高考数学一轮复习 数学思想活用 巧得分系列六 方程思

【三维设计】2013届高考数学一轮复习 数学思想活用 巧得分系列
六 方程思想在平面向量中的应用2 新人教版
平面向量兼具形、数的双重性，一般可以从
两个方面思考，一是利用“数”的特征，我们可
以从向量的线性运算、数量积、基底分解及坐标
运算等方面思考，将问题转化为代数中的有关问
题来解决；二是利用其“形”的特征，可以通过
向量的几何意义以及向量的基本运算将其转化为
平面几何中的问题，直接利用平面几何中的相关
结论得到结果.
[典例] (2012·江西高考)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段
CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2
|PC |
2＝( ) A ．2
B ．4
C ．5
D ．10 1．特殊化法
该题是一道选择题，可以根据选项的特征选择方法，很明显该题的四个选项都是定值，所以可以利用最特殊的等腰直角三角形中的基本运算来验证结果．
[解析] 设直角三角形ABC 的两腰长都为4，如图所示，以C 为
原点建立平面直角坐标系，则A (4,0)，B (0,4)，因为D 为AB 的中点，所以D (2,2)．因为P 为CD 的中点，所以P (1,1)，PC u u u r ＝(－1，－1)，
PA u u u r ＝(3，－1)，PB u u u r ＝(1,3)．
故|PC |2＝12＋12＝2，|PA |2＝32＋(－1)2
＝10，
|PB |2＝(－1)2＋32＝10，所以|PA |2＋|PB |2|PC |2＝202＝10. [答案] D [题后悟道] 该题中四个选项都是定值是选择特殊化方法验证的前提，如果该题中出现“与两直角边的长度有关”，则该题就不能采用特殊化法进行验证了． 2．向量基底法 在△ABC 中，CA ，CB 是两直角边，可以先把两个向量CA u u u r ，CB u u u r 作为一组基底，然后利
用平面向量基本定理表示目标向量，再进行运算即可．
[解析]如图所示，取相互垂直的两个向量CA u u u r ＝a ，CB u u u r ＝b 作为平面向
量的基向量，显然a ·b ＝0.
则在△ABC 中，BA u u u r ＝a －b ，因为D 为AB 的中点，
所以CD u u u r ＝12
(a ＋b )．因为P 为CD 的中点， 所以PC u u u r ＝－12CD u u u r ＝－12×12(a ＋b )＝－14
(a ＋b )． 在△CBP 中，PB u u u r ＝PC u u u r ＋CB u u u r ＝－14(a ＋b )＋b ＝－14a ＋34
b ， 在△CAP 中，PA u u u r ＝PC u u u r ＋CA u u u r ＝－14(a ＋b )＋a ＝34a －14
b . 所以|PC u u u r |2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14a ＋b 2＝116
(a 2＋b 2＋2a ·b )＝ 116
(|a |2＋|b |2)， |PB u u u r |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋34b 2＝116
a 2＋916
b 2－38a ·b ＝ 116|a 2|＋916
|b |2， |PA u u u r |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a －14b 2＝916
a 2＋116
b 2－38a ·b ＝916|a |2＋116|b |2. 故|PA |2＋|PB |2
|PC |2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫916|a |2＋116|b |2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫116|a |2＋916|b |2116
|a |2＋|b |2＝10.
[答案] D
[题后悟道] 利用向量的线性运算和平面向量基本定理，首先用a 和b 表示出PC u u u r ，进
而求出PA u u u r 和PB u u u r .
3．坐标法
我们可以利用相互垂直的两腰所在直线建立平面直角坐标系，这样就可以根据已知条件求出相应点的坐标，再利用平面向量的坐标运算进行验证．
[解析] 如图所示，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线分别作为x
轴，y 轴建立平面直角坐标系．
设|CA |＝a ，|CB |＝b ，则
A (a,0)，
B (0，b )，
因为D 为AB 的中点，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2， 因为P 为CD 的中点，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，b 4， PC u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，－b 4，PB u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，3b 4，PA u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4，－b 4. 所以|PC |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 42＝a 216＋b 2
16， |PB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 42＝a 216＋9b 2
16， |PA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 42＝9a 216＋b 2
16. 所以|PA |2＋|PB |2＝a 216＋9b 216＋9a 216＋b 216＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫a 216＋b 2
16＝10|PC |2. 所以|PA |2＋|PB |2
|PC |
2＝10. [答案] D
[题后悟道] 利用坐标计算向量模的问题，是最常用有效的方法，建立坐标系时，应注意利用图形特点．
以上根据向量数与形的基本特征，结合题目中的选项以及直角三角形的条件，从三个方面提出了不同的解法，涉及向量的基本运算、坐标运算等相关知识，在寻找解题思路时，应牢牢把握向量的这两个基本特征．。