{3套试卷汇总}2021年合肥市九年级上学期期末适应性数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图示，二次函数2y x mx =-+的图像与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程20x mx t -+=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）
A ．53t -<<
B ．5t >-
C ．34t <≤
D ．54t -<≤
【答案】D
【分析】首先将()4,0代入二次函数，求出m ，然后利用根的判别式和求根公式即可判定t 的取值范围. 【详解】将()4,0代入二次函数，得
2440m -+=
∴4m =
∴方程为240x x t -+= ∴4164t
x ±-=
∵15x << ∴54t -<≤ 故答案为D . 【点睛】
此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题. 2．一元二次方程2220x x +=-的根的情况为（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根
【答案】D
【分析】先根据2=4∆-b ac 计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】因为△=2
2
=4=(-2)41240b ac ∆--⨯⨯=-<， 所以方程无实数根．
故选：D ． 【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程2
0(a 0)++=≠ax bx c 的根与2=4∆-b ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 3．能说明命题“关于x 的方程240x x m -+=一定有实数根”是假命题的反例为（ ） A ．1m =- B ．0m =
C ．4m =
D ．5m =
【答案】D
【分析】利用m=5使方程x 2-4x+m=0没有实数解，从而可把m=5作为说明命题“关于x 的方程x 2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例．
【详解】当m=5时，方程变形为x 2-4x+m=5=0， 因为△=（-4）2-4×5＜0， 所以方程没有实数解，
所以m=5可作为说明命题“关于x 的方程x 2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例． 故选D ． 【点睛】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4．如图，在△ABC 中，BC ＝8，高AD ＝6，点E ，F 分别在AB ，AC 上，点G ，F 在BC 上，当四边形EFGH 是矩形，且EF ＝2EH 时，则矩形EFGH 的周长为（ ）
A ．
245
B ．
365
C ．
725
D ．
288
5
【答案】C
【分析】通过证明△AEF ∽△ABC ，可得2EH 6EH
86
-=，可求EH 的长，即可求解． 【详解】∵EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴
-=EF AD EH
BC AD ， ∵EF ＝2EH ，BC=8，AD=6， ∴
2EH 6EH
86
-=
∴EH ＝
125， ∴EF ＝245
，
∴矩形EFGH 的周长＝1272
5
24255⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭ 故选：C ． 【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应边成比例建立方程是解题的关键． 5．将二次函数2y x 4x 1=--化为()2
y x h k =-+的形式，结果为( ) A ．()2
y x 25=++ B ．()2
y x 25=+- C ．()2
y x 25=-+ D ．()2
y x 25=--
【答案】D
【分析】化2
2
414441y x x x x =--=-+-- ，再根据完全平方公式分解因式即可.
【详解】∵2
2
414441y x x x x =--=-+-- ∴2
(2)5y x =-- 故选D. 【点睛】
解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：，注意当二次项系数为1时，常数项
等于一次项系数一半的平方.
