2019七年级数学下册 培优新帮手 专题17 不等式(组)的应用试题 (新版)新人教版

17 不等式(组)的应用
阅读与思考
许多数学问题和实际问题所求的未知量往往受到一些条件的限制，可以通过数量关系和分析，列出不等式(组)，运用不等式的有关知识予以求解，不等式(组)的应用主要体现在： 1．作差或作商比较有理数的大小． 2．求代数式的取值范围． 3．求代数式的最大值或最小值． 4．列不等式(组)解应用题．
列不等式(组)解应用题与列方程(组)解应用题的步骤相仿，关键是在理解题意的基础上，将一些词语转化为不等式．如“不大于”“不小于”“正数”“负数”“非正数”“非负数”等对应不等号：“≤”“≥”“＞0”“＜0”“≤0”“≥0”． 例题与求解
【例1】如果关于x 的方程2
10m x x --=只有负根，那么m 的取值范围是_________．
(辽宁省大连市“育英杯”竞赛试题)
解题思路：由x ＜0建立关于m 的不等式．
【例2】已知A ＝1998199920002001⨯-
⨯，B ＝1998200019992001⨯-⨯，C ＝19982001
19992000
⨯-⨯，则有( )．
A ．A ＞
B ＞
C B ．C ＞B ＞A C ．B ＞A ＞C
D ．B ＞C ＞A
(浙江省绍兴市竞赛试题)
解题思路：当作差比较困难时，不妨考虑作商比较
【例3】已知1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a 是彼此不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小数1a 的最大值．
(北京市竞赛试题)
解题思路：设1a ＜2a ＜3a ＜···＜7a ，则1a +2a +3a +···+7a ＝159，解题的关键是怎样
把多元等式转化为只含
1
a的不等式．
【例4】一玩具厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位，生产一个小熊玩具要使用15个工时、20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫玩具要使用10个工时、5个单位的原料，售价为45元．在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊玩具、小猫玩具的个数，可以使小熊玩具和小猫玩具的总售价尽可能高．请用你所学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2 200元．
(“希望杯”邀请赛试题) 解题思路：列不等式的关键是劳力限制在450个工时，原料限制为400个单位．引入字母，把方程和不等式结合起来分析．
【例5】某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分，2分，5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币多于2分的硬币，请你据此设计兑换方案．
(河北省竞赛试题) 解题思路：引入字母，列出含等式、不等式的混合组，把解方程组、解不等式组结合起来．
【例6】已知n，k皆为自然数，且1＜k＜n．若123
10
1
n k
n
+++⋅⋅⋅+-
=
-
，n k a
+=．求a的
值．
(香港中学数学竞赛试题) 解题思路：此题可理解为在n个连续自然数中去除其中一个数k (且1＜k＜n，k是非两头的两个数)，使剩余的数的平均数等于10，求n和k之和。

能力训练
A 级
1.若方程249108
a
x x +
-=的解小于零，则a 的取值范围是___________． 2.若方程组31,
33
x y k x y +=+⎧⎨
+=⎩的解为x ，y ，且2＜k ＜4，则x －y 的取值范围是___________．
（山东省聊城市中考试题）
3.a ，b ，c ，d 是正整数，且a ＋b ＝20，a ＋c ＝24，a ＋d ＝22，设a ＋b ＋c ＋d 的最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝_________．
（重庆市竞赛试题）
4．一辆公共汽车上有()54a -名乘客，到某一车站时有()92a -名乘客下车，则车上原有______________名乘客．
（吉林省长春市中考试题）
5．一个盒子里装有红、黄、白三种颜色的球，若白球至多是黄球的12，且至少是红球的1
3
，黄球与白球合起来不多于55个，则盒子中至多有红球__________个．
(河北省竞赛试题)
6．若2a b +=-，且a ≥2b ，则( ) A ．
b a 有最小值12 B ．b a 有最大值1 C ．a b 有最大值2 D ．a b 有最小值8
9
- (浙江省杭州市中考题)
7．设198919902121P +=+，199019912121
Q +=+，则P ，Q 的大小关系是（ ）．
A ．P ＞Q
B ．P ＜Q
C ．P ＝Q
D ．不能确定
8．小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的那一端仍然着地，请你猜一猜小芳的体重应小于( )
A ．49千克
B ．50千克
C ．24千克
D ．25千克
(山东省烟台市中考试题)
9．中国第三届京剧艺术节在南京举行，某场京剧演出的票价有2元到100元多种，某团体需购买票价6元和10元的票共140张，其中票价为10元的票数不少于票价为6元的票数的2倍．问这两种票各购买多少张所需的钱最少?最少需要多少钱?
