高二数学暑假补充练习 单元检测三 函数与导数 试题

高二数学暑假自主学习单元检测三
函数与导数
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分． 1．曲线sin x y x e =+在点（0,1）处的切线方程为． 2．函数()ln (1),(0)f x x a x a =-->的单调增区间是．
3．函数2
()ln 22
x f x x x =+-在区间[1,]e 上的最大值是．
4．已知曲线()ln 1f x a x bx =++在点（1，(1))f 处的切线斜率为-2，且2
3
x =是函数()y f x = 的极值点，则a b -=．
5．若函数f (x )＝ax 4
＋bx 2
＋c 满足(1) 2f '=，则(1)f '-=．
6．已知函数()x f 的导函数为()f x '，且满足()()2
322f x x xf =+'，则()5f '=．
7．从边长为10 cm×16 cm 的矩形纸板的四个角上截去四个相同的小正方形，做成一个无 盖的盒子，盒子容积的最大值是．
8．函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，(1)()0x f x '-<，
设)3(),2
1
(),0(f c f b f a ===，则c b a ,,的大小关系为．
9．已知函数3211
()(2)2(,)32f x x a x ax b a b R =+--+∈．若函数()f x 在区间（-1,1）上不单调．．．，则
实数a 的取值X 围为．
10．设函数21
()ln .2
f x x ax bx =--若x =1是()f x 的极大值点，则实数a 的取值X 围是．
11．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3
－3x 的图象有相异的三个公共点，则实数a 的取值X 围是． 12．函数)(x f 的定义域为R. 2)1(=-f ，对任意的R x ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集
为．
13．已知函数ln (),()x
f x kx
g x x
==，若不等式()()f x g x ≥在区间(0,)+∞上恒成立， 则实数k 的取值X 围是．
14．已知函数2
21()23ln 2
f x x ex e x b =
+--在0(,0)x 处的切线斜率为零，
若函数()()a F x f x x '=+ 有最小值m ，且2m e >，则实数a 的取值X 围是．
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)
已知函数3
221(313
f x x mx m x =
+-+）(0)m >. （1）若1m =，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；
（2）若函数)(x f 在区间(21,1)m m -+上单调递增，某某数m 的取值X 围．
16．(本小题满分14分)
已知函数21
()22f x ax x =+， ()g x lnx =.（1）如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调函数，
求
（1）a 的取值X 围；
（2）是否存在正实数a ，使得函数()()
()(21)g x h x f x a x
'=
-++在区间1(,)e e 内有两个不
同的零点？若存在，请求出a 的取值X 围；若不存在，请说明理由．
17．(本小题满分14分)
某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m ．
（1）过点P 的一条直线与走廊的外侧两边交于A ,B 两点，且与走廊的一边的夹角为
(0)2
π
θθ<<，将线段AB 的长度l 表示为θ的函数；
（2）一根长度为5m 的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁 棒的粗细忽略不计）．
18．(本小题满分16分)
设()ln .()()()f x x g x f x f x '==+. （1）求()g x 的单调区间和最小值；
（2）讨论()g x 与1
()g x 的大小关系；
（3）求使得1
()()g a g x a
-<对任意0x >恒成立的实数a 的取值X 围.
m
19．(本小题满分16分) 已知函数32,1
()ln ,1x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩
．
（1）求()f x 在[1,]e -（e 为自然对数的底数）上的最大值；
（2）对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角
顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？
20．(本小题满分16分)
设32
121()()3(,,0)32x a b f x x x x x a b R a λλ-=+++⋅∈>
（1）当121,0λλ==时，设12,x x 是()f x 的两个极值点， ①如果1212x x <<<，求证：(1)3f '->；
②如果21122,2,(,)a x x x x x ≥-=∈时，函数2()()2()g x f x x x '=+-的最小值为()h a ， 求()h a 的最大值．
（2）当120,1λλ==时，
①求函数()3(ln31)y f x x =-+的最小值；
②对于任意的实数,,a b c ，当3a b c ++=时，求证3339.a b c a b c ++≥
高二数学暑假自主学习单元检测三参考答案
一、填空题：
1．答案：210x y -+= 解析：依题意得cos x y x e '=+，曲线sin x y x e =+在点（0,1）处的切线的斜率等于2，因此该切线方程是210x y -+=． 2．答案：1(0,)a 解析：()f x 的定义域为(0,),+∞1()ax f x x
-'=
，则由'
()0f x =得a x 1=，
当1(0,)x a ∈时，()0,f x '>()f x ∴在1(0,)a
上单调递增． 3．答案：2
122
e e +- 解析：函数()
f x 的定义域为(0,)+∞.
