江西省赣州市2021届新高考数学二模试卷含解析

江西省赣州市2021届新高考数学二模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a ＞b ＞0，c ＞1，则下列各式成立的是（ ） A ．sina ＞sinb B ．c a ＞c b
C ．a c ＜b c
D ．
11
c c b a
--＜ 【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数单调性逐项判断即可 【详解】
对A,由正弦函数的单调性知sina 与sinb 大小不确定，故错误； 对B,因为y ＝c x 为增函数，且a ＞b ，所以c a ＞c b ，正确 对C,因为y ＝x c 为增函数,故c c a b > ，错误； 对D, 因为1c y x -=在()0,∞+为减函数，故
11
c c b a
--> ，错误 故选B ． 【点睛】
本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题． 2．已知函数()sin(2)4f x x π
=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4
g x x π
=+的图象，
则ϕ的最小值为（ ） A ．
4
π
B ．
38
π C ．
2
π D ．
58
π 【答案】A 【解析】 【分析】
首先求得平移后的函数()sin 224g x x πϕ⎛⎫
=+- ⎪⎝
⎭，再根据sin 22sin 244x x ππϕ⎛⎫⎛
⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭求ϕ的最小值. 【详解】
根据题意，()f x 的图象向左平移ϕ个单位后，所得图象对应的函数
()sin 2()sin(22)sin(2)444g x x x x πππϕϕ⎡
⎤=+-=+-=+⎢⎥⎣
⎦，
所以22,4
4
k k Z π
π
ϕπ-=+
∈，所以,4k k Z π
ϕπ=+
∈．又0ϕ>，所以ϕ的最小值为4
π
． 故选：A 【点睛】
本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.
3．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（ ） A ．3 B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B 【解析】 【分析】
通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数. 【详解】
“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示， 利用列举法，可得下表，
可知需要的次数为4次. 故选：B. 【点睛】
本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题.
4．已知实数,x y 满足,
10,1,x y x y y ≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥-⎩
则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．
32
C ．1
D ．0
【答案】B 【解析】 【分析】
作出可行域，平移目标直线即可求解. 【详解】 解：作出可行域：
由2z x y =+得，1122y x z =-
+ 由图形知，11
22
y x z =-+经过点时，其截距最大，此z 时最大
10y x x y =⎧⎨+-=⎩得12
12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当121
2x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时，max 1232222z =+⨯=
故选：B 【点睛】
考查线性规划，是基础题.
5．已知双曲线22214x y b
-=（0b >30x y ±=，则b =（ ）
A ．3
B 3
C 3
D ．43【答案】A 【解析】 【分析】
根据双曲线方程22
214x y b
-=（0b >）
30x y ±=得到3b a =. 【详解】
因为双曲线22
214x y b
-=（0b >）
， 所以2a =30x y ±=， 所以
32
b b
a ==， 所以
b =3
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
6．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()2
1f x x =-+，求()2020f =（ ）
A ．2
B ．0
C ．1-
D ．1
【答案】D 【解析】 【分析】
推导出函数()y f x =是以4为周期的周期函数，由此可得出()()20200f f =，代值计算即可. 【详解】
由于偶函数()y f x =的图象关于点()1,0对称，则()()f x f x -=，()()20f x f x ++-=，
()()()2f x f x f x ∴+=--=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，
所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，
由于当10x -≤≤时，()2
1f x x =-+，则()()()2020450501f f f =⨯==.
故选：D. 【点睛】
本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 7．复数21i
z i
=-（i 为虚数单位），则z 等于（ ）
A ．3
B ．
C ．2 D
【答案】D 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简z ，从而求得z ，然后直接利用复数模的公式求解. 【详解】
()()()
()21211111i i i z i i i i i i +=
==+=-+--+，
所以1z i =--，z =， 故选：D.
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.
8．已知13313
711
log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
【答案】D 【解析】 【详解】
分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c 的大小关系.
详解：由题意可知：3337392log log log <<，即12a <<，1
3111044⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=，即01b <<，
1
333
17
552
log log log =>，即c a >，综上可得：c a b >>.本题选择D 选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
9．已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C 2:4y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则|FA| =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
方法一：设(1,0)P -，利用抛物线的定义判断出B 是AP 的中点，结合等腰三角形的性质求得B 点的横坐标，根据抛物线的定义求得||FB ，进而求得FA .
