江苏省震泽中学2024届高二数学第一学期期末联考模拟试题含解析
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2
（1）求证： PQ AB ；
（2）求直线 PB 与平面 MQB 所成角的正弦值
21．（12 分）已知数列 an 的首项 a1 1，且满足 an1 an 3 2n .
（1）求证：数列 an 2n 是等比数列；
（2）求数列nan的前 n 项和 Sn . 22．（10 分）已知点 M 1, 2 和直线 l1 : x y 5 0 .
l
的方程
19．（12 分）已知等差数列 an 公差不为 0， a2 5 且 a1, a4 , a13 成等比数列.
（1）求数列 an 的通项公式及其前 n 项和 Sn ；
（2）记 bn
an1 Sn Sn1
，求数列
bn
的前 n 项和 Tn .
20．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD∥BC ， AD DC ，平面 PAD 底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 的中点， PA PD 2 ， BC 1 AD 1， CD 3
∴等差数列an为递减数列，故公差小于 0，故选项 A 正确；
对于选项 B，∵ a6 a13 a9 a10 0 ，且 a1 0 ，
∴ a9 0 ， a10 0 ，
∴
S17
=17a9
0
，
S18
a9
a10 2
18
0
，
则使 Sn 0 的最大的 n 为 17，故选项 B 错误；
对于选项 C，∵ a9 0 ， a9 a10 0 ，
31
故选：A. 4、A 【解题分析】根据给定条件利用正态分布的对称性计算作答.
【题目详解】因随机变 N (3, 2 ) ， P 4 0.76 ，有
，由正态分布的对称性得：
P 2 P 4 1 P 4 1 0.76 0.24 ，
所以 P 2 的值为 0.24.
故选：A 5、B
【解题分析】根据向量的线性运算，将向量 OB 表示为 OB AO AB ，再根据向量的数量积的运算进行计算可得答
14．在正项等比数列an中， a1 1， a2 a3 12 ，则an的公比为___________. 15．在等差数列 an 中， a1 a9 4 ，那么 a2 a3 a8 等于______.
16．过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 作斜率大于 0 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点（A 在 B 的上方），且 l 与准线
【题目详解】由题意，圆 C1 : x2 y2 1 与圆 C2 : x2 y2 6x 8 y m 0
可得 C1(0, 0),C2 (3, 4) ， r1 1, r2 25 m ，
因为两圆相外切，可得| C1C2 | r1 r2 1 25 m 5，解得 m 9
故选：C.
7、B
【解题分析】由
【题目详解】因为向量 a 2,1, 4 ， b 1,0, 2 ，
所以 a b 3,1,6 ， ka b k 2,1, 4 1,0, 2 2k 1, k, 4k 2，
因为 a b ka b ， 所以 a b ka b 32k 1 k 64k 2 0 ，解得： k 15 ，
∴ a9 0 ， a10 0 ，
故Sn 中 S9 最大，故选项 C 正确；
对于选项 D，∵ a9 0 ， a9 a10 0 ，
∴ a9 0 ， a9 a9 a10 a10 ，
故数列 an 中的最小项是第 9 项，故选项 D 正确.
故选：B. 8、D 【解题分析】先排 3，4，5，然后利用插空法在 4 个位置上选 2 个排 1，2.
A.1.35m
B.2.05m
C.2.7m
D.5.4m
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的右焦点为
F，以
F
为圆心，以
a
为半径的圆与双曲线
C
的一条渐近线交于
A，B 两点.若 OA 2OB (O 为坐标原点)，则双曲线 C 的离心率为___________.