6．一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡72张，则这个小组有（ ） A ．12人 B ．18人
C ．9人
D ．10人
【答案】C
【解析】试题分析：设这个小组有n 人，1
(1)72,2
n n ⨯-=9,8().n n ∴==-舍去故选C ． 考点：一元二次方程的应用．
7．如图，平行四边形ABCO 的顶点B 在双曲线8
y x =
上，顶点C 在双曲线k y x
=上，BC 中点P 恰好落在y 轴上，已知，12OABC S =□，则k 的值为（ ）
A．8-B．6-C．4-D．2-
【答案】B
【分析】连接BO，过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD，证明△BEP≌△CDP（AAS），则△BEP面积
=△CDP面积；易知△BOE面积=1
2
×8=2，△COD面积=
1
2
|k|．由此可得△BOC面积=△BPO面积+△CPD面积
+△COD面积=3+1
2
|k|=12，解k即可，注意k＜1．
【详解】连接BO，过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD，
∴∠BEP=∠CDP，
又∠BPE=∠CPD，BP=CP，
∴△BEP≌△CDP（AAS）．
∴△BEP面积=△CDP面积．
∵点B在双曲线
8
y
x
=上，
所以△BOE面积=1
2
×8=2．
∵点C在双曲线
k
y
x
=上，且从图象得出k＜1，
∴△COD面积=1
2
|k|．
∴△BOC面积=△BPO面积+△CPD面积+△COD面积=2+1
2
|k|．
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴平行四边形ABCO面积=2×△BOC面积=2（2+1
2
|k|），
∴2（3+1
2
|k|）=12，
解得k=±3，
因为k＜1，所以k=-3．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数k的几何意义、平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函数图象上
点到y
轴的垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是
1
2
|k|．
8．如图所示，抛物线y=ax2-x+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且图像经过点（3，0），则a+c的值为（）
A．0 B．－1 C．1 D．2
【答案】B
【解析】∵抛物线2(0)
y ax x c a
=-+>的对称轴是直线1
x=，且图像经过点P（3，0），
∴
930
1
1
2
a c
a
-+=
⎧
⎪
-
⎨
-=
⎪⎩
，解得：
1
2
3
2
a
c
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
∴13
()1
22
a c
+=+-=-.
故选B.
9．如图，已知等边ABC
∆的边长为4，以AB为直径的圆交BC于点F，以C为圆心，CF为半径作圆，D是C上一动点，E是BD的中点，当AE最大时，BD的长为（）
A．23B．25C．4D．6
【答案】B
【分析】点E在以F为圆心的圆上运动，要使AE最大，则AE过F,根据等腰三角形的性质和圆周角定理证得F是BC的中点，从而得到EF为△BCD的中位线，根据平行线的性质证得CD BC
⊥ ,根据勾股定理
即可求得结论．
【详解】点D 在C 上运动时，点E 在以F 为圆心的圆上运动，要使AE 最大，则AE 过F,连接CD , ∵△ABC 是等边三角形，AB 是直径， ∴EF BC 丄 , ∴F 是BC 的中点， ∴E 为BD 的中点， ∴EF 为△BCD 的中位线， ∴ // CD EF , ∴CD BC ⊥ ,
4BC = ， 2CD = ，
故2216425BD BC CD =+=+= ，
故选B ．
【点睛】
本题考查了圆的动点问题，掌握等腰三角形的性质、圆周角定理、中位线定理、平行线的性质和勾股定理是解题的关键．
10．已知⊙O 的半径为5cm ，点P 在⊙O 上，则OP 的长为（ ） A ．4cm B ．5cm
C ．8cm
D ．10cm
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系解决问题即可． 【详解】解：∵点P 在⊙O 上， ∴OP ＝r ＝5cm ， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：当d ＞r 时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上，当d ＜r 时，点在圆内．
11．分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到封闭图形就是莱洛三角形，如图，已知等边ABC ∆，2AB =，则该莱洛三角形的面积为（ ）
A ．2π
B ．
2
33
π- C ．233π- D ．223π-
【答案】D
【分析】莱洛三角形的面积为三个扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，代入已知数据计算即可．
【详解】解：如图所示，作AD ⊥BC 交BC 于点D ， ∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60° ∵AD ⊥BC ，
∴BD=CD=1，AD=3， ∴11
232322
ABC
S
BC AD =
⋅=⨯⨯=， 260223603
BAC
S =
ππ
⨯=扇形 ∴莱洛三角形的面积为22232233
ABC BAC 3S S =3π
π-⨯
-=-扇形 故答案为D ．
【点睛】
本题考查了不规则图形的面积的求解，能够得出“莱洛三角形的面积为三个扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积”是解题的关键．
12．下列对二次函数y=x 2﹣x 的图象的描述，正确的是（ ） A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴
C ．经过原点
D ．在对称轴右侧部分是下降的
【答案】C
【解析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案. 【详解】A 、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A 不正确；
