2022-2023学年山东省泰安市泰安高一年级上册学期12月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省泰安市泰安第二中学高一上学期12月月考数学试题
一、单选题
1．命题“()0,x ∀∈+∞，()ln 3sin x x +>”的否定为（ ） A ．()0x ∀∉+∞，
，()ln 3sin x x +≤ B ．()0x ∃∉+∞，
，()ln 3sin x x +≤ C ．()0x ∞∃∈+，
，()ln 3sin x x +≤ D ．()0x ∀∉+∞，
，()ln 3sin x x +≤ 【答案】C
【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案.
【详解】根据题意，命题“()0,x ∀∈+∞，()ln 3sin x x +>”是全称命题，其否定为：()0,x ∃∈+∞，
()ln 3sin x x +≤.
故选：C.
2．若集合|
A x y ⎧=⎨⎩
，{}
2
|560B x N x x =∈--<，则A B ⋂中元素的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】根据题意，分别求得集合{|2}A x x =<，{0,1,2,3,4,5}B =，根据集合的交集运算，求得A B ⋂，
即可求解.
【详解】由集合{|{|2}
A x y x x ==
=<，{}2|560{0,1,2,3,4,5}B x N x x =∈--<=， 所以{0,1}A B =，所以A B ⋂中元素的个数为2个. 故选：C.
3．函数2log 1y x =-与22x y -=的图象交点为00(,)x y ，则0x 所在区间是（ ）． A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)
【答案】C
【详解】令函数22()log 12x
f x x -=--，2223
(2)1,(3)log 3log 3log 02
f f =-=-
=->，由于(2)(3)0<f f ，所以区间(2,3)必有零点．
4．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的 A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.
【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
5．函数()()
2
ln 6f x x x -=-的单调递增区间是（ ）
A ．(),2-∞-
B ．1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．()3,+∞
【答案】D
【分析】由对数式的真数大于0求得原函数的定义域，再求出内层函数二次函数的增区间，则答案可求.
【详解】由260x x -->，得<2x -或3x >， 则原函数的定义域为{|2x x <-或}3x >， 令26t x x =--，其对称轴方程为1
2
x =
，该函数在()3,+∞上单调递增， 又函数ln y t =是定义域内的增函数，
∴函数()()
2
ln 6f x x x -=-的单调递增区间是()3,+∞.
故选：D.
6．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A ．21600cm
B ．23200cm
C ．23350cm
D ．24800cm
【答案】D
【分析】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解
【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为1r ，2r ，相同的圆心角为θ，则12
16080
r r θ==，得122r r =，又因为1240r r -=，所以180r =，240r =，
该扇形玉雕壁画面积
121111
1608016080804048002222S r r =⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯=（2cm ）．
故选：D ．
7．已知命题“x ∃∈R ，使2(2)(2)10m x m x -+-+≤”是假命题，则实数m 的取值范围为（ ） A ．6m > B ．26m << C ．26m ≤< D ．2m ≤
【答案】C
【分析】由特称命题的否定转化为恒成立问题后列式求解， 【详解】由题意可知2,(2)(2)10x m x m x ∀∈-+-+>R 恒成立． ①当20m -=时，10>恒成立；
②当20m -≠时，(
)()2
202420m m m ->⎧⎪⎨---<⎪⎩，解得26m <<． 综上：26m ≤<． 故选：C
8．已知幂函数()()()222R a f x a a x a =--∈在(0,)+∞上单调递增，不等式()2
(5)3f x f x x +<-的解
集为（ ）
A ．(,5)(1,)-∞-+∞
B ．(,1)(5,)-∞-+∞
C ．(1,5)-
D ．(5,1)-
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义及性质求出a 的值，然后判断函数的单调性，利用单调性即可求解不等式的解集.
【详解】解：因为函数()2()22()a
f x a a x a R =--∈为幂函数，所以2221a a --=，解得3a =或1a =-，
又幂函数()()()222R a
f x a a x a =--∈在(0,)+∞上单调递增，
所以3a =，此时3()f x x =在R 上单调递增，
因为()2
(5)3f x f x x +<-，所以253x x x +<-，解得5x >或1x <-，
所以不等式()2
(5)3f x f x x +<-的解集为(,1)(5,)-∞-+∞，
故选：B.