（1）求以 M 为圆心，且与直线 l1 相切的圆 M 的方程； （2）过直线 l2 : x y 9 0 上一点 P 作圆 M 的切线 PA､PB ，其中 A､B 为切点，求四边形 PAMB 的面积的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B
A.1
B. 1
C.2
D. 2
6．若圆 C1 : x2 y2 1 与圆 C2 : x2 y2 6x 8 y m 0 外切，则 m （ ）
A. 21 C. 9
B.19 D. 11
7．等差数列 an 的首项为正数，其前 n 项和为 Sn .现有下列命题，其中是假命题的有（）
A.若 Sn 有最大值，则数列an的公差小于 0
江苏省震泽中学 2024 届高二数学第一学期期末联考模拟试题
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B） 填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先 划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
【解题分析】由 OM
OQ
2
2OQ
，得到
t
y1 2
，结合 MAB
90
，得到 kAB
x1 y1
, kMB
y1 2 x1
，进而求得
k AB
kMB
b2 a2
，得出
b2 a2
1 ，结合离心率的定义，即可求解. 2
【题目详解】设 A x1, y1, Bx2, y2 ,Q0,t ，则 M x1, y1 ，
Sn
有最大值可判断
A；由
a6
a13
a9
a10
0
，可得
a9
0
，
a10
0
，利用
S18
a9
a10 2
18
可
判断 BC； a9 0 ， a9 a10 0 得 a9 0 ， a9 a9 a10 a10 ，
可判断 D.
【题目详解】对于选项 A，∵ Sn 有最大值，∴ 等差数列 an 一定有负数项，
）
的 1
A.
B. 2
2
2
C. 3 2
D. 6 3
2．直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1 的位置关系为
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
3．已知向量 a 2,1, 4 ， b 1,0, 2 ，且 a b ka b ，则 k 值是（ ）
A. 15
B. 1
的 31
C. 3 5
A 【题目详解】先排 3，4，5,,共有 3 6 种排法， 3
A 然后在 4 个位置上选 2 个排列 1,2，有 2 12 种排法， 4
则 1 与 2 不能相邻的排法总数为 612 72种，
故选：D. 9、C
【解题分析】根据题意，设抛物线的方程为 x2 ay a 0 ，进而待定系数求解即可.
4．已知随机变量
5 D.1
N (3, 2 ) ， P 4 0.76 ，则 P 2 的值为（）
A.0.24
B.0.26
C.0.68
D.0.76
5．如图，A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，且平面 ABC 中的小方格均为单位正方形，OAC OAB 120，
OA 2 ，则 OB BC （ ）
（2）若 xy 0 ，则 x 0 x, y R ；
（3）若 a 1, 2,3， b 1, 2,1 ，则 a b ；
（4）椭圆 x2 y2 1上的点距点 5, 0 最近的距离为 4 ；
94
3
A.1个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
11．已知点 A3, 0 ，点 P 在抛物线 y2 4x 上，过点 P 的直线与直线 x 1 垂直相交于点 B ，PB PA ，则 cosAPB
案,
【题目详解】因为 OB OA AB AO AB ，
所以 OB BC
AO AB
AC AB
2
AO AC AO AB AB AC AB
= 21cos120 2cos120 1 1 ，
故选：B.
6、C 【解题分析】求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.
由 OM
OQ
2
2OQ
，可得
y1t
2t 2
，所以 t
y1 2
，
因为 MAB
90
，可得 kAB
1 kOA
x1 y1
, kMB
kMQ
y1 2x1
，
又由 x12 a2
y12 b2
1,
x22 a2
y22 b2
1，两式相减得
x12 x22 a2
y12 y22 b2
0，
即
y1 y2 x1 x2
y1 y2 x1 x2
则圆心（0，0）到直线 y=x+1 的距离 d=
= ＜r=1，
把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心 所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心 故选 B 考点：直线与圆的位置关系 3、A
【解题分析】求出向量 a b ， ka b 的坐标，利用向量数量积坐标表示 a b ka b 0 即可求解.
b2 a2
，即 kAB kMB
b2 a2
，
又因为 kAB
kMB
x1 y1
y1 2 x1
1 2
，所以
b2 a2
1 ，即 2b2 a2 Nhomakorabea1 2
又由 b2
a2
c2
，所以
a2 c2 a2
1 2
，解得 e
c a
2. 2
故选：B.