B 、∵﹣
221
b a ，∴抛物线的对称轴为直线x=12
，选项B 不正确； C 、当x=0时，y=x 2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C 正确； D 、∵a ＞0，抛物线的对称轴为直线x=1
2
， ∴当x ＞1
2
时，y 随x 值的增大而增大，选项D 不正确， 故选C ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），对称轴直线x=-
2b
a
，当a ＞0时，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的开口向上，当a ＜0时，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．某校九年级学生参加体育测试，其中10人的引体向上成绩如下表： 完成引体向上的个数 7 8 9 10 人数
1
2
3
4
这10人完成引体向上个数的中位数是___________ 【答案】1
【分析】将数据由小排到大，再找到中间的数值，即可求得中位数，奇数个数中位数是中间一个数，偶数个数中位数是中间两个数的平均数。

【详解】解：将10个数据由小到大排序：7、8、8、1、1、1、10、10、10、10，处于这组数据中间位置的数是1、1，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（1+1）÷2=1． 所以这组同学引体向上个数的中位数是1． 故答案为：1． 【点睛】
本题为统计题，考查中位数的意义，解题的关键是准确认识表格． 14．如图，点A 、B 分别在反比例函数y=
1k x (k 1＞0) 和 y=2k
x
(k 2＜0)的图象上，连接AB 交y 轴于点P ，且点A 与点B 关于P 成中心对称.若△AOB 的面积为4，则k 1-k 2=______.
【答案】1
【分析】作AC ⊥y 轴于C ，BD ⊥y 轴于D ，如图，先证明△ACP ≌△BDP 得到S △ACP =S △BDP ，利用等量代换和
k 的几何意义得到=S △AOC +S △BOD =
12×|k 1|+1
2
|k 2|=4，然后利用k 1＜0，k 2＞0可得到k 2-k 1的值． 【详解】解：
作AC ⊥y 轴于C ，BD ⊥y 轴于D ，如图， ∵点A 与点B 关于P 成中心对称. ∴P 点为AB 的中点， ∴AP=BP ， 在△ACP 和△BDP 中
ACP BDP
APC BPD AP BP ∠∠⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△ACP ≌△BDP （AAS ）， ∴S △ACP =S △BDP ，
∴S △AOB =S △APO +S △BPO =S △AOC +S △BOD =12×|k 1|+1
2
|k 2|=4， ∴|k 1|+|k 2|=1 ∵k 1＞0，k 2＜0， ∴k 1-k 2=1． 故答案为1． 【点睛】
本题考查了比例系数k 的几何意义：在反比例函数y=
k
x
图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是1
2
|k|，且保持不变．也考查了反比例函数的性质． 15．在△ABC 和△A'B'C'中，AB A B ''＝BC B C
''＝C A AC ''＝23，△ABC 的周长是20cm ，则△A'B'C 的周长是_____． 【答案】30cm ．
【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】
2
''''''3
AB BC AC A B B C A C === ， '''ABC A B C ~∴
ABC ∴的周长:'''A B C 的周长=2：3
ABC 的周长为20cm ， '''A B C ∴的周长为30cm ，
故答案为：30cm ． 【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
16．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是线段AB 上的点，如果5AB =，3AE =，连接CE 与对角线BD 交于点F ，则:BEF BCF S S ∆∆=_______．
【答案】2:5
【分析】由平行四边形的性质得AB ∥DC ，AB ＝DC ；平行直线证明△BEF ∽△DCF ，其性质线段的和差求得
2
5
BE EF DC FC ==，三角形的面积公式求出两个三角形的面积比为2：1． 【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC ，AB ＝DC ， ∴△BEF ∽△DCF ， ∴
BE EF
DC FC
=， 又∵BE ＝AB−AE ，AB ＝1，AE ＝3， ∴BE ＝2，DC ＝1，
∴
2
5
BE EF DC FC ==， 又∵S △BEF ＝12•EF •BH ，S △DCF ＝1
2•FC •BH ，
∴
1
2
2152
BEF DCF
EF BH
EF FC FC B S S H ⋅⋅===⋅⋅， 故答案为2：1． 【点睛】
本题综合考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质．
17．已知关于x 的方程230x mx m ++=的一个根为-2，则方程另一个根为__________． 【答案】1
【分析】将方程的根-2代入原方程求出m 的值，再解方程即可求解． 【详解】解：把x=-2代入原方程得出，4-2m+3m=0，解得m=-4； 故原方程为：24120x x --=， 解方程得：122,6x x =-=． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查的知识点是解一元二次方程，根据方程的一个解求出方程中参数的值是解此题的关键． 18．已知x=1是一元二次方程x²+ax+b=0的一个根，则代数式a²+b²+2ab 的值是____________. 【答案】1
【分析】把x=1代入x 2+ax+b=0得到1+a+b=0，易求a+b=-1，将其整体代入所求的代数式进行求值即可． 【详解】∵x=1是一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根， ∴12+a+b=0， ∴a+b=﹣1.