二、多选题
9．若,,a b c ∈R ，且a b >，在下列不等式一定成立的是（ ） A ．a c b c +>+ B ．22ac bc ≥ C ．2
0c a b
>+
D ．()()0a b a b +->
【答案】AB
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解. 【详解】对于A ，∵a b >，c c =，∴a c b c +>+，故A 正确， 对于B ，2c ≥0，a b >，∴22ac bc >，故B 正确，
对于C ，令0c ，则2
0c a b =-，故C 错误，
对于D ，令1a =，1b ，满足a b >，但()()0a b a b +-=，故D 错误.
故选：AB.
10．关于函数()f x = ）
A ．()f x 的定义域为[)(]1,00,1-
B ．()f x 有3个零点
C ．()f x 在定义域上是增函数
D ．()f x 是定义域上的奇函数 【答案】AD
【分析】根据分式和偶次根式定义域的基本要求可知A 正确；令()0f x =，结合定义域可知B 错误；利用反例可知C 错误；求得分段函数()f x 解析式后，根据奇函数定义可知D 正确.
【详解】对于A ，由240110x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩得：2
01
11x x ⎧≤≤⎪⎨-≠⎪⎩
，解得：10x -≤<或01x <≤，
f x 定义域为[)(]1,00,1-，A 正确；
对于B ，由()0f x =
得：0
110x =--≠⎪⎩，解得：1x =或=1x -，
f x 有1x =和=1x -两个零点，B 错误；
对于C ，
()f x 定义域为[)
(]1,00,1-，(
)f x ∴=
12
f ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭12f ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
1122f f ⎛⎫⎛⎫
∴->
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，不满足增函数定义，C 错误；
对于D ，由题意得：()101
x f x x -≤<=<≤⎪⎩；
当10x -≤<时，01x <-≤，()()f x f x -==-， f x 为奇函数，D 正确.
故选：AD.
11．下列命题错误的是（ ）
A ．命题“1x ∀<，都有21x <”的否定是“1x ∃≥，使得21x ≥”
B ．函数2()2x f x x =-的零点有2个
C ．用二分法求函数()ln 26f x x x =+-在区间()2,3内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1
D ．函数2()ln(1)f x x x =+-在()0,∞+上只有一个零点，且该零点在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
上 【答案】ABC
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断A ；求出函数的零点结合零点的存在性定理即可判断B ；根据二分法的定义即可判断C ；根据零点的存在性定理即可判断D. 【详解】解：对于A ，命题“1x ∀<，都有21x <”的否定是“1x ∃<，使得21x ≥”，故A 错误； 对于B ，2x =或4x =时，2()20x f x x =-=， 因为22,x y y x ==-在(),0∞-上都是增函数， 所以函数2()2x f x x =-在(),0∞-上是增函数，
又因为()()110,0102f f -=-<=>，所以函数()f x 在1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，故B 错误；
对于C ，开区间()2,3的长度等于1，没经过一次操作长度变为原来的一半，
则经过()*
N n n ∈次操作之后，区间的长度变为
12n
， 故有
1
0.12
n ≤，则210n ≥，所以4n ≥， 所以至少经过4次二分后精确度达到0.1，故C 错误；
对于D ，因为函数2
ln(1),y x y x =+=-在()0,∞+上都是增函数，
所以函数2
()ln(1)f x x x
=+-
在()0,∞+上是增函数， 又()13ln 40,2ln 31022f f ⎛⎫
=-<=-> ⎪⎝⎭
，
所以函数()f x 在()0,∞+上只有一个零点，且该零点在区间1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
上，故D 正确.
故选：ABC.