(江苏省竞赛试题)
10．某港受潮汐的影响，近日每天24小时港内的水深变化大体如图所示：
一艘货轮于上午7时在该港码头开始卸货，计划当天卸完货后离港．已知这艘货轮卸完货后吃水深度为2.5 m(吃水深度即船底与水面的距离)．该港口规定：为保证航行安全，只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5 m 时，才能进出该港． 根据题目中所给的条件，回答下列问题：
(1)要使该船能在当天卸完货并安全出港，则出港时水深不能少于_______m ，卸货最多只能用______小时；
(2)已知该船装有1200吨货，先由甲装卸队单独卸，每小时卸180吨，工作了一段时间后，交由乙队接着单独卸，每小时卸120吨．如果要保证该船能在当天卸完货并安全出港，则甲队至少应该工作几小时，才能交给乙队接着卸？
（江苏省苏州市中考试题）
B 级
1．设a ，b ，c ，d 都是整数，且a ＜3b ，b ＜5c ，c ＜7d ，d ＜30，那么a 的最大可能值为_______．
（“新世纪杯”数学竞赛试题）
2．某宾馆底楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人，若全安排住底楼，每间住4人，房间不够；每间住5人，有房间没有住满5人．又若全安排在二楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，有房间没有住满4人，该宾馆底楼有客房___________间． 3．已知a ＜0，x 满足不等式1
1ax ax --，那么x 的取值范围是___________．
4．若a ，b 满足2
357a b +=，S ＝2
23a b -，则S 的取值范围是__________．
(广西竞赛试题)
5．已知1a ，2a ，3a ，…，2007a 是彼此互不相等的负数，且M ＝(1a ＋2a ＋…＋2006a )(2a ＋3a ＋…＋2007a )，N ＝(1a ＋2a ＋…＋2007a )(2a ＋3a ＋…＋2006a )，那么M 与N 的大小关系是( )
A ．M ＞N
B ．M ＝N
C ．M ＜N
D ．无法确定
(江苏省竞赛试题)
6．某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印刷一套增加成本20元．如果每套书定价100元，卖出后有3成收入给经销商，出版社要盈利10％，那么该书至少要发行( )套． A ．2 000 B ．3 000 C ．4 000 D ．5 000
(“希望杯”邀请赛试题)
7．今有浓度为5％，8％，9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克，60克，47克，现要配制浓度为7％的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克?
(北京市竞赛试题)
8．为了迎接世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则与奖励方案如下表：
当比赛进行到第12轮结束(每队均需比赛12场)时，A 队共积1 9分． (1)请通过计算，判断A 队胜、平、负各几场．
(2)若每赛一场，每名参赛队员均得出场费500元．设A 队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W(元)，试求W 的最大值。

(黑龙江省中考试题)
9．为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A ，B 两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1 575万元，改造一所A 类学校和两所．B 类学校共需资金230万元；改造两所A 类学校和一所B 类学校共需资金205万元．
(1)改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的资金分别是多少万元? (2)若该县的A 类学校不超过5所，则B 类学校至少有多少所?
(3)我市计划今年对该县A ，B 两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A ，B 两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元，请你通过计算求出有几种改造方案．
(湖北省襄樊市中考试题)
10．设1x ，2x ，…，2008x 是整数，且满足下列条件：
(1)－l≤n x ≤2(n ＝1，2，…，2 008)； (2)122008200x x x ++⋅⋅⋅+=； (3)2221220082008x x x ++⋅⋅⋅+=． 求333122008x x x ++⋅⋅⋅+的最大值和最小值．
(“宗沪杯”竞赛试题)
专题16 不等式（组）
例1 C 提示：解不等式组得3220t x -<<，则5个整数解为x ＝19，18，17，16，15.结合数轴
分析，应满足14≤3－2t ＜15，故－6＜t ≤1162
t -<≤-
. 例2 1345x < 提示：(2)5m n x m n ->+，20m n -<，
510
27
m n m n +=-，0m <，1345m n =. 例3 1m =或3m = 提示：解方程组得81
621x m m y m ⎧
=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，由
,0x y ≥⎧⎨≥⎩
得－1≤m ≤0 例4 提示：由已知条件得325213a b c a b c +=-⎧⎨+=+⎩ ,解得73711a c b c =-⎧⎨=-⎩,m=3c －2.由0
00
a b c ≥⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
得730
71100
c c c -≥⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
,解得37711c ≤≤,故m 的最大值为111-,最小值为57-
例5先用x 1和x 2表示x 3,x 4，…，x 7,得312423125341264512
75612
2233558x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x =+⎧
⎪=+=+⎪⎪
=+=+⎨⎪=+=+⎪=+=+⎪⎩,因此x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7= 2 010.