方法二：设出,A B 两点的横坐标,A B x x ，由抛物线的定义，结合||2||FA FB =求得,A B x x 的关系式，联立直线()1y k x =+的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得A x ，进而求得FA . 【详解】
方法一：由题意得抛物线2
4y x =的准线方程为:1l x =-，直线(1)y k x =+恒过定点(1,0)P -，过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ，由||2||FA FB =，则||2||AM BN =，所以点B 为AP
的中点，又点O 是PF 的中点， 则1
||||2
OB AF =
，所以||||OB BF =，又||1OF = 所以由等腰三角形三线合一得点B 的横坐标为12
， 所以13
||122
FB =+
=，所以||2||3FA FB ==．
方法二：抛物线2
4y x =的准线方程为:1l x =-，直线(1)y k x =+ 由题意设,A B 两点横坐标分别为,(,)0A B A B x x x x >， 则由抛物线定义得||1,||1A B FA x FB x =+=+
又||2||,12(1)21A B A B FA FB x x x x =∴+=+⇒=+ ①
222224(24)01(1)
A B y x
k x k x k x x y k x ⎧=⇒+-+=⇒⋅=⎨
=+⎩ ② 由①②得2
20,2,||13A A A A x x x FA x --=∴==+=.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.
10．已知双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦
点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α
=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ）
A
．
1
2
B
．
1
2
C ．
32
D
1
【答案】B 【解析】 【分析】
由已知可求出焦点坐标为(1,0)(-1,0)，
,
可求得幂函数为()f x =设出切点通过导数求出切线方程的斜
率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率． 【详解】
依题意可得，抛物线2
4y x =的焦点为(1,0)F ，F 关于原点的对称点(1,0)-；24α=，1
2
α=
，所以12
()f x x ==
，()f x '=
，设0(Q x
0=01x =，∴ ()1,1Q ，可得22111a b -=，又1c =，222
c a b =+，
可解得a =
故双曲线的离心率是c
e a ===
. 故选B ． 【点睛】
本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.
11．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}
1B x x =≥，则()A B =R I ð A ．{}
01x x <≤ B ．{}
01x x <<
C ．{}
12x x ≤<
D ．{}
02x x <<
【答案】B 【解析】
分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<， 结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．当0a >时，函数()()
2
x
f x x ax e =-的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
由()0f x =，解得20x ax -=，即0x =或x a =，0,a >∴Q 函数()f x 有两个零点，,A C ∴，不正确，设1a =，则()()()()
2
2
,'1x
x
f x x x e f x x x e =-∴=+-，由()()
2
'10x
f x x x e =+->，解得
152x -+>
或152
x --<，由()()
2'10x
f x x e =-<，解得：151522x ---+-<<
，即1x =-是函数的一个极大值点，D ∴不成立，排除D ，故选B.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +
-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，6543214,1a a a a a a +=+--=，则1a 的值为________. 21 【解析】 【分析】
运用等比数列的通项公式，即可解得1a ． 【详解】
解：Q 65432141a a a a a a +=⎧⎨+--=⎩，∴53
1(1)4
(1)(1)1a q a q a q +=⎧⎨+-+=⎩，
3155
44
1a a a a ∴⨯
-⨯=，5314()a a a ∴=-，42440q q ∴-+=， 22(2)0q ∴-=，22q ∴=，2q ∴=，44q =， 54114a q a q ∴+=，1(21)1a ∴=，
12121
a ∴=
=-+．
故答案为：21-． 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题．