12．已知函数()()sin 21,00,0cos 21,02x x f x x x x π⎧
⎪+<⎪⎪
==⎨⎪⎛⎫⎪-->
⎪⎪⎝⎭⎩，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 是周期函数
B ．()f x 是奇函数
C ．()f x 的图象关于直线4
x π
=对称
D ．()f x 在1
4
2
x π
=
+
处取得最大值 【答案】BD
【分析】首先化简函数()()()sin 21,00,0sin 21,0x x f x x x x ⎧+<⎪
==⎨⎪->⎩
，再根据函数周期的定义，判断A ，利用函数奇偶性
的定义，判断B ；利用对称性的特征，举反例，判断C ；代入验证D. 【详解】()()()sin 21,00,0sin 21,0x x f x x x x ⎧+<⎪
==⎨⎪->⎩
，
A.()sin 21y x =+的最小周期是π，()sin 21y x =-的最小正周期是π，但()00f =，()()0f f π≠，所以函数不是周期函数，故A 错误；
B.设0x <，0x ->，()()()()sin 21sin 21f x x x f x -=--=-+=-，
当0x >时，同理可得()()f x f x -=-，且()00f =，所以函数时奇函数，故B 正确；
C.()00f =，()sin 1sin12f ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()02f f π⎛⎫
≠ ⎪⎝⎭
，所以函数的图象不关于直线4x π=对称，故C
错误；
D. 1
4
2x π
=
+
时，1sin 1422f ππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭
，所以函数取得最大值，故D 正确. 故选：BD
三、填空题 13．计算：1417sin cos tan 336
ππ
π+-=___________. 【答案】0
【分析】根据三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】141725sin
cos tan 3sin 4cos 2tan 03636πππππππ⎛
⎫⎛
⎫
+-=+++- ⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭
25sin
cos 0036ππ⎛=+-== ⎝⎭
故答案为：0
14．已知命题“x ∀∈R ，220x x m -+>”为假命题，则实数m 的取值范围为______． 【答案】1m
【分析】根据命题的否定与原命题真假性相反，即可得到x ∃∈R ，220x x m -+≤为真命题，则0∆≥，从而求出参数的取值范围；
【详解】解：因为命题“x ∀∈R ，220x x m -+>”为假命题，所以命题“x ∃∈R ，220x x m -+≤”为真命题，所以()2
240m ∆=--≥，解得1m ； 故答案为：1m
15．已知函数2()log )f x x =，若对任意的正数,a b ，满足()(31)f a f b +-0=，则31
a b +的最
小值为_________. 【答案】12
【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根()(31)0f a f b +-=得31a b +=，最后根据基本不等式求最值.
0x >恒成立，所以函数()f x 的定义域为R ， ()
2
log f x =())
2
log f x x -=，
所以()()f x f x =--，()f x 为奇函数，
又2()log )f x x =在(,0)-∞单调递减， 所以()f x 在(0,)+∞单调递减，()f x 在0x =出连续，
2()log )f x x =在(,0)-∞单调递减，
所以()f x 在R 上单调递减，
()()310f a f b +-=，()()13f a f b ∴=-，
13a b ∴=-，即31a b +=，
所以()3131936b a
a b a b a b a b
⎛⎫+=++=
++ ⎪⎝⎭
66612≥=+= ， 当且仅当9b a a b =，即12a =，1
6b =时，等号成立，
所以31
a b +的最小值为12.
故答案为：12
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
四、双空题
16．若函数()()log 12a f x x =++（0a >且1a ≠）,图象恒过定点(),P m n ,则m n +=_____；函数
()2
x
nx
g x e +=的单调递增区间为____________．
【答案】 2 (1,)-+∞
【分析】根据对数的运算性质可以直接求出点(),P m n 的坐标,这样可以计算出m n +的值；再根据复合函数的单调性的性质可以求出函数()2
x
nx
g x e +=的单调递增区间.
【详解】由函数()()log 12a f x x =++（0a >且1a ≠）的解析式可知：当0x =时, 2y =,因此有 0,22m n m n ==⇒+=；因此()2
2
2
22(1)
1
x
x
x
x
x g x e e e +++-===,由复合函数的单调性的性质可知：函数
()2
x
nx
g x e +=的单调递增区间为：(1,)-+∞.
