2019-2020学年人教A版数学选修2-2阶段质量检测(一) A卷 Word版含解析

阶段质量检测（一）
(A 卷 学业水平达标) (时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列各式正确的是( ) A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数) B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos x D ．(x －5
)′＝－1
5
x －6
解析：选C 由导数公式知选项A 中(sin a )′＝0；选项B 中(cos x )′＝－sin x ；选项D 中(x －
5)′＝－
5x －
6.
2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e 2 C ．y ＝x 3－x
D ．y ＝ln x －x
解析：选B 只有B 中y ′＝e 2＞0在(0，＋∞)内恒成立．
3．若曲线y ＝2x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则切线l 的方程为( ) A ．x ＋4y ＋3＝0 B ．x ＋4y －9＝0 C ．4x －y ＋3＝0
D ．4x －y －2＝0
解析：选D 设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′＝4x ，由题意得4x 0＝4，解得x 0＝1，所以y 0＝2，故切线l 的方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.
4．若函数f (x )＝1
3x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( )
A ．0
B ．2
C ．1
D ．－1
解析：选A ∵f (x )＝1
3x 3－f ′(1)·x 2－x ，
∴f ′(x )＝x 2－2f ′(1)·x －1， ∴f ′(1)＝1－2f ′(1)－1， ∴f ′(1)＝0.
5．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a <0或a >21
D ．a ＝0或a ＝21
解析：选A f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )不存在极值点．
6．已知，对于任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时，
( )
A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0
B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0
C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0
D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0
解析：选B f (x )为奇函数且x >0时单调递增，所以x <0时单调递增，f ′(x )>0；g (x )为偶函数且x >0时单调递增，所以x <0时单调递减，g ′(x )<0.
7.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如右图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)
B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)
C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)
D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)
解析：选D 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当x ＝－2时，f ′(x )＝0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x ＝2时，f ′(x )＝0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．
8．设f (x )＝错误!则错误!f(x)d x 等于( ) A .43 B .54 C .65 D .76
解析：选A ⎠⎜⎛0e f(x)d x ＝⎠⎜⎛01x 2
d x ＋⎠⎜⎛1
e 1x d x
＝1
3x 3
10＋ln x e 1＝4
3
. 9.已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2＋bx(a ，b
∈
R)的图象如右图所示，它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为
112
，则a
的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．－2
解析：选A 法一：因为f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，函数f (x )的图象与x 轴相切于原点，所以f ′(0)＝0，即b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．因为函数f (x )的图象与x 轴所围成区域的
面积为1
12，所以⎠⎜⎛a
0(－x 3
＋ax 2
)d x ＝－1
12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x4＋13ax30a ＝－1
12，所以a ＝－1或a ＝1(舍去)，故选A .
法二：因为f ′(x)＝－3x 2＋2ax ＋b ，函数f(x)的图象与x 轴相切于原点，所以f ′(0)＝0，即b ＝0，所以f(x)＝－x 3＋ax 2.若a ＝0，则f(x)＝－x 3，与x 轴只有一个交点(0,0)，不符合所给的图象，排除B ；若a ＝1，则f(x)＝－x 3＋x 2＝－x 2(x －1)，与x 轴有两个交点(0,0)，(1,0)，不符合所给的图象，排除C ；若a ＝－2，则所围成的面积为错误!－2x 2)d x ＝错误!错误!＝错误!≠错误!，排除D ，故选A .
10．若函数f(x)＝2x 2－ln
x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )
A .⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，＋∞ B .⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12
C .⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32 D .⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
1，32 解析：选D 由f(x)＝2x 2－ln x 可知定义域为(0，＋∞)，所以k －1≥0，k ≥1.故排除B 、C 两项．又因
为f ′(x)＝4x －1
x ，令f ′(x)＝0，得x ＝1
2或x ＝－1
2(舍去)，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，＋∞上单调递增．由
题意知⎩⎪⎨⎪
⎧
k －1<12
，
k ＋1>1
2
且k ≥1，得1≤k ＜3
2
.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．(
陕
西
高
考
)设曲线y ＝e x
在点(0,1)处的切线与曲线y ＝
1x
(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．
解析：y ′＝e x
，曲线y ＝e x
在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0
＝1，设P(m ，n)，y ＝1
x
(x ＞0)的导数为y ′
＝－1
x2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1
m2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，
所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
12．函数f(x)＝2x 2－ln x 的单调递增区间为________． 解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 令f ′(x)＝4x －1
x ＝4x2－1x ≥0，得x ≥12
.