因为2
1(1)()20x f x x x x
-'=+-=
≥， 所以函数()f x 在区间[1,]e 上单调递增，则当x e =时, 函数()f x 取得最大值 2
122
e e +-．
4．答案：10 解析：由题意得()a
f x b x
'=+，故32,02a b a b +=-+=，解得4,6a b ==-．
5．答案：-2 解析：∵3()42f x ax bx '=+，∴()f x '为奇函数，∴( 1)(1) 2.f f '-=-'=- 6．答案：6 解析：由题意得()()622f x x f '=+'，()()21222,(2)12f f f '=+'∴'=-，()2324f x x x
∴=-，()56f '=．
7．答案：144cm 3
解析：设小正方形边长为x cm ，则盒子容积V (x )＝x (10－2x )(16－2x )＝4(x
3
－13x 2
＋40x )(0＜x ＜5)．V ′(x )＝4(3x 2
－26x ＋40)＝4(3x －20)(x －2)．令V ′(x )＝0，解得
x ＝2或203x =
.但20
(0,5)3
∉，∴x ＝2，∵极值点只有一个，可判断该点就是最大值点．∴当x ＝2时，V (x )最大，V (2)＝4(8－52＋80)＝144.
8．答案：c <a<b 解析：依题意得，当1x <时，有()0f x '>，()f x 为增函数； 又(3)(1)f f =-，且11012-<<
<，因此有1
(1)(0)()2
f f f -<<，即有1(3)(0)()2f f f <<． 9.答案：(－1,1) 解析：2()(2)2=(+2)( )=0f x x a x a x x a '=+---的两根为x 1＝－2，x 2＝a .若
f (x )在（－1,1）上不单调，则－1＜a ＜1.
10．答案：(1,)-+∞ 解析：()f x 的定义域为(0,)+∞，1
()f x ax b x
'=
--，由(1)0f '=，得1b a =-.∴1(1)(1)
()1ax x f x ax a x x
-+-'=
-+-=
.①若a ≥0，由()0f x '=，得x =1. 当10<<x 时，()0f x '>，此时)(x f 单调递增；当1>x 时，()0f x '<，此时)(x f 单调递
减.满足题意；②若a <0，由()0f x '=，得x =1,1x a =-.由题意知1
1a ->，即10a -<<．
11．答案：(－2,2) 解析：令2() 3 3 0f x x '=-=，得x ＝±1，可求得f (x )的极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，－2<a <2时，恰有三个不同公共点．
12．答案：(1,)-+∞解析：设()()2h x f x x =-，()20h x f x '()='->,故()h x (1)(1)24h f -=-+=，由()24f x x >+，即()(1)h x h >-()(1)h x h >-，得1x >-．
13．答案：1[
,)2e +∞ 解析：
ln 0,,x x kx x >≥2ln x x k ≥∴，令2ln )(x x x h =，又3
ln 2-1)(x x x h =‘
，
令0)(=x h ‘
解得e x =
，所以()h x 在上单调增；在)+∞上单调减，
max 1()2k h x e
≥=
． 14．答案：2(3,)e +∞ 解析：2
3()()2a a e F x f x x e x
x
-'=+=++(0)x >．当23a e >时，则
2
3()22a e F x x e e x
-=++≥，当且仅当x =时等号成立，
故()F x 的最小值2m e =2e >，符合题意；
当23a e =时，函数()2F x x e =+在区间(0,)+∞上是增函数，不存在最小值，不合题意； 当2
3a e <时，函数2
3()2a e F x x e x
-=++在区间(0,)+∞上是增函数，不存在最小值，不合题
意．综上，实数a 的取值X 围是2(3,)e +∞． 二、解答题：
15．解：（1）当1m =时，321(313f x x x x =+-+）
，85
(246133
f =+-+=）. 2(23f x x x '=+-），(24435f '=+-=）． ………3分
所以所求切线的方程为153250x y --=………5分
（2）22(23f x x mx m '=+-）
令(0f x '=） 得123,x m x m =-=， 由于0m >，()f x '，
()f x 的变化情况如下表：
所以函数()f x 的单调递增区间是(,3)m -∞-和(,)m +∞. …………9分
要使()f x 在区间(21,1)m m -+上单调递增，应有13m m +≤-或21m m -≥，所以1
4
m ≤-或
1m ≥，又0121m m m >+>-且，所以12m ≤<．…………14分
16.解：（1）当0a =时，()2f x x =在[1,)+∞上是单调增函数，符合题意．……2分 当0a ≠时，()y f x =的对称轴方程为2x a
=-，
由于()y f x =在[1,)+∞上是单调函数，所以2
1a
-≤，解得2a ≤-或0a >，
综上，a 的取值X 围是0a ≥，或2a ≤-． ………………6分 （2）()(2)(21)lnx
h x ax a x
=
-+++，
因()h x 在区间(1,e e )内有两个不同的零点,所以()0h x =，即方程2
(12)0ax a x lnx +--=在区间(1,e e
)内有两个不同的实根.………7分
设2()(12)x ax a x lnx ϕ=+--(0)x >，
1()2(12)x ax a x ϕ'=+--2
2(12)1(21)(1)
ax a x ax x x x +--+-=
=………9分 令()0x ϕ'=，因为a 为正数，解得1x =或12x a =-
（舍）当1
(,1)x e
∈时, ()0x ϕ'<, ()x ϕ是减函数；当(1,)x e ∈时, ()0x ϕ'>，()x ϕ是增函数.…………11分 为满足题意，只需()x ϕ在(1
,e e )内有两个不相等的零点,
故()min 1
()0,()10,()0,
e x e ϕϕϕϕ⎧>⎪⎪⎪
=<⎨⎪>⎪⎪⎩
解得1212-+<<e e e a ……14分．
17.解：(1)根据图得22(),(0,)sin cos 2
l BP AP π
θθθθ=+=
+∈………… 6分
(2)铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下：33222(sin cos )
()sin cos l θθθθθ