故答案为2；(1,)-+∞
【点睛】本题考查了对数型函数过定点问题,考查了复合函数的单调性问题,掌握对数的运算特性是解题的关键.
五、解答题 17．计算下列各式.
(1)0
16
0.253
71.586-⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭
(2)()2
22lg5lg8lg5lg 20lg 23
++⋅+.
【答案】(1)110 (2)3
【分析】（1）利用指数幂的运算法则进行求解； （2）利用对数的运算法则进行求解.
【详解】（1）原式=11313
3
2344
2222232427210811033⎛⎫⎛⎫+⋅+⨯-=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
（2）原式()()23
2lg5lg 2lg5lg52lg 2lg 23
2=++⋅++
()()22
2lg52lg 22lg5lg 2lg5lg 2=++++ ()()2
2lg5lg 2lg5lg 2213=+++=+=.
18．设全集U =R ，函数()()lg 3f x a x +-的定义域为集合A ，集合1|2324x
B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭
，
命题p ：若______时，则A B φ⋂≠，从①5a =-，②3a =-，③2a =这三个条件中选择一个条件补充到上面命题p 中，使命题p 为真，说明理由；并求()U A C B ⋂. 【答案】3a =-；(){}32U A C B x x ⋂=-≤<-
【解析】求出定义域集合{}3A x a x a =≤<+，集合{}|25B x x =-≤≤，取a 值使A B φ⋂≠，然后利用集合的交补运算即可求解.
【详解】根据题意可得0
30x a a x -≥⎧⎨+->⎩
，解不等式可得3a x a ≤<+，
所以{}3A x a x a =≤<+，
{}1|232254x B x x x ⎧⎫
=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭
，
当5a =-时，{}{}352A x a x a x x =≤<+=-≤<-，此时A B φ=， 即命题p 为假，故不取；
当3a =-时，{}{}330A x a x a x x =≤<+=-≤<，此时{}20A B x x ⋂=-≤<≠∅， 即命题p 为真，
{2U C B x x =<-或}5x >，所以(){}32U A C B x x ⋂=-≤<-，
当2a =时，{}{}325A x a x a x x =≤<+=≤<，此时{}25A B x x ⋂=≤<≠∅， 即命题p 为真，
{2U C B x x =<-或}5x >，所以()U A C B ⋂=∅， 综上所述，可选3a =-，(){}32U A C B x x ⋂=-≤<-
【点睛】本题考查了对数型复合函数的定义域、指数函数单调性解不等式、命题的真假以及集合的交补运算，属于基础题.
19．已知关于x
的方程)
2
210x x m -
+=的两个根为()sin ,cos ,0,2.θθθπ∈.
（1）求
sin cos 1cos 1tan θθ
θθ
+--的值；
（2）求m 的值；
（3）求方程的两个根及此时θ的值.
【答案】（1
（2
）m =
；（3）
当方程的两个根分别sin 1cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
时，
此时3πθ=．当
方程的两个根分别1sin 2cos θθ⎧
=⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
时，此时6πθ=．
【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系，可得sin θ，cos θ的关系．解出sin θ，cos θ的值，即可求解
sin cos 1cos 1tan θθθθ
+--的值；（2）由sin cos 2m
θθ⨯=即可得m 的值；（3）由（1）可得方程
的根和此时θ的值.