14．正四面体A BCD -的各个点在平面M 同侧，各点到平面M 的距离分别为1，2，3，4，则正四面体的棱长为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】
不妨设点A ，D ，C ，B 到面的距离分别为1，2，3，4，平面M 向下平移两个单位，与正四面体相交，过点D ，与AB ，AC 分别相交于点E ，F ，根据题意F 为中点，E 为AB 的三等分点（靠近点A ），设棱长为a ， 求得23
1362372
D AEF V a a a -=
⨯⨯=，再用余弦定理求得：,EF DE ,cos DF EDF ∠，从而求得2
117355sin 2221EDF S DE DF EDF a a a =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=V ，
再根据顶点A 到面EDF 的距离为1，得到22
11551133A EDF EDF V S a a -=⨯⨯=⨯
⨯=V ，然后利用等体积法D AEF A DEF V V --=求解， 【详解】
不妨设点A ，D ，C ，B 到面的距离分别为1，2，3，4，
平面M 向下平移两个单位，与正四面体相交，过点D ，与AB ，AC 分别相交于点E ，F ，如图所示：
由题意得：F 为中点，E 为AB 的三等分点（靠近点A ）， 设棱长为a ， 2
13sin 60223AEF a a S =
⨯⨯⨯=o V ，
顶点D 到面ABC 的距离为2
236
3d a a a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
所以23
1362372
D AEF V a a a -=
⨯⨯=， 由余弦定理得：
22222222111171172cos60,2cos60,492336939
EF a a a a a DE a a a a a =
+-⨯⨯⨯==+-⨯⨯⨯=o o 2222
2221132cos 60,cos 424221
DE DF EF DF a a a a a EDF DE DF +-=+-⨯⨯⨯=∠==⋅⋅o
，
所以5sin 21EDF ∠=
，所以2
117355sin 2221EDF S DE DF EDF a a a =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=V ，
又顶点A 到面EDF 的距离为1， 所以22
115511331236
A EDF EDF V S a a -=
⨯⨯=⨯⨯=V ， 因为D AEF A DEF V V --=，
所以
32
257236
a a =， 解得10a =， 故答案为：10 【点睛】
本题主要考查几何体的切割问题以及等体积法的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象，运算求解的能力，属于难题，
15．执行右边的程序框图，输出的T 的值为 .
【答案】
11
6
初始条件1,1,3n T n ==<成立方 ；
运行第一次：1
013
11,2,322
T xdx n n =+=+
==<⎰
成立； 运行第二次：1
2
033111,3,32236
T x dx n n =+=+==<⎰不成立；
输出T 的值：
11
.6结束 所以答案应填：11
.6
考点：1、程序框图；2、定积分.
16．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示：
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为______. 【答案】32 【解析】 【分析】
由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量. 【详解】
由题可知，抽取的比例为81
405=，被调查的总人数为40103080=160+++人， 则分层抽样的样本容量是1
160325
⨯=人.
故答案为：32
【点睛】
本题考查分层抽样中求样本容量，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设函数f （x ）＝|x ﹣a|+|x 2
a
+|（a ＞0）． （1）若不等式f （x ）﹣| x 2
a
+
|≥4x 的解集为{x|x≤1}，求实数a 的值； （2）证明：f （x ）≥ 【答案】（1）a ＝1；（2）见解析
【分析】
（1）由题意可得|x ﹣a|≥4x ，分类讨论去掉绝对值，分别求得x 的范围即可求出a 的值．（2）由条件利用绝对值三角不等式，基本不等式证得f （x ）
．． 【详解】
（1）由f （x ）﹣|x 2
a
+
|≥4x ，可得|x ﹣a|≥4x ，（a ＞0）， 当x≥a 时，x ﹣a≥4x ，解得x 3
a
≤-，
这与x≥a ＞0矛盾，故不成立， 当x ＜a 时，a ﹣x≥4x ，解得x 5
a ≤， 又不等式的解集是{x|x≤1}，故
5a
=1，解得a ＝1． （2）证明：f （x ）＝|x ﹣a|+|x 2a +|≥ |x ﹣a ﹣（x 2a +）|＝|a 2
a
+|，∵a ＞0，
∴| a 2a +
|＝a 2a +≥
=
，当且仅当
a =
故f （x
）≥ 【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式，基本不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．
18．已知()1f x x x a =-++()a R ∈. （Ⅰ） 若1a =，求不等式()4f x >的解集； （Ⅱ）(0,1)m ∀∈，0x R ∃∈，
014
()1f x m m