-'=………… 9分
令()0l θ'=得，4π
θ=．所以()l θ在(0,)4π上单调递减；在(,)42ππ
上单调递增,… 12分
所以当4
π
θ=
4
π
θ=
时，()l θ()l θ有最小值
因为5>，所以铁棒能水平通过该直角走廊．………… 14分 18.解：（1）由题设知1()ln ,()ln f x x g x x x ==+
，∴21
(),x g x x
-'=令()0g x '=得1x =， 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，故()g x 在区间（0，1）上单调减；
当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，故()g x 在区间（1，+∞）上单调递增， ………… 4分 因此，1x =是()g x 的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以最小值为(1) 1.g =…………5分
(2)1()ln g x x x =-+设11
()()()2ln h x g x g x x x x
=-=-+，则22(1)()x h x x -'=-，
当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时()0h x '<，因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减， …………7分
当1x =时，(1)0h =即1()()g x g x =；当01x <<时，()(1)0h x h >=即1
()()g x g x
<；
当1x >时，()(1)0h x h <=即1
()().g x g x <…………11分
（3）由（1）知()g x 的最小值为1，所以，1()()g a g x a -<
，对任意0x >恒成立1
()1,g a a
⇔-<即ln 1,a <从而得0a e <<. …………………………16分
19.解：（1）因为32,1,
()ln , 1.x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩①当11x -≤≤时，()(32)f x x x '=--，
解()0f x '>得到203x <<
；解()0f x '<得到10x -<<或2
13x <<． 所以()f x 在(1,0)-和2(,1)3上单调递减，在2
(0,)3上单调递增，
从而()f x 在23x =处取得极大值24
()327
f =．又(1)2,(1)0f f -==，
所以()f x 在[1,1)-上的最大值为2．…………………………4分
②当1x e ≤≤时，()ln f x a x =，当0a ≤时，()0f x ≤；当0a >时，()f x 在[1,]e 上单调递增，所以()f x 在[1,]e 上的最大值为a ．所以当2a ≥时，()f x 在[1,]e -上的最大值为a ； 当2a <时，()f x 在[1,]e -上的最大值为2．…………………………8分
（2）假设曲线()y f x =上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，则,P Q 只能在y 轴的两侧，不妨设(,())(0)P t f t t >，则32(,)Q t t t -+，且1t ≠． 因为POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，所以0OP OQ ⋅=， 即：232()()0t f t t t -+⋅+=．（1）
是否存在点,P Q 等价于方程（1）是否有解．若01t <<，则32()f t t t =-+， 代入方程（1）得：4210t t -+=，此方程无实数解． 若1t >，则()ln f t a t =，代入方程（1）得到：1
(1)ln t t a
=+， 设()(1)ln (1)h x x x x =+≥，则1
()ln 0h x x x
'=+
>在[1,)+∞上恒成立． 所以()h x 在[1,)+∞上单调递增，从而()(1)0h x h ≥=，所以当0a >时，方程1
(1)ln t t a
=+有解，即方程（1）有解．…………………………14分
所以，对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是 以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．……………16分
20.解：（1）①证明：当11λ=，20λ=时， 2()(1)1f x ax b x '=+-+，x 1，x 2是方程()0
f x '=的两个根，由1212x x <<<且0a >得(1)0
(2)0f f '<⎧⎨'>⎩
，即04210a b a b +<⎧⎨+->⎩．
所以f `（ – 1）= a – b + 2 = – 3（a+b ） + （4a +2b – 1） + 3 > 3． .……………3分
②设12()()()f x a x x x x '=--，所以212122
()()()()()g x a x x x x a x x x x a a =--+=---+，
易知20x x ->，120x x a -+>，所以2
212()()1()(2)2x x x x a g x a a a ⎛
⎫-+-+ ⎪≥-⋅=-++ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
．
当且仅当112x x x x a -=-+时，即12111
12x x x x a a
+=-=+-时取等号． 所以1
()(2)h a a a
=-+
+（2a ≥）
．易知当2a =时，()h a 有最大值，
即max 9
()(2)2
h a h ==-． ……………8分
（2）①当10λ=，21λ=时，()3x f x x =，所以33(ln31)x y x x =-+．
3(ln3)33(ln31)x x y x '=⋅+-+，容易知道y '是单调增函数，
且1x =是它的一个零点，即也是唯一的零点．当1x >时，0y '>；当1x <时，0y '<， 故当1x =时，函数()3(ln31)y f x x =-+有最小值为3ln3-． …………14分 ②由①知 33(ln31)3ln3x x x ≥+-，
当x 分别取a 、b 、c 时有：33(ln31)3ln3a a a ≥+-；33(ln31)3ln3b b b ≥+-；
33(ln31)3ln3c c c ≥+-．三式相加即得．……………………16分。