∴a 2+b 2+2ab=（a+b ）2=（﹣1）2=1. 三、解答题（本题包括8个小题）
19．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数.
【答案】王老师购买该奖品的件数为40件．
【解析】试题分析：根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．
试题解析：∵30×40=1200＜1400， ∴奖品数超过了30件，
设总数为x 件，则每件商品的价格为：[40﹣（x ﹣30）×0.5]元，根据题意可得： x[40﹣（x ﹣30）×0.5]=1400， 解得：x 1=40，x 2=70，
∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30， ∴x=70不合题意舍去，
答：王老师购买该奖品的件数为40件． 考点：一元二次方程的应用．
20．在一个不透明的布袋里装有4个标号分别为1,2,3,4的小球，这些球除标号外无其它差别．从布袋里随机取出一个小球，记下标号为x ，再从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下标号为,y 记点P 的坐标为(,)x y ．
(1)请用画树形图或列表的方法写出点P 所有可能的坐标； (2)求两次取出的小球标号之和大于6的概率； (3)求点(,)x y 落在直线5y x =-+上的概率． 【答案】（1）见解析；（2）
1
6（3）13
． 【分析】(1)根据题意直接画出树状图即可 (2)根据（1）所画树状图分析即可得解
(3)若使点落在直线上，则有x+y=5，结合树状图计算即可. 【详解】解：(1)画树状图得：
共有12种等可能的结果数； (2)
共有12种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号之和大于6的有2种，
∴两次取出的小球标号之和大于6的概率是
21
126
=； (3)
点(),x y 落在直线5y x =-+上的情况共有4种，
∴点(),x y 落在直线5y x =-+上的概率是
41123
=． 【点睛】
本题考查的知识点是求简单事件的概率问题，根据题目画出树状图，数形结合，可以使题目简单明了，更容易得到答案.
21．如图，一块等腰三角形钢板的底边长为80cm ，腰长为50cm .
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径；
（2）用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少cm ？ 【答案】（1）
40
3
cm ；（2）40cm. 【分析】（1）由于三角形ABC 是等腰三角形，过A 作AD ⊥BC 于D ，那么根据勾股定理得到AD=30，又从
这块钢板上截得的最大圆就是三角形的内切圆，根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在AD上，分别连接AO、BO、CO，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（2）由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆是三个三角形的外接圆，设覆盖圆的半径为R，根据垂径定理和勾股定理即可求解
【详解】解：（1）如图，过A作AD⊥BC于D
∵AB=AC=50，BC=80
∴根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理可得
AD=30，BD=CD=40，
设最大圆半径为r，
则S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC，
∴S△ABC＝1
2
×BC×AD＝
1
2
(AB+BC+CA)r
1 2×80×30＝
1
2
(50+80+50)r
解得：r=40
3
cm ；
（2）设覆盖圆的半径为R，圆心为O′，
∵△ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，∴BD=CD=40，22
504030
-=，
∴O′在AD直线上，连接O′C，
在Rt△O′DC中，
由R2=402+（R-30）2，
∴R=125
3
；
若以BD长为半径为40cm，也可以覆盖，∴最小为40cm．
【点睛】
此题分别考查了三角形的外接圆与外心、内切圆与内心、等腰三角形的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握外心与内心的性质与等腰三角形的特殊性． 22．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线1
22
y x =-
