简单曲线的极坐标方程练习题有答案

简单曲线的极坐标方程
1.在极坐标系中，求出满足下列条件的圆的极坐标方程
圆心位置极坐标方程图形
圆心在极点(0，0）
半径为r
ρ＝r （0≤θ〈2π)
圆心在点（r，0）
半径为r
ρ＝2r cos_θ
（－错误!≤θ〈错误!)
圆心在点（r，错误!)
半径为r ρ＝2r sin_θ（0≤θ<π）
圆心在点（r，π）
半径为r
ρ＝－2r cos_θ（错误!≤θ<错误!)
圆心在点(r，错误!）
半径为r ρ＝－2r sin_θ(－π<θ≤0)
圆心C(ρ0，θ0)，半径为r
ρ2－2ρ0ρcos（θ－θ0）＋ρ2，0－
r2＝0.
2.在极坐标系中,求出满足下列条件的直线的极坐标方程
直线位置极坐标方程图形
过极点,
倾斜角为α
（1）θ＝α(ρ∈R）或θ＝α＋π（ρ∈R)
（2）θ＝α（ρ≥0）和θ＝π＋α
（ρ≥0）
过点（a,0)，且
与极轴垂直
ρcos_θ＝a错误!
过点错误!,且与极轴平行ρsin_θ＝a(0〈θ<π）
过点(a,0)倾斜角为αρsin(α－θ）＝a sin α（0〈θ〈π)
过点P（ρ0,θ0),倾斜角为α
ρsin（α－θ)＝ρ0sin(α－θ0）．
3。

将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程
①x＋y＝0；②x2＋y2＋2ax＝0（a≠0）．
(2)将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；并判定曲线形状：
①ρcos θ＝2；②ρ＝2cos θ；③ρ2cos 2θ＝2；④ρ＝错误!。

［思路点拨]（1）先把公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入曲线（含直线)的直角坐标方程,再化简．
（2）先利用公式ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2代入曲线的极坐标方程，再化简．
[解］（1)①将x＝ρcos θ,y＝ρsin θ代入x＋y＝0得ρcos θ＋ρsin θ＝0，
即ρ(sin θ＋cos θ）＝0，
∴tan θ＝－1，θ＝错误!（ρ≥0）和θ＝错误!(ρ≥0），
∴直线x＋y＝0的极坐标方程为θ＝错误!（ρ≥0)和θ＝错误!（ρ≥0）．
②将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＋2ax＝0得
ρ2＋2aρcos θ＝0，∴ρ＝0或ρ＝－2a cos θ.
又ρ＝0表示极点,而极点在圆ρ＝－2a cos θ上
∴所求极坐标方程为ρ＝－2a cos θ
(2)①∵ρcos θ＝2，∴x＝2，即直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x＝2，
它表示过点(2，0）且垂直于x轴的直线，
②∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x。

∴(x－1）2＋y2＝1，即ρ＝2cos θ的直角坐标方程．
它表示圆心为(1，0），半径为1的圆．
③∵ρ2cos 2θ＝2，
∴ρ2(cos2θ－sin2θ)＝2，
即ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝2，
∴x2－y2＝2，
故曲线是中心在原点，焦点在x轴上的等轴双曲线．
④∵ρ＝
1
1－cos θ
，∴ρ＝1＋ρcos θ，
∴错误!＝1＋x,
两边平方并整理得y2＝2错误!，
故曲线是顶点为错误!，焦点为F（0，0），准线方程为x＝－1的抛物线．4。

曲线x2＋y2＝2错误!的极坐标方程是____________．
解析：∵x2＋y2＝ρ2，ρ≥0，∴ρ＝错误!,
∴x2＋y2＝2错误!可化为ρ2＝2ρ，即ρ（ρ－2)＝0。

答案：ρ（ρ－2）＝0
5.曲线ρsin错误!＝0的直角坐标方程是______________．
解析：∵ρsin错误!＝0，∴错误!ρsinθ－错误!ρcos θ＝0,
∴ρsin θ－ρcos θ＝0,即x－y＝0.
答案：x－y＝0
6。

圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心坐标是（）
A。

错误! B.错误!
C。

错误! D.错误!
解析:选D。

∵ρ＝5cos θ－5错误! sin θ，
∴ρ2＝5ρcos θ－5错误!ρsin θ，
∴x2＋y2＝5x－53y,
∴错误!错误!＋错误!错误!＝25,
∴圆心C错误!,ρ＝错误!＝5，
tan θ＝
y
x＝－错误!，θ＝错误!
∴圆心C的极坐标为C错误!.
7.极坐标方程ρ＝cos（错误!－θ)表示的曲线是(）
A．双曲线B．椭圆
C．抛物线D．圆
解析：选D.∵ρ＝cos 错误!，即ρ＝错误!(cos θ＋sin θ）， ∴ρ2＝错误!(ρcos θ＋ρsin θ），
∴x 2＋y 2＝错误!x ＋错误!y ，即错误!错误!＋错误!错误!＝错误!。

8.曲线的极坐标方程为ρ＝tan θ·1
cos θ
，则曲线的直角坐标方程为__________．
解析：∵ρ＝tan θ·1
cos θ,
∴ρcos 2θ＝sin θ,∴ρ2cos 2θ＝ρsin θ, ∴x 2＝y . 答案:x 2＝y
9。

直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．
[解析］ (1)由公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线2ρcos θ＝1的直角坐标方程为2x ＝1，
圆
ρ＝2cos θ⇒ρ2＝2ρcos θ的直角坐标方程为
x 2＋y 2－2x ＝0⇒（x －1)2＋y 2＝1，
由于圆心(1，0)到直线的距离为1－1
2
＝错误!，所以弦长为2错误!＝错误!.
10。

已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为错误!,则｜CP ｜＝________．
（2)由圆的极坐标方程ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ， 化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0， 所以（x －2)2＋y 2＝4，
所以圆心C （2，0），半径r ＝｜OC ｜＝2， 如图，在△OCP 中， ∠POC ＝错误!,|OP ｜＝4。

由余弦定理，得｜PC |2＝|OP |2＋｜OC ｜2－2｜OP ｜｜OC ｜·cos ∠POC ＝42＋22
－2×4×2cos 错误!＝12,
所以｜PC ｜＝2错误!.
［答案］ (1）错误! (2）2错误!
11.（2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1)求C 1，C 2的极坐标方程；
(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝错误!(ρ∈R),设C 2与C 3的交点为M ，N ,求△C 2MN 的面积．
［解] （1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2
的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2）将θ＝π
4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得
ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝2错误!，ρ2＝错误!. 故ρ1－ρ2＝错误!，即｜MN |＝错误!。

由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为错误!。