历史著名的欧拉七桥问题

历史著名的欧拉七桥问题
在⼀些数学竞赛中有⼀些数学题⽬是给定的图形能不能⼀笔画的问题，其实这些就是来源于著名的七桥问题。

18世纪，东普鲁⼠的⾸府哥尼斯堡是⼀座景⾊迷⼈的城市，普莱格尔河横贯城区，使这座城市锦上添花，显得更加风光旖旋。

这条河有两条⽀流，在城中⼼汇成⼤河，在河的中央有⼀座美丽的⼩岛。

河上有七座各具特⾊的桥把岛和河岸连接起来。

每到傍晚，许多⼈都来此散步。

⼈们漫步于这七座桥之间，久⽽久之，就形成了这样⼀个问题：能不能既不重复⼜不遗漏地⼀次相继⾛遍这七座桥呢？每⼀个到此游玩或散⼼的⼈都想试⼀试，可是，对于这⼀看似简单的问题，没有⼀个⼈能符合要求地从七座桥上⾛⼀遍。

这就是闻名遐迩的“哥尼斯堡七桥问题。

”
七桥问题也困扰着哥尼斯堡⼤学的学⽣们，在屡遭失败之后，他们给当时著名数学家欧拉写了⼀封信，请他帮助解决这个问题。

欧拉看完信后，对这个问题也产⽣了浓厚的兴趣。

1736年，在经过⼀年的研究之后，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论⽂，圆满解决了这⼀问题，同时开创了数学新⼀分⽀---图论。

他想，既然岛和半岛是桥梁的连接地点，两岸陆地也是桥梁的连接地点，那就不妨把这四处地⽅缩⼩成四个点，并且把这七座桥表⽰成七条线。

欧拉简化后的数学模型
这显然并没有改变问题的本质特征。

于是，七桥问题也就变成了⼀个⼀笔画的问题，即：能否笔不离纸，不重复地⼀笔画完整个图形。

这竟然与孩⼦们的⼀笔画游戏联系起来了。

接着，欧拉就对“⼀笔画”问题进⾏了数学分析：⼀笔画有起点和终点，起点和终点重合的图形称为封闭图形，否则便称为开放图形。

除起点和终点外，⼀笔画中间可能出现⼀些曲线的交点。

欧拉注意到，只有当笔沿着⼀条弧线到达交点后，⼜能沿着另⼀条弧线离开，也就是交汇于这些点的弧线成双成对时，⼀笔画才能完成，这样的交点就称为“偶点”。

如果交汇于这些点的弧线不是成双成对，也就是有奇数条，则⼀笔画就不能实现，这样的点⼜叫做“奇点”。

欧拉通过分析，得到了下⾯的结论：若是⼀个⼀笔画图形，要么只有两个奇点，也就是仅有起点和终点，这样⼀笔画成的图形是开放的；要么没有奇点，也就是终点和起点连接起来，这样⼀笔画成的图形是封闭的。

由于七桥问题有四个奇点，所以要找到⼀条经过七座桥，但每座桥只⾛⼀次的路线是不可能的。

有名的“哥尼斯堡七桥问题”就这样被欧拉解决了。

作为兴趣⼤家可以看⼀下下⾯这些图形那些可以⼀笔画。