+>-，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）(,2)(2,)-∞-+∞U ；（Ⅱ）(10,8)-. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用零点分段讨论法把函数()f x 改写成分段函数的形式,分1,11,1x x x ≥-<<≤-三种情况分别解不等式,然后取并集即可；
（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值,利用均值不等式求出
14
1m m
+-的最小值,结合题意,只需()min
min
1
41f x m m ⎛⎫<+ ⎪-⎝⎭即可,解不等式即可求解. 【详解】
（Ⅰ）当1a =时，2,1()112,112,1x x f x x x x x x ≥⎧⎪
=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩
，
1()424x f x x ≥⎧>⇔⎨>⎩，或1124x -<<⎧⎨>⎩，或1
24x x ≤-⎧⎨
->⎩
2x ⇔>，或2x <-
所以不等式()4f x >的解集为(,2)(2,)-∞-+∞U ； （Ⅱ）因为()1()(1)1f x x x a x a x a =-++≥+--=+
(0,1)m ∀∈，又
[]1414
()(1)11m m m m m m
+=++--- 4151m m m m
-=++-
59≥+=（当13m =时等号成立）
， 依题意，(0,1)m ∀∈，0x R ∃∈，有014
()1f x m m
+>-， 则19a +<，解之得108a -<<， 故实数a 的取值范围是(10,8)-. 【点睛】
本题考查由存在性问题求参数的范围、零点分段讨论法解绝对值不等式、利用绝对值三角不等式和均值不等式求最值；考查运算求解能力、分类讨论思想、逻辑推理能力；属于中档题.
19．已知圆22
:4O x y +=,定点(1,0)A ,P 为平面内一动点，以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P
的轨迹为曲线C （1）求曲线C 的方程
（2
）过点Q 的直线l 与C 交于,E F 两点，已知点(2,0)D ，直线0x x =分别与直线,DE DF 交于
,S T 两点，线段ST 的中点M 是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由.
【答案】（1）22143
x y +=；
（2
20y +-=. 【解析】 【分析】
（1）设以AP 为直径的圆心为B ，切点为N ，取A 关于y 轴的对称点A '，连接A P '，计算得到
4A P AP '+=，故轨迹为椭圆，计算得到答案.
（2
）设直线的方程为(2)x ty =+-，设112200(,),(,),(,)E x y F x y M x y ，联立方程得到
101(2)2s y y x x =
--，2
02(2)2T y y x x =--
，计算
0022
y x =-，得到答案. 【详解】
（1）设以AP 为直径的圆心为B ，切点为N ，则2,2OB BA OB BA =-+=， 取A 关于y 轴的对称点A '，连接A P '，故2()42A P AP OB BA '+=+=>， 所以点P 的轨迹是以,A A '为焦点，长轴为4的椭圆，其中2,1a c ==，
曲线方程为22
143
x y +=.
（2
）设直线的方程为(2)x ty =+-，设112200(,),(,),(,)E x y F x y M x y ， 直线DE 的方程为11011(2),(2)22s y y y x y x x x =
-=---，同理2
02(2)2
T y y x x =--， 所以12
000122(2)(2)12
s T y y y y y x x x x =+=
-+---，
即
0120122222y y y x x x =+=---，
联立2222
2
2
(2),(34)(12)9034120x ty t y t y t x y ⎧=+⎪∴++-+-=⎨+-=⎪⎩，
所以1212y y y y =+=，
代入得00222y x =-
0020y =+-=，
所以点M
20y +-=上.
【点睛】
本题考查了轨迹方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 20．已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足(
)*
21N n n S a n +=∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）已知数列{}n b 中，113b a =，11n n b b +=+()
*
N n ∈，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .
【答案】（1）()*1N 3n
n a n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭
；（2）()
()
2*1111N 223n
n T n n n ⎛⎫=++-⋅∈ ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】
（1）当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-可得()11
23
n n a n a -=≥，故可利用等比数列的通项公式求出{}n a 的通项.