2、B 【解题分析】求出圆心到直线的距离 d，与圆的半径 r 比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否 在直线上，即可得到正确答案 解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径 r=1
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点
A, B 在椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 上， M
与 A 关于原点对称， MAB
90
， MB 交 y 轴于点 Q ， O 为
坐标原点，
OM
OQ
2
2OQ
，则椭圆
离心率为（
交于点
C，若
CB
3BF
，则
| |
AF BF
| |
_________.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn ， 2Sn 2n an1 2 ， a2 8 ，其中 n N .
（1）记 bn an 1，求证：bn 是等比数列；
B.若 a6 a13 0 ，则使 Sn 0 的最大的 n 为 18
C.若 a9 0 ， a9 a10 0 ，则Sn 中 S9 最大
D.若 a9 0 ， a9 a10 0 ，则数列 an 中的最小项是第 9 项
8．由 1，2，3，4，5 五个数组成没有重复数字的五位数，其中 1 与 2 不能相邻的排法总数为（）
A.20
B.36
C.60
D.72
9．顶点在原点，关于 y 轴对称，并且经过点 M 1，2 的抛物线方程为（）
A. y2 4x
C. x2 1 y 2
10．下列命题中，真命题的个数为（ ）
B. y2 4x D. x2 1 y
2
（1） m 2 是 x2 y2 1为双曲线的充要条件； 5m 2m
的值为（）
A.
1 2
C. 1 2
1
B.
3 D. 1
3
12．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束
呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为
3.6m，深度为 0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）
（2）设 cn
n 1
，数列
bn
cn
的前
n
项和为 Tn
，求证： Tn
5 4
.
18．（12 分）已知曲线 C 的方程为 x 12 y2 x 12 y2 4
（1）判断曲线 C 是什么曲线，并求其标准方程；
（2）过点
P
4 5
,
3 5
的直线
l
交曲线
C
于
M，N
两点，若点
P
为线段
MN
的中点，求直线
【题目详解】解：由题，设抛物线的方程为 x2 ay a 0 ，
因为 M 1，2 在抛物线上，
所以1 2a ，解得 a 1 ，即所求抛物线方程为 x2 1 y
（1）求证： PQ AB ；
（2）求直线 PB 与平面 MQB 所成角的正弦值
21．（12 分）已知数列 an 的首项 a1 1，且满足 an1 an 3 2n .
（1）求证：数列 an 2n 是等比数列；
（2）求数列nan的前 n 项和 Sn . 22．（10 分）已知点 M 1, 2 和直线 l1 : x y 5 0 .
l
的方程
19．（12 分）已知等差数列 an 公差不为 0， a2 5 且 a1, a4 , a13 成等比数列.
（1）求数列 an 的通项公式及其前 n 项和 Sn ；
（2）记 bn
an1 Sn Sn1
，求数列
bn
的前 n 项和 Tn .
20．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD∥BC ， AD DC ，平面 PAD 底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 的中点， PA PD 2 ， BC 1 AD 1， CD 3
∴等差数列an为递减数列，故公差小于 0，故选项 A 正确；
对于选项 B，∵ a6 a13 a9 a10 0 ，且 a1 0 ，
∴ a9 0 ， a10 0 ，
∴
S17
=17a9
0
，
S18
a9
a10 2
18
0
，
则使 Sn 0 的最大的 n 为 17，故选项 B 错误；
对于选项 C，∵ a9 0 ， a9 a10 0 ，
31
故选：A. 4、A 【解题分析】根据给定条件利用正态分布的对称性计算作答.
【题目详解】因随机变 N (3, 2 ) ， P 4 0.76 ，有
，由正态分布的对称性得：
P 2 P 4 1 P 4 1 0.76 0.24 ，
所以 P 2 的值为 0.24.
故选：A 5、B
【解题分析】根据向量的线性运算，将向量 OB 表示为 OB AO AB ，再根据向量的数量积的运算进行计算可得答
14．在正项等比数列an中， a1 1， a2 a3 12 ，则an的公比为___________. 15．在等差数列 an 中， a1 a9 4 ，那么 a2 a3 a8 等于______.
