高考数学(文)一轮复习 6-4a基本不等式模拟演练·提能增分

a2·6a42 ＝16，
当且仅当 a＝2 2时等号成立．
所以当 a＝2 2，b＝ 2时，a2＋ba1－6 b取得最小值 16.
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高考一轮总复习 ·数学（文）
14．已知 lg (3x)＋lg y＝lg (x＋y＋1)． (1)求 xy 的最小值； (2)求 x＋y 的最小值． 解 由 lg (3x)＋lg y＝lg (x＋y＋1)，
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6．[2017·广州模拟]已知实数 x，y 满足 x2＋y2－xy＝1， 则 x＋y 的最大值为____2____．
解析 因为 x2＋y2－xy＝1， 所以 x2＋y2＝1＋xy. 所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×x＋2 y2， 即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2. 当且仅当 x＝y＝1 时等号成立， 所以 x＋y 的最大值为 2.
由基本不等式可得(2x＋2)＋(1－2x)≥2 2x＋21－2x
( 当且仅当
2x＋ 2＝ 1－ 2x， 即
x
＝
－
1 4
时
等
号
成
立
)
，
即
2x＋21－2x≤32.
所以 f(x)＝ 212x＋21－2x≤ 21×32＝342.
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9．已知 x>0，y>0，且 2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x＋y 的最小值．
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10．[2016·郑州模拟]若 a>0，b>0，且1a＋1b＝ ab. (1)求 a3＋b3 的最小值； (2)是否存在 a，b，使得 2a＋3b＝6？并说明理由． 解 (1)因为 a>0，b>0，且1a＋1b＝ ab，
所以 ab＝1a＋1b≥2 a1b，所以 ab≥2， 当且仅当 a＝b＝ 2时取等号． 因为 a3＋b3≥2 ab3≥2 23＝4 2， 当且仅当 a＝b＝ 2时取等号， 所以 a3＋b3 的最小值为 4 2.
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12．设 a>0，b>1，若 a＋b＝2，则2a＋b－1 1的最小值为
() A．3＋2 2
B．6 C．4 2 D．2 2
解析 由题可知 a＋b＝2，a＋b－1＝1，∴2a＋b－1 1＝
2a＋b－1 1(a＋b－1)＝2＋2b－a 1＋b－a 1＋1≥3＋2 2，当且 仅当2b－a 1＝b－a 1，即 a＝2－ 2，b＝ 2时等号成立，故
2高考一轮总复习 ·数学（）2．[2015·湖南高考]若实数 a，b 满足1a＋2b＝ ab，则 ab 的最小值为( )
A. 2 B．2 C．2 2 D．4
解析 由 ab≥2 取“＝”，选 C.
a2b，得 ab≥2 2，当且仅当1a＝2b时
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3．已知 a>0，b>0,2a＋b＝1，则2a＋1b的最小值是( ) A．4 B.92 C．8 D．9
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(2)由(1)可知，2a＋3b≥2 2a·3b ＝2 6ab≥4 3>6， 故不存在 a，b，使得 2a＋3b＝6 成立．
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[B 级 知能提升](时间：20 分钟) 11．[2017·安庆模拟]设实数 m，n 满足 m>0，n<0，且m1 ＋1n＝1，则 4m＋n( ) A．有最小值 9 B．有最大值 9 C．有最大值 1 D．有最小值 1
x>0，
得y>0， 3xy＝x＋y＋1.
(1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2 xy＋1， ∴3xy－2 xy－1≥0，
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即 3( xy)2－2 xy－1≥0， ∴(3 xy＋1)( xy－1)≥0， ∴ xy≥1，∴xy≥1， 当且仅当 x＝y＝1 时，等号成立． ∴xy 的最小值为 1.