【详解】由x
的方程221)0x x m -+=的两个根为sin θ，cos θ． 可得sin cos 2
m
θθ⨯=
，sin cos θθ+=，
22sin cos 1θθ+=，(0,2)θπ∈．
∴sin 1cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或1sin 2cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
那么tan θ=
当sin 1cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时，tan θ=
1
sin cos 2=11cos 1tan 12
θθθθ+=---
当1sin 2cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时，tan θ=，
1sin cos 1cos 1tan θθθθ+--（2）由sin cos 2m θθ⨯=
，可得m （3
）当方程的两个根分别sin 1
cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，此时3πθ=．
当方程的两个根分别1sin 2cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，此时6πθ=． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，同角三角函数的关系式的计算．属于基础题．
20．珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热､挤压､发泡等工艺制成的一种新型的包装材料.2020年疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入(110)x x <<万元，珍珠棉的销售量可增加101x p x =
+吨，每吨的销售价格为83p ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元，另外生产p 吨珍珠棉还需要投人其他成本
2p 万元. (1)写出该公司本季度增加的利润y 万元与x 之间的函数关系；
(2)当x 为多少万元时，公司在本季度增加的利润y 最大？最大为多少万元？
【答案】(1)y 258(110)1
x x x x =--<<+ (2)当4x =万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为8万元
【分析】（1）根据题目中等量关系，列出函数关系式；（2）对函数进行变形，利用基本不等式求解最值.
【详解】（1）832p y p x p ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭
258(110)1x x x x =--<<+; （2）()2525818111x y x x x x ⎡⎤=--=-++⎢⎥++⎣⎦
. 110,2111x x <<∴<+<，
()2525121011
x x x ∴++⋅=++， 当且仅当2511
x x =++，即4x =时等号成立， 18108y ∴-=，
∴当4x =万元时，公司本季度增加的利润最大，最大为8万元.
21．已知函数()()log 1x a f x a =-（0a >，1a ≠）.
(1)求函数()f x 的定义域；
(2)当1a >时，解关于x 不等式()()1f x f <；
(3)当2a =时，()()()
2log 12x g x f x =-+，求函数()g x 在区间[]1,3上的最值. 【答案】(1){}0x x <
(2){}01x x <<
(3)最小值为2log 3-；最大值为2
7log 9
.
【分析】（1）对底数a 进行讨论，即可求解定义域；
（2）根据1a >，指数、对数为递增函数，即可脱去“f ”，解得x 的范围；
（3）利用对数的运算化简()g x ，可以单调性即可求解在区间[]1,3上的最值；
【详解】（1）由10x a ->，即1x a >，
当1a >时，0x >；当01a <<时，0x <；
所以，当1a >时，定义域为{}0x x >；当01a <<时，定义域为{}0x x <；
（2）当1a >时，()()log 1x a f x a =-是递增函数，定义域为{}0x x >；
由()()1f x f <即()
()log 1log 1x a a a a -<-，可得11x a a -<-，解得1x < ∴关于x 不等式()()1f x f <的解集为{}01x x <<.
（3）当2a =时，
()()()()()22222log 12log 21log 12log 121x x x x g x f x ⎛⎫=-+=--+=- ⎪+⎝⎭
， 易知()g x 在区间[]1,3上为递增函数，
∴函数()g x 在区间[]1,3上的最小值为()21log 3g =-；
最大值为()273log 9
g =. 22．定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：
①对任意x ，y (1,1)∈-，都有()()53x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭
；②()f x 在(1,1)-上是单调递减函数，1()14f =-. (1)求(0)f 的值.
(2)求证：()f x 为奇函数.
(3)解不等式(21)1f x -<.
【答案】(1)(0)0f =；
(2)证明见解析； (3)3,18⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【分析】（1）利用赋值法，即得；
（2）利用函数奇偶性的定义即得；
（3）由题意可知114f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
-=，结合函数的单调性性和函数的定义域列不等式，进而即得. 【详解】（1）令0x y ==，得()()200f f =，
所以()00f =；
（2）由题可知函数()f x 的定义域为(1,1)-关于原点对称，
令y x =-，得()()()00f x f x f +-==，
即()()f x f x =--，
所以()f x 为奇函数；
（3）因为114f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，()f x 为奇函数， 所以114f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
-=， 所以不等式()211f x -<等价于()1214f x f ⎛-<-⎫ ⎪⎝⎭
， 又因为()f x 在()1,1-上是减函数， 所以1214
x ->-，且1211x -<-<， 解得318
x <<， 所以不等式的解集为3,18⎛⎫ ⎪⎝⎭.。