（2）利用分组求和法可求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【详解】
（1）当1n =时，1121S a +=，所以113
a =， 当2n ≥时，21n n S a +=，①
1121n n S a --+=，②
所以()1120n n n n S S a a ---+-=，
即13n n a a -=，又因为1103
=≠a ，故0n a ≠，所以
()11
23n n a n a -=≥， 所以{}n a 是首项11
3a =
，公比为13
的等比数列， 故()
1
*111N 333n n
n a n -⎛⎫
⎛⎫
=⨯=∈ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
. （2）由11n n b b +=+得：数列{}n b 为等差数列，公差1d =，
11
313
b =⨯=，()111n b n n =+-⨯=，
()()()1122n n n T a b a b a b =++++⋅⋅⋅++
()()1212n n a a a b b b =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+
()12n S n =+++⋅⋅⋅+ ()1113
22
n
n n ⎛⎫- ⎪
+⎝⎭=+
()
()
2*1111N 223n
n n n ⎛⎫
=++-⋅∈ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查数列的通项与求和，注意数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 21．已知等差数列
和等比数列
满足：
(I)求数列
和
的通项公式；
(II)求数列的前项和.
【答案】 (I) ，；(II)
【解析】 【分析】
(I)直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案. (II)
，利用裂项相消法计算得到答案.
【详解】 (I)
，故
，
解得，故，.
(II)
，故
.
【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
22．已知q ，n 均为给定的大于1的自然数，设集合{1,2,3,,}M q =…，1
12{|,n n T x x x x q x q -==+++…
,1,2,}i x M i n ∈=…．
（Ⅰ）当2q =，2n =时，用列举法表示集合T ；
（Ⅱ）当200q =时，{}12100,,,A a a a M =…Ü，且集合A 满足下列条件： ①对任意1100i j ≤<≤，201i j a a +≠；
②
100
1
12020i
i a
==∑．
证明：（ⅰ）若i a A ∀∈，则201i a A -∈（集合A 为集合A 在集合M 中的补集）； （ⅱ）
100
2
1
i
i a
=∑为一个定值（不必求出此定值）；
（Ⅲ）设,s t T ∈，21123n n s b b q b q b q -=++++…，1
12n n t c c q c q -=+++…，其中,i i b c M ∈，
1,2,,i n =⋯，若n n b c <，则s t <．
【答案】（Ⅰ）{}3,4,5,6T =；（Ⅱ）（ⅰ）详见解析．（ⅱ）详见解析.（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）当2q =，2n =时，{1M =，2}，12{|2T x x x x ===+，i x M ∈，1i =，2}．即可得出T ．
（Ⅱ）（i ）当200q =时，{1M =，2，3，⋯，200}，又1{A a =，2a ，⋯，100}a M Ü，i
a A ∀∈，201i a M -∈，必然有201i a A -∈，否则得出矛盾．
（ii ）由22
(201)40240401i
i i a a a --=-．可得100100100
22
1
1
1
(201)4024040100i
i i i i i a a a ===--=-∑∑∑．又
100100
22
222
1
1
(201)
12200i
i
i i a a ==+-=++⋯⋯+∑∑，即可得出
100
21
i
i a
=∑为定值．
（iii ）由设s ，t A ∈，112n n s a a q a q -=++⋯+，112n n t b b q b q -=++⋯+，其中i a ，i b M ∈，1i =，2，⋯，
n ．n n a b <，可得
2121112211()()()()(1)(1)(1)n n n n n n n n s t a b a b q a b q a b q q q q q q q -------=-+-+⋯+-+--+-+⋯+--…，通过求和
即可证明结论． 【详解】
（Ⅰ）解：当2q =，2n =时，{}1,2M =，12{|2T x x x x ==+，i x M ∈，1i =，2}．
{}3,4,5,6T =．
（Ⅱ）证明：（i ）当200q =时，{1M =，2，3，⋯，200}， 又1{A a =，2a ，⋯，100}a M Ü，i a A ∀∈，201i a M -∈，
必然有201i a A -∈，否则201i a A -∈，而(201)201i i a a +-=，与已知对任意1100i j <剟
，201i j a a +≠矛盾．
因此有201i a A -∈．
（ii ）22(201)40240401i i i a a a --=-Q ．
∴100100100
2
2
1
1
1
(201)4024040100791940i
i i i i i a a a ===--=-=∑∑∑．
100100
22
2221
1
200201(4001)
(201)
122006
i
i
i i a a ==⨯⨯++-=++⋯⋯+=
∑∑，
∴100
21
1200201(4001)
(
791940)26
i i a =⨯⨯+=+∑为定值．
（iii ）由设s ，t A ∈，112n n s a a q a q -=++⋯+，112n n t b b q b q -=++⋯+，其中i a ，i b M ∈，1i =，2，⋯，
n ．n n a b <，
21112211()()()()n n n n n n s t a b a b q a b q a b q ----∴-=-+-+⋯+-+- 21(1)(1)(1)n n q q q q q q ---+-+⋯+--… 21(1)(1)n n q q q q --=-++⋯+- 1
11(1)1n n q q q q
---=---
10=-<．
s t ∴<．
【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 23．为了解网络外卖的发展情况，某调查机构从全国各城市中抽取了100个相同等级地城市，分别调查了甲乙两家网络外卖平台（以下简称外卖甲、外卖乙）在今年3月的订单情况，得到外卖甲该月订单的频率分布直方图，外卖乙该月订单的频数分布表，如下图表所示.