16．过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 作斜率大于 0 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点（A 在 B 的上方），且 l 与准线
【题目详解】由题意，圆 C1 : x2 y2 1 与圆 C2 : x2 y2 6x 8 y m 0
可得 C1(0, 0),C2 (3, 4) ， r1 1, r2 25 m ，
因为两圆相外切，可得| C1C2 | r1 r2 1 25 m 5，解得 m 9
故选：C.
7、B
【解题分析】由
【题目详解】因为向量 a 2,1, 4 ， b 1,0, 2 ，
所以 a b 3,1,6 ， ka b k 2,1, 4 1,0, 2 2k 1, k, 4k 2，
因为 a b ka b ， 所以 a b ka b 32k 1 k 64k 2 0 ，解得： k 15 ，
∴ a9 0 ， a10 0 ，
故Sn 中 S9 最大，故选项 C 正确；
对于选项 D，∵ a9 0 ， a9 a10 0 ，
∴ a9 0 ， a9 a9 a10 a10 ，
故数列 an 中的最小项是第 9 项，故选项 D 正确.
故选：B. 8、D 【解题分析】先排 3，4，5，然后利用插空法在 4 个位置上选 2 个排 1，2.
A.1.35m
B.2.05m
C.2.7m
D.5.4m
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的右焦点为
F，以
F
为圆心，以
a
为半径的圆与双曲线
C
的一条渐近线交于
A，B 两点.若 OA 2OB (O 为坐标原点)，则双曲线 C 的离心率为___________.
（1）求以 M 为圆心，且与直线 l1 相切的圆 M 的方程； （2）过直线 l2 : x y 9 0 上一点 P 作圆 M 的切线 PA､PB ，其中 A､B 为切点，求四边形 PAMB 的面积的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B
A.1
B. 1
C.2
D. 2
6．若圆 C1 : x2 y2 1 与圆 C2 : x2 y2 6x 8 y m 0 外切，则 m （ ）
A. 21 C. 9
B.19 D. 11
7．等差数列 an 的首项为正数，其前 n 项和为 Sn .现有下列命题，其中是假命题的有（）
A.若 Sn 有最大值，则数列an的公差小于 0
江苏省震泽中学 2024 届高二数学第一学期期末联考模拟试题
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B） 填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先 划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
【解题分析】由 OM
OQ
2
2OQ
，得到
t
y1 2
，结合 MAB
90
，得到 kAB
x1 y1
, kMB
y1 2 x1
，进而求得
k AB
kMB
b2 a2
，得出
b2 a2
1 ，结合离心率的定义，即可求解. 2
【题目详解】设 A x1, y1, Bx2, y2 ,Q0,t ，则 M x1, y1 ，
Sn
有最大值可判断
A；由
a6
a13
a9
a10
0
，可得
a9
0
，
a10
0
，利用
S18
a9
a10 2
18
可
判断 BC； a9 0 ， a9 a10 0 得 a9 0 ， a9 a9 a10 a10 ，
可判断 D.
【题目详解】对于选项 A，∵ Sn 有最大值，∴ 等差数列 an 一定有负数项，
）
的 1
A.
B. 2
2
2
C. 3 2
D. 6 3
2．直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1 的位置关系为
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
3．已知向量 a 2,1, 4 ， b 1,0, 2 ，且 a b ka b ，则 k 值是（ ）
A. 15
B. 1
的 31
C. 3 5
A 【题目详解】先排 3，4，5,,共有 3 6 种排法， 3
A 然后在 4 个位置上选 2 个排列 1,2，有 2 12 种排法， 4
则 1 与 2 不能相邻的排法总数为 612 72种，
故选：D. 9、C
【解题分析】根据题意，设抛物线的方程为 x2 ay a 0 ，进而待定系数求解即可.