答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
12，＋∞
13．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)＝27－0.9t(v 的单位：m /s ；t 的单位：s )，则列车刹车后至停车时的位移为________．
解析：停车时v(t)＝0，则27－0.9t ＝0，∴t ＝30， ∴s ＝∫300v(t)d t ＝∫300(27－0.9t)d t ＝(27t －0.45t 2)300＝405(m )． 答案：405 m
14．函数f(x)＝x 3－3a 2x ＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为________． 解析：令f ′(x)＝3x 2－3a 2＝0， ∴x ＝±a.
当f ′(x)>0时，x>a 或x<－a ； 当f ′(x)<0时，－a<x<a ，
所以函数f(x)在(a ，＋∞)，(－∞，－a)上为增函数， 在(－a ，a)上为减函数． 故f(x)极大值＝f(－a)＝2a 3＋a ， f(x)极小值＝f(a)＝a －2a 3，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2a3＋a>0，
a －2a3<0，解得a>22
.
a>0，
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
22，＋∞
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤．) 15．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋4ln x 的极值点为1和2. (1)求实数a ，b 的值；
(2)求函数f(x)在区间(0,3]上的最大值． 解：(1)f ′(x)＝2ax ＋b ＋4
x
＝2ax2＋bx ＋4x ，x ∈(0，＋∞)，
由y ＝f(x)的极值点为1和2， ∴2ax 2＋bx ＋4＝0的两根为1和2，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
2a ＋b ＋4＝0，8a ＋2b ＋4＝0， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－6.
(2)由(1)得f(x)＝x 2－6x ＋4ln x ， ∴f ′(x)＝2x －6＋4
x ＝2x2－6x ＋4x
＝错误!，x ∈(0,3]．
当x 变化时，f ′(x)与f(x)的变化情况如下表：
∵∴f(x)max ＝f(3)＝4ln 3－9.
16．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax 2
＋2x －4
3ln x 在x ＝1处取得极值．
(1)求a 的值；
(2)求函数f(x)的单调区间及极值． 解：(1)f ′(x)＝2ax ＋2－
4
3x
， 由f ′(1)＝2a ＋2
3＝0，得a ＝－13
.
(2)f(x)＝－13x 2
＋2x －43ln x(x ＞0)．
f ′(x)＝－23x ＋2－4
3x ＝错误!.
由f ′(x)＝0，得x ＝1或x ＝2. ①当f ′(x)＞0时，1＜x ＜2； ②当f ′(x)＜0时，0＜x ＜1或x ＞2. 当x 变化时f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
因此f(x)函数的极小值为f(1)＝5
3，极大值为f(2)＝8
3－4
3ln 2.
17．(本小题满分12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x . (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；
(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求实数a 的取值范围．
解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，f ′(x )＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )＞0，即(－x 2＋2)e x ＞0，注意到e x
＞0，所以－x 2＋2＞0，解得－
2＜x ＜
2，所以函数f (x )的单调递增区间为(－2，
2)．同理可得，函
数f (x )的单调递减区间为(－∞，－
2)和(
2，＋∞)．
(2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立．
又因为f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0，注意到e x ＞0，因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a ≥x2＋2x x ＋1＝x ＋1－1
x ＋1
在(－1,1)上恒成立．
设y ＝x ＋1－1
x ＋1
，则y ′＝1＋错误!＞0，
即y ＝x ＋1－1
x ＋1
在(－1,1)上单调递增，
则y ＜1＋1－1
1＋1＝3
2，故a ≥3
2
，
所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
32，＋∞.
18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ln x －a
x .
(1)若f (x )存在最小值且最小值为2，求a 的值；
(2)设g (x )＝ln x －a ，若g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝1x ＋a x2＝x ＋a
x2
(x ＞0)，
当a ≥0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )不存在最小值． 当a ＜0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－a ， 且0＜x ＜－a 时f ′(x )＜0， x ＞－a 时f ′(x )＞0. ∴x ＝－a 时f (x )取最小值， f (－a )＝ln(－a )＋1＝2，解得a ＝－e.
(2)g (x )＜x 2，即ln x －a ＜x 2，即a ＞ln x －x 2，
故g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，也就是a ＞ln x －x 2在(0，e]上恒成立．
设h (x )＝ln x －x 2
，则h ′(x )＝1
x －2x ＝1－2x2x ，由h ′(x )＝0及0＜x ≤e ，得x ＝2
2
.
当0＜x ＜2
2时h ′(x )＞0，当2
2＜x ≤e 时h ′(x )＜0，即h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22上为增函数，在⎝ ⎛⎦
⎥⎥⎤22，e 上
为减函数，所以当x ＝2
2时h (x )取得最大值为h ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫22＝ln 22－12. 所以g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立时，
a 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫ln 22－12，＋∞.。