- 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2
12
y x bx c =
++经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ． （1）直接写出点A 和点B 的坐标； （2）求抛物线的函数解析式；
（3）D 为直线AB 下方抛物线上一动点；
①连接DO 交AB 于点E ，若DE ：OE=3：4，求点D 的坐标；
②是否存在点D ，使得∠DBA 的度数恰好是∠BAC 度数2倍，如果存在，求点D 的坐标，如果不存在，说明理由．
【答案】（1）A(-4，0)、B （0，-2）；（2）213
y x-222
x =+；（3）①（-1，3）或（-3，-2）；②（-2，-3）． 【分析】（1）在1
22
y x =--中由0y =求出对应的x 的值，由x=0求出对应的y 的值即可求得点A 、B 的坐标；
（2）把（1）中所求点A 、B 的坐标代入2
12
y x bx c =++中列出方程组，解方程组即可求得b 、c 的值，从而可得二次函数的解析式；
（3）①如图，过点D 作x 轴的垂线交AB 于点F ，连接OD 交AB 于点E ，由此易得△DFE ∽OBE ，这样设点D 的坐标为213(m,
2)22m m +-，点F 的坐标为1
(m,2)2
m --,结合相似三角形的性质和DE ：OE=3:4，即可列出关于m 的方程，解方程求得m 的值即可得到点D 的坐标；
②在y 轴的正半轴上截取OH=OB ，可得△ABH 是等腰三角形，由此可得∠HAB=2∠BAC ，若此时∠DAB =2∠BAC=∠HAB ，则BD ∥AH ，再求出AH 的解析式可得BD 的解析式，由BD 的解析式和抛物线的解析式联立构成方程组，解方程组即可求得点D 的坐标． 【详解】解：（1）在1
22y x =--中，由0y =可得：1202
x --=，解得：4x =-； 由0x =可得：2y =-，
∴点A 的坐标为（-4，0），点B 的坐标为（0，-2）；
（2）把点A 的坐标为（-4，0），点B 的坐标为（0，-2）代入2
12
y x bx c =
++得： 8402b c c -+=⎧⎨
=-⎩ ，解得：322
b c ⎧
=
⎪⎨⎪=-⎩ ， ∴抛物线的解析式为：213
222
y x x =
+-； （3）①过点D 作x 轴的垂线交AB 于点F ， 设点D 213(m,
2)22m m +-，F 1
(m,2)2
m --, 连接DO 交AB 于点E ，△DFE ∽OBE ， 因为DE ：OE=3：4， 所以FD ：BO=3：4， 即：FD=
34
BO=32 ,
所以21133m 222222
FD m m ⎛⎫⎛⎫=-
--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,
解之得： m 1=-1，m 2=-3 ，
∴D 的坐标为（-1，3）或（-3，-2）；
②在y 轴的正半轴上截取OH=OB ，可得△ABH 是等腰三角形， ∴∠BAH=2∠BAC ，
若∠DBA=2∠BAC ，则∠DBA=∠BAH ， ∴AH//DB ，
由点A 的坐标（-4，0）和点H 的坐标（0，2）求得直线AH 的解析式为：1
y 22
x =+， ∴直线DB 的解析式是：1
y 22
x =
-, 将：2113y 2,y 2,222x x x =-=+-联立可得方程组：21y 22
13y 222x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩
，
解得：2
3x y =-⎧⎨
=-⎩
，
∴点D 的坐标（-2，-3）．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，解第2小题的关键是过点D 作x 轴的垂线交AB 于点F ，连接OD 交AB 于点E ，从而构造出△DFE ∽OBE ，这样利用相似三角形的性质和已知条件即可求得D 的坐标；解第3小题的关键是在x 轴的上方作OH=OB ，连接AH ，从而构造出∠BAH=2∠BAC ，这样由∠DBA=∠BAH 可得AH ∥BD ，求出AH 的解析式即可得到BD 的解析式，从而将问题转化成求BD 和抛物线的交点坐标即可使问题得到解决．
23．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率
m
n
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
（1）请估计：当n 很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1） （2）假如你摸一次，你摸到白球的概率P （白球）＝ ； （3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？ 【答案】（1）0.6；（2）0.6；（3）白球有24只，黑球有16只.