于是得121201013113
100()20220
x x x -=
=+-.因为x 2是自然数,所以1113()220x -是整数，所以x 1
是10的奇数倍.又因为x 1＜x 2，故有三组解:x 1=10,x 2=94,或x 1=30,x 2=81,或x 1=50,x 2=68. 因此x 1+x 2的最大值为50+68=118,所以x 1+x 2 +x 3的最大值为2(x 1+x 2)=2×118=236. 例6解法一 ：∵0≤a －b ≤1①，1≤a +b ≤4 ②，由②知－4≤－a －b ≤－1③， ①+③得－4≤－2b ≤0，即－2≤－b ≤0④，①+④得－2≤a －2b ≤1
要使a —2b 最大，只有a －b =1且－b =0. ∴a =1 且b =0，此时8a +2003b =8. 解法二 ：设a －2b=m(a+b)+n(a －b)=(m+n)a+ (m －n)b,知12m n m n +=⎧⎨-=-⎩,解得12
32
m n ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.
而()11222a b -≤-
+≤-,()33022a b ≤-≤,∴a －2b=()12a b -++()3
2
a b -
∴－2≤a －2b ≤1
当a —2b 最大时，a +b=1，a －b=1∴b=0，a=1，此时8a +2003b =8. A 级 1.910
2.11.
1提示:原不等式组变形为4252x a b x >-+<由解集是0＜x ＜2知40
5
02
a b -=⎧⎪
⎨+=⎪⎩,解得21a b =⎧⎨=-⎩ 故a +b =2+(－1)=1 3.a ＜－b ＜b ＜－a 4.
5
2
＜m ＜7 5.B 提示：由ax +3a ＞3+x ,得(a －1)(x +3)＞0,.由不等式的解集为x ＜－3知x +3＜0, 所以a －1＜0,得a ＜1. 6.C 7.B 8.C 9.k =2或3.
10. 提示：由非负数性质求得a =2,b =5,原不等式组的解集为x ＜－3.
11.原不等式组等价于322
a x
b b x ⎧≥⎪⎪⎨
⎪-<<⎪⎩,因为该不等式组的整数解一1，0，1，2不是对称地出现， 所以其解不可能是22b b x -<<必有32a b x ≤<，由整数解的情况可知213a -<≤-,232
b
<≤
得a =－5,－4,－3;b =5,6.故整数对(a ,b )共有2×3=6对. B 级
1.314a -≤<- 提示:由题意可知:3x a ≤-.由正整数解为1,2,3知334a ≤-<-,解得3
14a -≤<-
2.a ≥－1 提示:原不等式组变形为1x a
x ≥-⎧⎨≤⎩
由不等式组有解知－a ≤1,故a ≥－1
3. 9≤a ＜12
4.
2
11x
-> 5. B 提示:原不等式组变形为
1736c a b c c ≤++<,5823a a b c a <++<,71524
b a b
c b <++<. 6. C 示：若x ≥2000，则(x －2000)+x ≤9999，即2000≤x ≤5999, 共有4 000个整数; 若0≤x ＜2000,则(x －2000)+x ≤9999.2000≤9999，恒成立，又有2000个整数适合 若x ＜0，则2000－x +(－x ) ≤9999即－3999.5≤x ＜0，共有3999个整数适合，故一共有 4000+2 000+3999 = 9 999个整数适合. 7. D 8.C 提示:由原不等式得x 2
＞(x +5)2
9.提示：解不等式，得711
x ≤
, 原式=()()()41223143x x x x -≥⎧⎪---≤<⎨⎪<-⎩,从而知最大值为4，最小值为3311-
10.提示：s =x +2，2≤s ≤3 11.提示:由
871513n n k <<+,得151387n k n +<<，即76
87
k n >> .又n 与k 是都是正整数，显然n ＞8，当n 取9,10,11,12,13,14时，k 都取不到整数. 当n =15时,
9010578k <<
,即61
121378
k << 此时是k =13故满足条件的最小正整数n =15,k =13. 12.由a b c ＜＜得1
11a b
c ＞＞，故
1113
a b c a
++＜，即31,3a a ＞＜，又因为1a ＞，故a=2，从而有
1112b c +=，又11c b ＜，则21
2
b ＞，即b ＜4，又b ＞a=2，得b=3，从而得c=6，故a=2，b=3,c=6即为所求.。