新冀教版九上数学第26章 解直角三角形全章热门考点整合应用

全章热门考点整合应用
名师点金：本章主要学习锐角三角函数的定义、锐角三角函数值、解直角三角形以及解直角三角形的实际应用．重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内容．其主要考点可概括为：两个概念，一个运算，两个应用，两个技巧．
两个概念
概念1 锐角三角函数
1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，CD ⊥AB 于点D ，求∠BCD 的三个三角函数值．
(第1题)
概念2 解直角三角形
2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，sin B ＝35，D 是BC 边上一点，DE ⊥AB 于点
E ，CD ＝DE ，AC ＋CD ＝9，求BE ，CE 的长．
(第2题)
一个运算——特殊角的三角函数值与实数运算
3．计算：
(1)tan 30°sin 60°＋cos 230°－sin 245°tan 45°；
(2)14tan 245°＋1sin 230°－3cos 230°＋tan 45°cos 60°－sin 40°cos 50°.【导学号：83182083】
两个应用
应用1 解直角三角形在学科内应用
4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，P 是射线BC 上的一个动点，过点P 作PE ⊥AP ，交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP ＝a.
(1)当点P 在线段BC 上时(点P 与点B ，C 都不重合)，试用含a 的代数式表示CE 的长； (2)当a ＝3时，连接DF ，试判断四边形APFD 的形状，并说明理由； (3)当tan ∠PAE ＝1
2
时，求a 的值．【导学号：83182084】
(第4题)
应用2解直角三角形的实际应用
5．如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B 位于南偏东24.5°方向，前行1 200 m，到达点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．
(1)线段BQ与PQ是否相等？请说明理由．
(2)求A，B间的距离(参考数据：cos 41°≈0.75)．【导学号：83182085】
(第5题)
6.【中考·泰州】如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27 m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56 m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan 36°52′≈0.75)．
(第6题)
两个技巧
技巧1 “化斜为直”构造直角三角形解三角形的技巧 7．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tan B ＝
3
2
，AC ＝23，求AB 的长．
(第7题)
技巧2 “割补法”构造直角三角形求解的技巧
8．如图，已知四边形ABCD ，∠ABC ＝120°，AD ⊥AB ，CD ⊥BC ，AB ＝303，BC ＝503，求四边形ABCD 的面积(要求：用分割法和补形法两种方法求解)．
(第8题)
答案
1．解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°， ∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°.
∵CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠A ＝90°. ∴∠BCD ＝∠A.
在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝10， ∴sin ∠BCD ＝sin A ＝BC AB ＝45，
cos ∠BCD ＝cos A ＝AC AB ＝3
5，
tan ∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝4
3
.
点拨：运用三角函数的定义解题的关键：(1)确定所求的角所在的直角三角形；(2)准确掌握三角函数的定义．本题也可利用相似求出BD ，DC ，再利用三角函数的定义直接求解．
2．解：∵sin B ＝3
5，∠ACB ＝90°，DE ⊥AB ，
∴sin B ＝DE DB ＝AC AB ＝3
5
.
设DE ＝CD ＝3k(k ＞0)，则DB ＝5k ， ∴CB ＝8k.∴AC ＝6k ，AB ＝10k. ∵AC ＋CD ＝9，∴6k ＋3k ＝9.∴k ＝1. ∴DE ＝3，DB ＝5.∴BE ＝52－32＝4. 如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ， 则CF ∥DE. ∴
DE CF ＝BE BF ＝BD BC ＝58，求得CF ＝245，BF ＝325
. ∴EF ＝BF －BE ＝125
.
在Rt △CEF 中，CE ＝CF 2＋EF 2＝
12
5
5. 点拨：方程思想是一种重要的思想方法，运用方程思想可以建立已知量和待求量之间的关系式，平时学习时，应该不断积累用方程思想解题的方法．
(第2题)
3．解：(1)原式＝33×32＋⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫222×1＝12＋34－12＝3
4.
(2)原式＝14×12＋1⎝⎛⎭
⎫
122－3×⎝⎛⎭⎫322＋112－1＝14＋4－3×34＋2－1＝3.
4．解：设CE ＝y ，(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝4，BC ＝AD ＝5，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝90°.
∵BP ＝a ，CE ＝y ，∴PC ＝5－a ，DE ＝4－y.∵AP ⊥PE ，∴∠APE ＝90°.∴∠APB ＋∠CPE ＝90°.
∵∠APB ＋∠BAP ＝90°，∴∠CPE ＝∠BAP. ∴△ABP ∽△PCE.∴BP CE ＝AB
PC .
∴y ＝－a 2＋5a 4，即CE ＝－a 2＋5a 4.
(2)四边形APFD 是菱形．理由如下： 当a ＝3时，y ＝－32＋5×34＝3
2，
即CE ＝3
2
.
∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BF.∴△AED ∽△FEC. ∴
AD FC ＝DE
CE
.∴FC ＝3. ∵BP ＝3，BC ＝5，∴PC ＝BC －BP ＝2. ∴PF ＝PC ＋FC ＝2＋3＝5. ∴PF ＝AD.又∵AD ∥PF ， ∴四边形APFD 是平行四边形．
在Rt △APB 中，AB ＝4，BP ＝3，∠B ＝90°， ∴AP ＝5＝PF.
∴四边形APFD 是菱形． (3)根据tan ∠PAE ＝12可得AP
PE ＝2.
由(1)得△ABP ∽△PCE ，∴
BP CE ＝AB PC ＝AP PE ＝2，∴a y ＝45－a ＝2或a y ＝4
a －5
＝2，解得a ＝3，y ＝1.5或a ＝7，y ＝3.5.∴a ＝3或a ＝7.
5．解：(1)相等．理由如下：
由已知条件易知，∠BPQ ＝65.5°，∠PQB ＝49°，
∴∠PBQ ＝180°－65.5°－49°＝65.5°. ∴∠PBQ ＝∠BPQ.∴BQ ＝PQ. (2)由(1)得BQ ＝PQ ＝1 200 m .
由已知条件易知∠AQP ＝90°－49°＝41°.
在Rt △APQ 中，AQ ＝PQ cos ∠AQP ≈1 2000.75＝1 600(m )．
又∵∠AQB ＝∠AQP ＋∠PQB ＝90°，
∴在Rt △AQB 中，AB ＝AQ 2＋BQ 2≈ 1 6002＋1 2002＝2 000(m )． ∴A ，B 间的距离约是2 000 m .
6．解：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F.
(第6题)
设铁塔高AE ＝x m ，
由题意得EF ＝BE －CD ＝56－27＝29(m )，AF ＝AE ＋EF ＝(x ＋29)m ，AB ＝(x ＋56) m . 在Rt △AFC 中，∠ACF ＝36°52′，AF ＝(x ＋29)m ， 则CF ＝
AF
tan 36°52′≈x ＋290.75＝43x ＋1163
(m )．
在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，AB ＝(x ＋56)m ， 则BD ＝AB ＝(x ＋56)m .
∵CF ＝BD ，∴x ＋56＝43x ＋116
3，
解得x ＝52.
即该铁塔的高AE 约为52 m .
7．解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D.
(第7题)
在Rt △ACD 中，∵AC ＝23，∠A ＝30°，
∴CD ＝1
2AC ＝3，
AD ＝AC·cos 30°＝23×
3
2
＝3. 在Rt △BCD 中，CD DB ＝tan B ＝3
2，
∴DB ＝2CD 3＝23
3＝2.
∴AB ＝AD ＋DB ＝3＋2＝5.
, 方法总结)：在不含直角三角形的图形中，如果求与三角形有关的线段长、非
特殊角的某个三角函数值、面积等问题，一般可通过分割图形、作高等方法，把问题转化为解直角三角形得以解决，作辅助线的技巧是解此类题目的关键．
8．解：方法一：如图①，过点B 作BE ∥AD 交DC 于点E ，过点E 作EF ∥AB 交AD 于点F ，则BE ⊥AB ，EF ⊥AD.∴四边形ABEF 是矩形．∴EF ＝AB ，AF ＝BE.
∵∠ABC ＝120°，∴∠CBE ＝120°－90°＝30°，∠D ＝180°－120°＝60°. 在Rt △BCE 中，BE ＝BC cos ∠CBE ＝503cos 30°＝503
3
2＝100，
EC ＝BC·tan ∠CBE ＝503×tan 30°＝503×3
3
＝50. 在Rt △DEF 中， DF ＝
EF tan D ＝AB tan 60°＝303
3
＝30. ∴AD ＝AF ＋DF ＝BE ＋DF ＝100＋30＝130. ∴S
四边形ABCD
＝S
梯形ABED
＋S △BCE ＝12(AD ＋BE)·AB ＋12BC·EC ＝12×(130＋100)×303＋
1
2
×503×50＝4 700 3.
(第8题)
方法二：如图②，延长DA ，CB 交于点E ，
则∠ABE ＝180°－∠ABC ＝60°，∠E ＝90°－∠ABE ＝30°. 在Rt △ABE 中，
AE ＝AB·tan 60°＝303×3＝90，
BE＝AB
cos 60°＝303
1
2
＝60 3.
∴CE＝BE＋BC＝603＋503＝110 3.
在Rt△DCE中，DC＝CE·tan 30°＝1103×
3
3＝110.
∴S四边形ABCD＝S△DCE－S△ABE＝1
2DC·CE－
1
2AB·AE＝
1
2×110×1103－
1
2×303×90＝4
700 3.
点拨：不规则图形的面积要将其转化为直角三角形或特殊的四边形的面积来求．可适当添加辅助线，把不规则四边形分割为直角三角形和直角梯形求解；还可通过补形，把不规则四边形化为直角三角形．。