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板块四 模拟演练·提能增分
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[A 级 基础达标](时间：40 分钟)
1．已知 x，y∈R＋，则“xy＝1”是“x＋y≥2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 若 xy＝1，由基本不等式，知 x＋y≥2 xy＝2； 反之，取 x＝3，y＝1，则满足 x＋y≥2，但 xy＝3≠1，所以 “xy＝1”是“x＋y≥2”的充分不必要条件．故选 A.
C．2 3
D．2
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解析 ∵x>1，∴x－1>0. ∴y＝xx2－＋12＝x2－2xx－＋12x＋2＝ x2－2x＋1x＋－21x－1＋3＝x－12＋x－21x－1＋3＝ x－1＋x－3 1＋2≥2 x－1x－3 1＋2＝2 3＋2. 当且仅当 x－1＝x－3 1，即 x＝1＋ 3时取等号．
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8 ． 函 数 f(x) ＝
x＋11－2x
(
－
1<x<
1 2
)
的
最
大
值
为
32
___4_____．
解析 f(x)＝ x＋11－2x＝ 212x＋21－2x， 因为－1<x<12，所以 2x＋2>0,1－2x>0，且(2x＋2)＋(1 －2x)＝3.
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解析 因为m1 ＋1n＝1，所以 4m＋n＝(4m＋n)( m1 ＋1n )＝5 ＋4nm＋mn ，又 m>0，n<0，所以－4nm－mn ≥4，当且仅当 n＝ －2m 时取等号，故 5＋4nm＋mn ≤5－4＝1，当且仅当 m＝12， n＝－1 时取等号，故选 C.
选 A.
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13．已知 a>b>0，则 a2＋ba1－6 b的最小值是____1_6___． 解析 因为 a>b>0，所以 b(a－b)≤b＋2a－b2＝a42，当 且仅当 a＝2b 时等号成立．
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所以 a2＋ba1－6 b≥a2＋1a62＝a2＋6a42≥2 4
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7．函数 y＝2x＋x－1 1(x>1)的最小值为__2__2_＋__2_．
解析 因为 y＝2x＋x－1 1(x>1)，
所以
y
＝
2x
＋
1 x－1
＝
2(x
－
1)
＋
1 x－1
＋
2≥2
＋
2 2x－1x－1 1＝2 2＋2.
当且仅当 x＝1＋ 22时取等号，
故函数 y＝2x＋x－1 1(x>1)的最小值为 2 2＋2.
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(2)∵x>0，y>0， ∴x＋y＋1＝3xy≤3·x＋2 y2， ∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0， ∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0， ∴x＋y≥2，当且仅当 x＝y＝1 时取等号， ∴x＋y 的最小值为 2.
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解 (1)由 2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝1，
又 x>0，y>0，则 1＝8x＋2y≥2
8x·2y＝
8， xy
得 xy≥64，当且仅当 x＝16，y＝4 时，等号成立．
所以 xy 的最小值为 64.
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(2)由 2x＋8y－xy＝0，得8x＋2y＝1， 则 x＋y＝8x＋2y·(x＋y)＝10＋2yx＋8xy ≥10＋2 2yx·8xy＝18. 当且仅当 x＝12 且 y＝6 时等号成立， ∴x＋y 的最小值为 18.
解析 ∵2a＋b＝1，又 a>0，b>0，
∴2a＋
1 b
＝2a＋b1
·(2a＋
b)＝
5
＋2ab
＋2ba
≥5＋
2
2ab×2ba
＝9，当且仅当2ab＝2ba，2a＋b＝1， 即 a＝b＝13时等号成
立．故选 D.
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4．函数 y＝xx2－＋12(x>1)的最小值是(
)
A．2 3＋2 B．2 3－2
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5．[2017·浙江考试院抽测]若正数 x，y 满足 x2＋3xy－1
＝0，则 x＋y 的最小值是( )
2 22
3 23
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
解析 对于 x2＋3xy－1＝0 可得 y＝131x－x，∴x＋y＝23x ＋31x≥2 29＝232(当且仅当 x＝ 22时等号成立)．