【解析】试题分析：通过题意和表格，可知摸到白球的概率都接近与0.6，因此摸到白球的概率估计值为0.6.
24．如图，已知ABC 是边长为4cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、
BC 方向匀速移动，它们的移动速度都是1/cm s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动，设点P 的
运动时间的t 秒，解答下列问题． （1）2t s =时，求PBQ △的面积； （2）若PBQ △是直角三角形，求t 的值； （3）用t 表示PBQ △的面积并判断1
3
PBQ ABC S S =
△△能否成立，若能成立，求t 的值，若不能成立，说明
理由．
【答案】（123cm ；（2）4
3
t =
或83t =；（3）不能成立，理由见解析
【分析】（1）根据题意利用等边三角形的性质，结合解直角三角形进行分析计算即可；
（2）由题意分当90BPQ ∠=︒时以及当BQP 90∠=︒两种情况，建立方程并分别求出t 值即可； （3）根据题意用t 表示PBQ △的面积，并利用解直角三角形的知识求出,PBQ ABC S S △△，根据
1
3
PBQ ABC S S =△△得到方程，进而判断t 值是否存在即可.
【详解】解：（1）当2t s =时，由题意可知2AP PB BQ cm ===， ∵ABC 是边长为4cm 的等边三角形， ∴60,B BP BQ ︒∠==， ∴PBQ △是等边三角形，
所以2
213sin 6023cm 24
PBQ S PB BQ ︒=
⋅==△. （2）①当90BPQ ∠=︒时，
60B ∠=︒ ，
30BQP =∴∠︒，
4PB t =-，BQ t =，
由2BQ BP =得8
2(4)3
t t t =-⇒=. ②当BQP 90∠=︒，
60B ∠=︒ ，
30BPQ ∠=︒∴，
4PB t =-，BQ t =，
∴2BP BQ =，得42t t -=，
解得：43
t =
∴当43
t =
s
或83t =s 时，PBQ △是直角三角形.
（3）
4PB t =-，BQ t =，
∴2
1sin 602PBQ S BQ PB ︒=
⋅⋅=-△，
∴11sin 604422ABC
S
BC AC ︒⋅==
⋅⨯⨯=
由13PBQ ABC S S =
△△2143
-=⨯2312160t t -+=， 2124316480=-⨯⨯=-<△，即t 值无解，
1
3
PBQ ABC S S ∴=△△不能成立.
【点睛】
本题考查等边三角形相关的动点问题，熟练掌握等边三角形的性质结合一元二次方程和特殊三角函数值以及运用化形为数的思维进行分析是解题的关键.
25．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字2、3、4、6的乒乓球，它们的形状、大小、颜色、质地完全相同，耀华同学先从盒子里随机取出一个小球，记为数字x ，不放回，再由洁玲同学随机取出另一个小球，记为数字y ，
（1）用树状图或列表法表示出坐标(x ，y)的所有可能出现的结果； （2）求取出的坐标(x ，y)对应的点落在反比例函数y ＝12
x
图象上的概率． 【答案】（1）见解析；（2）
13
【分析】(1)首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果； (2)由(1)中的列表求得点(x ，y )落在反比例函数y =12
x
的图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】(1)列表如下
6 (2，6) (3，6) (4，6) 则共有12种可能的结果；
(2)各取一个小球所确定的点(x，y)落在反比例函数y=12
x
的图象上的有(6，2)，(4，3)，
(3，4)，(2，6)四种情况，
∴点(x，y)落在反比例函数y=12
x
的图象上的概率为
4
12
=
1
3
．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法求概率，反比例函数图象上点的坐标特征．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
26．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：四边形AEOD是正方形．
【答案】证明见解析．
【分析】先根据已知条件判定四边形AEOD为矩形，再利用垂径定理证明邻边相等即可证明四边形AEOD 为正方形．
【详解】证明：∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝1
2 AB．
同理AE＝CE＝1
2 AC．
∵AB＝AC，∴AD＝AE．
∵OD⊥ABOE⊥ACAB⊥AC，
∴∠OEA＝∠A＝∠ODA＝90°，
∴四边形ADOE为矩形．
又∵AD＝AE，
∴矩形ADOE为正方形．
【点睛】
本题考查正方形的判定，解题的关键是先根据已知条件判定四边形AEOD为矩形.