4．已知随机变量
5 D.1
N (3, 2 ) ， P 4 0.76 ，则 P 2 的值为（）
A.0.24
B.0.26
C.0.68
D.0.76
5．如图，A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，且平面 ABC 中的小方格均为单位正方形，OAC OAB 120，
OA 2 ，则 OB BC （ ）
（2）若 xy 0 ，则 x 0 x, y R ；
（3）若 a 1, 2,3， b 1, 2,1 ，则 a b ；
（4）椭圆 x2 y2 1上的点距点 5, 0 最近的距离为 4 ；
94
3
A.1个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
11．已知点 A3, 0 ，点 P 在抛物线 y2 4x 上，过点 P 的直线与直线 x 1 垂直相交于点 B ，PB PA ，则 cosAPB
案,
【题目详解】因为 OB OA AB AO AB ，
所以 OB BC
AO AB
AC AB
2
AO AC AO AB AB AC AB
= 21cos120 2cos120 1 1 ，
故选：B.
6、C 【解题分析】求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.
由 OM
OQ
2
2OQ
，可得
y1t
2t 2
，所以 t
y1 2
，
因为 MAB
90
，可得 kAB
1 kOA
x1 y1
, kMB
kMQ
y1 2x1
，
又由 x12 a2
y12 b2
1,
x22 a2
y22 b2
1，两式相减得
x12 x22 a2
y12 y22 b2
0，
即
y1 y2 x1 x2
y1 y2 x1 x2
则圆心（0，0）到直线 y=x+1 的距离 d=
= ＜r=1，
把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心 所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心 故选 B 考点：直线与圆的位置关系 3、A
【解题分析】求出向量 a b ， ka b 的坐标，利用向量数量积坐标表示 a b ka b 0 即可求解.
b2 a2
，即 kAB kMB
b2 a2
，
又因为 kAB
kMB
x1 y1
y1 2 x1
1 2
，所以
b2 a2
1 ，即 2b2 a2 Nhomakorabea1 2
又由 b2
a2
c2
，所以
a2 c2 a2
1 2
，解得 e
c a
2. 2
故选：B.
2、B 【解题分析】求出圆心到直线的距离 d，与圆的半径 r 比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否 在直线上，即可得到正确答案 解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径 r=1
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点
A, B 在椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 上， M
与 A 关于原点对称， MAB
90
， MB 交 y 轴于点 Q ， O 为
坐标原点，
OM
OQ
2
2OQ
，则椭圆
离心率为（
交于点
C，若
CB
3BF
，则
| |
AF BF
| |
_________.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn ， 2Sn 2n an1 2 ， a2 8 ，其中 n N .
（1）记 bn an 1，求证：bn 是等比数列；
B.若 a6 a13 0 ，则使 Sn 0 的最大的 n 为 18
C.若 a9 0 ， a9 a10 0 ，则Sn 中 S9 最大
D.若 a9 0 ， a9 a10 0 ，则数列 an 中的最小项是第 9 项
8．由 1，2，3，4，5 五个数组成没有重复数字的五位数，其中 1 与 2 不能相邻的排法总数为（）
A.20
B.36
C.60
D.72
9．顶点在原点，关于 y 轴对称，并且经过点 M 1，2 的抛物线方程为（）
A. y2 4x
C. x2 1 y 2
10．下列命题中，真命题的个数为（ ）
B. y2 4x D. x2 1 y
2
（1） m 2 是 x2 y2 1为双曲线的充要条件； 5m 2m
的值为（）
A.
1 2
C. 1 2
1
B.
3 D. 1
3
12．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束
呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为
3.6m，深度为 0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）
（2）设 cn
n 1
，数列
bn
cn
的前
n
项和为 Tn
，求证： Tn
5 4
.
18．（12 分）已知曲线 C 的方程为 x 12 y2 x 12 y2 4
（1）判断曲线 C 是什么曲线，并求其标准方程；
（2）过点
P
4 5
,
3 5
的直线
l
交曲线
C
于
M，N
两点，若点
P
为线段
MN
的中点，求直线
【题目详解】解：由题，设抛物线的方程为 x2 ay a 0 ，
因为 M 1，2 在抛物线上，
所以1 2a ，解得 a 1 ，即所求抛物线方程为 x2 1 y