a >0>1b ，故不能推出1a <1b ，因此③不正确；④若a >b >0，则a ab >b ab ，即1a <1b ，故④正确．综上可知，不能推出1a <1
b 成立的是③.
5．若1<α<3，－4<β<2，则α
2－β的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，112.
解析：由1<α<3得12<α2<3
2， 由－4<β<2得－2<－β<4， 所以－32<α2－β<112，
所以α
2－β的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，112.
1．比较两个代数式的大小通常用作差法或作商法，也可结合函数、不等式的性质比较．
2．倒数性质的几个必备结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1
b . (2)a <0<b ⇒1a <1
b . (3)a >b >0,0<
c <
d ⇒a c >b
d .
(4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1
a .
考向一 比较大小
【例1】 (1)已知a ，b ，c 为正数，且3a ＝4b ＝6c ，则下列正确的是( ) A ．6c <3a <4b B ．6c <4b <3a C ．3a <4b <6c
D ．4b <3a <6c
(2)已知a >b >0，P ＝a 2－b 2a 2＋b 2，Q ＝a －b a ＋b
，则P ，Q 的大小关系为________．
【解析】 (1)令3a ＝4b ＝6c ＝k ，则a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ，则3a
4b ＝3log 3k 4log 4k ＝3lg44lg3＝lg64lg81<1，则3a <4b ，又4b 6c ＝2log 4k 3log 6k ＝2lg63lg4＝lg36lg64<1，则4b <6c ，
所以3a <4b <6c ，故选C.
(2)P －Q ＝a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b
＝(a 2－b 2)(a ＋b )－(a －b )(a 2＋b 2)(a 2＋b 2
)(a ＋b ) ＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2
)(a ＋b )
＝2ab (a －b )
(a 2＋b 2)(a ＋b )
. 因为a >b >0，所以2ab >0，a －b >0，a 2＋b 2>0，a ＋b >0，所以2ab (a －b )
(a 2
＋b 2
)(a ＋b )
>0，所以P >Q .
【答案】 (1)C (2)P >Q
(1)判断两个式子的大小关系的方法：作差、作商法；不等式性质法；单调性法；中间量法；特殊值法；数形结合法等.
(2)作差法的一般步骤：作差，变形，定号，得出结论.
(1)设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( B )
A ．A ≤
B B ．A ≥B
C ．A <B
D ．A >B
(2)若a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln5
5，则( B ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b
D ．b <a <c
解析：(1)∵A ≥0，B ≥0，A 2－B 2＝a ＋2ab ＋b －(a ＋b )＝2ab ≥0，∴A ≥B .
(2)方法1：易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln44ln3＝log 8164<1，所以a >b ；b
c ＝5ln4
4ln5＝log 6251 024>1，所以b >c .即c <b <a .
方法2：对于函数y ＝f (x )＝ln x
x ，y ′＝1－ln x x 2，易知当x >e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .
考向二
不等式的性质
【例2】 (1)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b c
D.a d <b c
(2)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b
2a <log 2(a ＋b ) B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b C ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b
2a D ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b
2a
【解析】 (1)由c <d <0⇒－1d >－1
c >0，又a >b >0，故由不等式性质，得－a
d >－b c >0，所以a d <b c .
(2)解法1：因为a >b >0，且ab ＝1，
所以a >1,0<b <1，所以a ＋1
b ＝a ＋a ＝2a >2，log 2(a ＋b )＝log 2a ＋
1
a >log 2⎝
⎛⎭
⎪⎫
2
a ·1a ＝log 22＝1，
b 2a ＝1a ·2a <1.可知b 2a 最小，由选项知选B. 解法2：选择题也可以考虑直接赋值，关键是要看出由a >b >0，且ab
＝1可以得出a >1>b >0，然后取符合要求的值，可以取a ＝2，b ＝1
2，比较4，12·22，log 23
2
，则易得答案为B. 【答案】 (1)D (2)B
(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.
(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等.
(1)若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1
a ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
(2)若1a <1
b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a | >|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式是( C ) A ．①② B ．②③ C ．①④
D ．③④
(3)(2018·北京卷)能说明“若a >b ，则1a <1
b ”为假命题的一组a ，b 的值依次为1，－1(答案不唯一)．
解析：(1)对于0<ab <1，如果a >0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a 成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1
a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，
b ＝2，结论“a <1b 或b >1
a ”成立，但条件0<a
b <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a ”的必要条件．即“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分不必要条件．
(2)因为1a <1
b <0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.
(3)由题意知，当a ＝1，b ＝－1时，满足a >b ，但是1a >1
b ，故答案可以为1，－1.(答案不唯一，满足a >0，b <0即可)
考向三 不等式性质的应用
【例3】 (1)三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，则b
a
的取值范围是( )
A.⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤23，32 B.⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞ C ．[2,3] D ．[1,2]
(2)已知－12≤2x ＋y ≤12，－12≤3x ＋y ≤1
2，则9x ＋y 的取值范围是________．
【解析】 (1)三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，∴1≤b
a ＋c a ≤2，
b a ≤1＋
c a ≤2b a ，即－2b a ≤－1－c a ≤－b a ，∴1－2b a ≤b a －1≤2－b
a ，即
⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2b a ≤b a －1，b
a －1≤2－b
a ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
b a ≥23，
b a ≤32，
∴23≤b a ≤3
2，故选A.
(2)设9x ＋y ＝a (2x ＋y )＋b (3x ＋y )，则9x ＋y ＝(2a ＋3b )x ＋(a ＋b )y ，于是
比较两边系数得⎩⎨
⎧
2a ＋3b ＝9，
a ＋
b ＝1，
得a ＝－6，b ＝7.由已知不等式得－3≤－
6(2x ＋y )≤3，－72≤7(3x ＋y )≤72，所以－132≤9x ＋y ≤13
2.
【答案】 (1)A (2)⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
－132，132
运用不等式的性质解决问题时，常用的方法是正确使用不等式的性质直接推导，并注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
(1)已知－1<x <y <3，则x －y 的取值范围是(－4,0)．
解析：∵－1<x <3，－1<y <3，∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4.
又∵x <y ，∴x －y <0，∴－4<x －y <0，故x －y 的取值范围为(－4,0)．
(2)已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．
解：因为二次函数y ＝f (x )的图象过原点，所以设y ＝f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，
由题意知⎩⎨⎧ 1≤f (－1)＝a －b ≤2，3≤f (1)＝a ＋b ≤4.
解法1：(待定系数法)由题意知f (－2)＝4a －2b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎨⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )．
又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，
所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10，
即f (－2)的取值范围是[6,10]．因为二次函数y ＝f (x )的图象过原点，所
以设y ＝f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，由题意知⎩⎨⎧ 1≤f (－1)＝a －b ≤2，3≤f (1)＝a ＋b ≤4.
解法1：(待定系数法)由题意知f (－2)＝4a －2b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎨⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝3，
所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )．
又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，
所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10，
即f (－2)的取值范围是[6,10]．
解法2：(运用方程思想)由⎩⎨⎧ f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，
得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12[f (－1)＋f (1)]，
b ＝12[f (1)－f (－1)]，
所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又⎩⎨⎧ 1≤f (－1)≤2，3≤f (1)≤4，
所以6≤3f (－1)＋f (1)≤10，即f (－2)的取值范围是
[6,10]．。