27．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果．经市场调研发现：若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱；价格每提高1元，则平均每天少销售3箱．设每箱的销售价为x元（x＞50），平均每天的销售量为y箱，该批发商平均每天的销售利润w元．
（1）y与x之间的函数解析式为__________；
（2）求w与x之间的函数解析式；
（3）当x 为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）3240y x =-+;（2）w=233609600x x -+-；（3）当x 为60元时，可以获得最大利润，最大利润是1元
【分析】（1）设每箱的销售价为x 元（x ＞50），则价格提高了(50)x -元，平均每天少销售3(50)x -箱，所以平均每天的销售量为903(50)x --，化简即可；
（2）平均每天的销售利润=每箱的销售利润⨯平均每天的销售量，由此可得关系式； （3）当2b
x a
=-
时（2）中的关于二次函数有最大值，将x 的值代入解析式求出最大值即可. 【详解】（1）903(50)3240y x x =--=-+． （2）(40)(3240)w x x =--+ =233609600x x -+-． w=233609600x x -+-
30-<
∴当360
602(3)
x =-
=⨯-时，w 最大值=1．
∴当x 为60元时，可以获得最大利润，最大利润是1元． 【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，根据题中等量关系列出函数关系式是解题的关键.
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转，得到ADE ∆，且点D 在AC 上，下列说法错误的是（ ）
A ．AC 平分BAE ∠
B ．AB AD =
C ．//BC AE
D ．BC D
E =
【答案】C 【分析】由题意根据旋转变换的性质，进行依次分析即可判断.
【详解】解：解：∵△ABC 绕点A 顺时针旋转，旋转角是∠BAC ，
∴AB 的对应边为AD ，BC 的对应边为DE ，∠BAC 对应角为∠DAE,
∴AB=AD ，DE=BC ，∠BAC=∠DAE 即AC 平分BAE ∠，
∴A ，B ，D 选项正确，C 选项不正确．
故选：C ．
【点睛】
本题考查旋转的性质，旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
2．我们知道：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直，如图，已知直线l 和l 外一点A ，用直尺和圆规作图作直线AB ，使AB ⊥l 于点A ．下列四个作图中，作法错误的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】根据垂线的作法即可判断．
【详解】观察作图过程可知：
A ．作法正确，不符合题意；
B ．作法正确，不符合题意；
C ．作法错误，符号题意；
D ．作法正确，不符合题意．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图、垂线，解决本题的关键是掌握作垂线的方法．
3．下列光线所形成的投影不是中心投影的是（ ）
A ．太阳光线
B ．台灯的光线
C ．手电筒的光线
D ．路灯的光线
【答案】A
【分析】利用中心投影(光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影)和平行投影(由平行光线形成的投影是平行投影)的定义即可判断出．
【详解】解：A ．太阳距离地球很远，我们认为是平行光线，因此不是中心投影．
B ．台灯的光线是由台灯光源发出的光线，是中心投影；
C ．手电筒的光线是由手电筒光源发出的光线，是中心投影；
D ．路灯的光线是由路灯光源发出的光线，是中心投影．
所以，只有A 不是中心投影．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了中心投影和平行投影的定义．熟记定义，并理解一般情况下，太阳光线可以近似的看成平行光线是解决此题的关键．
4．如图，在ABC ∆中，64CAB ∠=︒，
将ABC ∆绕点A 旋转到AB C ''∆'的位置，使得//CC AB '，则BAB '∠的大小为（ ）
A ．64︒
B ．52︒
C ．62︒
D ．68︒
【答案】B 【分析】由平行线的性质可得∠C'CA ＝∠CAB ＝64°，由折叠的性质可得AC ＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，可得∠ACC'＝∠C'CA ＝64°，由三角形内角和定理可求解．
【详解】∵CC′∥AB ，
∴∠C'CA ＝∠CAB ＝64°，
∵将△ABC 绕点A 旋转到△AB′C′的位置，
∴AC ＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，
∴∠ACC'＝∠C'CA ＝64°，
∴∠C'AC ＝180°−2×64°＝52°，
故选：B ．
【点睛】