订单：（单位：万件） [)3,5
[)5,7
[)7,9
[)9,11
频数
1
2
2
3
订单：（单位：万件） [)11,13
[)13,15
[)15,17
[)17,19
[)19,21
频数
40
20
20
10
2
（1）现规定，月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”，填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关. 业绩突出城市 业绩不突出城市 总计 外卖甲 外卖乙 总计
（2）由频率分布直方图可以认为，外卖甲今年3月在全国各城市的订单数Z （单位：万件）近似地服从
正态分布2
(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x （同一组数据用该区间的中点值作代表），σ的值已求出，
约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：
①从全国各城市中随机抽取6个城市，记X 为外卖甲在今年3月订单数位于区间(4.88,15.8)的城市个数，求X 的数学期望；
②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国各月订单数不超过7万件的
城市中采用分层抽样的方法选出100个城市不开展营销活动，若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖平均需送出红包2元，则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元？
附：①参考公式：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
参考数据：
②若2(,)Z N μσ-，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=. 【答案】（1）见解析，有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.（2）①4.911②100万元. 【解析】 【分析】
（1）根据频率分布直方图与频率分布表，易得两个外卖平台中月订单不低于13万件的城市数量，即可完善列联表.通过计算2K 的观测值，即可结合临界值作出判断.
（2）①先根据所给数据求得样本平均值x ，根据所给今年3月订单数区间，并由x 及σ求得
2 4.88μσ-=，15.8μσ+=.结合正态分布曲线性质可求得(4.8815.8)P Z <<，再由二项分布的数学
期望求法求解.②订单数低于7万件的城市有[)3,5和[
)5,7两组，根据分层抽样的性质可确定各组抽取样本数.分别计算出开展营销活动与不开展营销活动的利润，比较即可得解. 【详解】
（1）对于外卖甲：月订单不低于13万件的城市数量为()1000.10.050.040.01240⨯+++⨯=， 对于外卖乙：月订单不低于13万件的城市数量为202010252+++=. 由以上数据完善列联表如下图，
且2K
的观测值为
2
200(40486052) 2.899 2.70610010092108
k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
∴有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.
（2）①样本平均数
40.0460.0680.10100.10120.30140.20160.10180.08200.0212.16x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=212.162 3.64 4.88μσ∴-=-⨯=，
12.16 3.6415.8μσ+=+=
故(4.8815.8)(2)P Z P Z μσμσ<<=-<<+ =
11(22)()22
P Z P Z μσμσμσμσ-<≤++-<≤+ =1(0.68260.9544)0.81852+=， ~(6,0.8185)X B ∴，
X 的数学期望()60.8185 4.911E x =⨯=，
②由分层抽样知，则100个城市中每月订单数在区间[)35，内的有2100405⨯=（个）， 每月订单数在区间[]67，内的有3100605
⨯=（个）， 若不开展营销活动，则一个月的利润为404560652600⨯⨯+⨯⨯=（万元），
若开展营销活动，则一个月的利润为()1009522700⨯⨯-=（万元），
这100个城市中开展营销活动比不开展每月多盈利100万元.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图与频率分布表的应用，完善列联表并计算2K 的观测值作出判断，分层抽样的简单应用，综合性强，属于中档题.。