本题考查旋转的性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键． 5．如图，在ABC 中，若2//,,43AD DE BC DE cm DB ==，则BC 的长是（ ）
A ．7cm
B ．10cm
C ．13cm
D ．15cm
【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理，先算出
25AD AB =，可得25DE BC =，根据DE 的长即可求得BC 的长．
【详解】解：∵
23AD DB =， ∴25
AD AB =， ∵//DE BC ，
∴25
AD DE AB BC ==， ∵4DE cm =，
∴BC 10cm =．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，由题意求得
25AD AB =是解题的关键． 6．如图，O 的半径为3，BC 是O 的弦，直径AD BC ⊥，30D ∠=，则BC 的长为（ ）
A ．2π
B ．π
C ．2π
D ．3π
【答案】C
【分析】连接OC ，利用垂径定理以及圆心角与圆周角的关系求出BOC ∠；再利用弧长公式180n r l =︒π即可求出BC 的长.
【详解】解：连接OC
260AOC D ∠=∠=︒ （同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）
∵直径AD BC ⊥ ∴AC =AB （垂径定理）
∴2120BOC AOC ∠=∠=︒
1203=2180180
n BC ==︒πr ππ 故选C
【点睛】
本题考查了垂径定理、圆心角与圆周角以及利用弧长公式求弧长，熟练掌握相关定理和公式是解答本题的关键.
7．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，因此，四个选项中只有D 符合．故选D ．
8．如图，点A ，B ，C ，D ，E 都在O 上，且AE 的度数为50︒，则B D ∠+∠等于（ ）
A ．130︒
B ．135︒
C ．145︒
D ．155︒
【答案】D
【分析】连接AB、DE，先求得∠ABE=∠ADE=25°，根据圆内接四边形的性质得出
∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°，即可求得∠CBE+∠ADC=155°．
【详解】解：如图所示
连接AB、DE，则∠ABE=∠ADE
∵AE=50°
∴∠ABE=∠ADE=25°
∵点A，B，C，D都在O上
∴∠ADC+∠ABC=180°
∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°
∴∠EBC+∠ADC=180°-∠ABE=180°-25°=155°
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建内接四边形是解题的关键．9．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（）
A．221
x=B．1
(1)21
2
x x-=C．2
1
21
2
x=D．(1)21
x x-=
【答案】B
【解析】试题分析：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：1
(1)21
2
x x-=，故选B．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
10．如图所示的工件，其俯视图是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】试题分析：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，內圆是虚线，
故选B．
点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线．
11．如图，点O是△ABC内一点、分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是（）
A．6 B．15 C．24 D．27
【答案】C
【解析】根据三边对应成比例，两三角形相似，得到△ABC∽△DEF，再由相似三角形的性质即可得到结果．【详解】∵AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，
∴OA
OD
＝
OB
OE
＝
OC
OF
＝
1
3
，
∴△ABC∽△DEF，
∴ABC
DEF
S
S
∆
∆
＝2
1
()
3
＝
1
9
，
∵△ABC的面积是3，
∴S△DEF＝27，
∴S阴影＝S△DEF﹣S△ABC＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
12．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连接BE．若AE=6，DE=5，∠BEC=90°，则△BCE的周长是（）
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】B
【解析】试题解析：△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，。